山东省青岛市第三十九中2024-2025学年高一下学期5月阶段性检测 数学试题（含解析）

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2025.5
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟.
2.请按照题目要求将选择题选出的答案标号（A､B､C､D）涂在答题卡上，其他题目将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题卡上.
第Ⅰ卷
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 10D.
2. 已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若m//α，n//β，α//β，则m//n
B. 若m//α，m//β，α∩β＝n，则m//n
C. 若n//α，n//β，则α//β
D. 若m//n，n⊂α，则m//α
3. 如图，四棱锥，， 是 中点，直线交平面 于点 ，则下列结论正确的是
A. 四点不共面B. 四点共面
C. 三点共线D. 三点共线
4. 如图，一个大风车的半径长为，每旋转一周，最低点离地面为，若风车翼片从如图所示的点处按逆时针方向开始旋转，已知点离地面，则该翼片的端点离地面的距离y（）与时间x（）之间的函数关系是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 记函数的最小正周期为，且.将的图象向右平移个单位，所的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
7. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
8. 如图所示，边长为1的正方形的顶点，分别在边长为的正方形的边和上移动，则的最大值是（ ）
A. 4B. C. D. 2
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.
9. 已知平面向量，，则（ ）
A. B. 与可作为一组基底向量
C. 与夹角的余弦值为D. 在方向上的投影向量的坐标为
10. 已知函数，要得到函数的图象可由函数的图象（ ）
A. 先将横坐标扩大为原来2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
B. 先将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
C. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变
D. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变
11. 在复平面内，下列说法正确是（ ）
A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限
B.
C. 若复数满足，则
D. 若，则的最大值为
第II卷
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.（注意：在试题卷上作答无效）
12. 如图，在中，是线段上的一点，若，则实数_________．
13. 将一个半径为的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的底面边长为和，则它的高为__________.
14. 在边长为1的正方体中，点M是该正方体表面上一个动点，且平面，则动点M的轨迹的长度是__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若的面积为，求．
16. 如图所示，已知是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点.

（1）求证：平面；
（2）设平面平面，求证：.
17. 已知复数满足.
（1）求；
（2）若是实系数一元二次方程的一个根，求方程的另一个根和bc的值.
18. 在中，设所对边分别为，已知.
（1）求角的值；
（2）若，判断的形状；
（3）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
（1）若向量的“完美坐标”为，求；
（2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
（3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域.