黑龙江省哈尔滨市第四中学校2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试卷（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第四中学校2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知某位自行车赛车手在相同条件下进行了8次测速，测得其最大速度（单位：）的数据分别为42，38，45，43，41，47，44，46，则这组数据中的分位数是（ ）
A．44.5B．45C．45.5D．46
2．已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．0D．1
3．已知直线平面，直线平面，则（ ）
A．若与垂直，则与一定垂直
B．若与所成的角为30°，则与所成的角也为30°
C．是的充分不必要条件
D．若与相交，则为一定是异面直线
4．对空中移动的目标连续射击两次，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一次击中目标}，D＝{至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知单位向量与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，，则四棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则=（ ）
A．B．C．D．
8．在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，S为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（ ）
A．事件A与事件B对立B．事件A与事件B相互独立
C．事件A与事件C相互独立D．
10．下列关于平面向量的说法中错误的是（ ）
A．设，为非零向量，若，则
B．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角
C．设，， 为非零向量，则
D．若点为的外心，则
11．如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点．则下列结论正确的是（ ）
A．若为中点，则平面
B．若为中点，则平面
C．不存在点，使得
D．PQ与平面所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的平均分数为 分．
13．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 .
14．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，平面，为线段的中点，若空间中存在平面满足，，记平面与直线分别交于点，F，则 ，四边形的面积为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，．
(1)若，求的坐标；
(2)若，求与的夹角．
16．如图，在正方体中，为的中点，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
17．Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
(1)求和的值；
(2)试求两人共答对3道题的概率．
18．已知的内角A，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角A；
(2)若，，求边及的面积；
(3)在（2）的条件下，求的值.
19．已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点．

(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据百分位数的知识求得正确答案.
【详解】将数据从小到大排序为：38，41，42，43，44，45，46，47，
因为，所以分位数为.
故选C.
2．【答案】D
【分析】利用复数的除法运算，得到复数的代数形式，由此求得复数的虚部.
【详解】因为，所以虚部为1.
故选D．
3．【答案】C
【分析】利用线面垂直判定定理可判断A选项；利用线面角的定义可判断B选项；利用线面平行的判定定理和性质可判断C选项；根据已知条件直接判断与的位置关系，可判断D选项.
【详解】对于A，当与垂直时，由线面垂直判定定理可得与不一定垂直，A错误；
对于B选项，由线面角的定义可知，与所成的角是直线与平面内所有直线所成角中最小的角，
若与所成的角为，则与所成的角满足，B错误；
对于C选项，若，，，则，即，
若，因为，则与平行或异面，即.
所以，是的充分不必要条件，C正确；
对于D选项， 若与相交，则与相交或异面，D错误.
故选C.
4．【答案】D
【分析】根据事件之间的关系与运算对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于选项A，事件A包含于事件D，故A正确；
对于选项B，由于事件B，D不能同时发生，故，故B正确；
对于选项C，由题意知C正确；
对于选项D，由于＝D＝{至少有一次击中目标}，不是必然事件；
而为必然事件，所以，故D错误．
故选D.
5．【答案】C
【分析】根据给定条件，利用数量积的定义、数量的运算律，结合垂直关系的向量表示求解即得.
【详解】依题意，，由，得，
所以.
故选C.
6．【答案】A
【分析】设AD的中点为E，设交于点O，结合面面垂直的性质求出的长，说明O为四棱锥的外接球的球心，确定半径，即可求得答案.
【详解】设AD的中点为E，设交于点O，连接，
由于，则,
而平面⊥平面，平面平面，平面，
故平面，平面，故
,底面为正方形，则，
又，故，
而，即O为四棱锥的外接球的球心，
则外接球的半径为，故四棱锥的外接球的体积为.
故选A.
7．【答案】B
【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设，求得的坐标，再由列式求解即可.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系：
设，则，
则，，
所以，即，
所以，
因为，
所以，则，
则，化简得，
故选B.
【思路导引】涉及几何图形中的向量运算，根据图形特征建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标是解题的关键.
8．【答案】C
【分析】由余弦定理结合面积公式，再应用同角三角函数关系求出，由正弦定理边角互化，再应用两角和差公式化简，最后应用基本不等式及对勾函数的单调性求解即得.
【详解】在锐角，由余弦定理可知，
由面积公式可得，代入到已知条件可得
，
因为，化简可得，
根据恒等变换可得，因为锐角，
所以，所以可得，
所以，
则，
因为锐角，所以，
则，在单调递增，
则，令，所以，
所以，由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增，
当时，是极小值，当或时，最大值，
则.
故选C.
9．【答案】BC
【分析】对于A，甲骰子点数为奇数，乙骰子点数为偶数，事件可以同时发生，由对立事件的概念可判断；对于B，计算出，根据可以判定两个事件是否相互独立；对于C，计算出，根据可以判定两个事件是否相互独立；对于D，由前面可知，即可判断是否相等.
【详解】由题意，得，，，
对于A，当甲为奇数点，且乙为偶数点时，事件可以同时发生，所以事件A与事件B不互斥，故事件A与事件B不对立，故A错误；
对于B，由题意知，又，故事件A与事件B相互独立，故B正确；
对于C，，又，故事件A与事件C相互独立，故C正确；
对于D，由上知，，故D错误．
故选BC．
10．【答案】BCD
【分析】利用向量的运算结合数量积公式即可判断选项ABC，结合向量的线性运算即可判断D.
【详解】对于A，若，
则，可得，
又，为非零向量，所以，A正确；
对于B，若，且，为非零向量，
所以，夹角为锐角或者同向，B错；
对于C，与共线，与共线，C错；
对于D，若点为的重心，
延长交于，可得为中点，
即有，
即有，
而为的外心，与重心性质不符，D错.

故选BCD.
11．【答案】ABD
【分析】利用线面平行的判定定理可判断A；利用线面垂直的判定定理可判断B；当Q与B重合时，结合平面，可证，判读C；利用线面角的定义求出PQ与平面所成角的正弦值的最值，可判断D.
【详解】对于A，连接，由于为中点，为线段的中点，
故，而平面，平面，
故平面，A正确；
对于B，在正方体中，连接，则，
又平面，平面，故，
而平面，故平面，
由A的分析可知，故平面，B正确；
对于C，在正方体中，为线段的中点，也为线段的中点，
当Q与B重合时，平面，
连接，则，
又平面，平面，故，
而平面，故平面，
而平面，故，即
即存在点，使得，C错误；
对于D，不妨设正方体棱长为2，作，垂足为H，则H为的中点，
由于平面平面，平面平面，
且平面，故平面，且，
则为PQ与平面所成角，
当Q与B重合时，取到最大值BH，此时PB即为PQ的最大值，
此时PQ与平面所成角的正弦值取到最小值，为，
而,故；
作，垂足为G，则，，
当Q与G重合时，取到最小值即为HG，此时PG长即为PQ的最小值，
此时PQ与平面所成角的正弦值取到最大值，为，
即PQ与平面所成角的正弦值的取值范围为，D正确，
故选ABD.
【思路导引】解答本题的难点在于选项D的判断，解答时要能根据线面角的定义，确定角的正弦值取到最值时的点Q的位置，从而解直角三角形求出正弦值.
12．【答案】76.2
【分析】根据平均值计算方法求解.
【详解】样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，
取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可．
所以平均成绩为
．
故答案为：76.2.
13．【答案】
【分析】根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可；
【详解】这个试验的等可能结果用下表表示：
共有12种等可能的结果，其中的结果有8种，
所以的概率为.
故答案为：.
14．【答案】2；
【分析】根据题意作出平面即平面，取中点，利用和可求得的值；通过线面平行的性质得到，，推理得到，故可间接法求得四边形的面积.
【详解】
如图，过点作的平行线分别交的延长线于点，
易知分别为的中点．连接，分别交于点，则平面即平面．
取的中点，因是正方形，则连接，则，
易得，则，所以，所以．
连接，因为，平面平面，平面，所以，
所以，，
由图易得,由可得，由得,从而，
由可得为的中点.
由可得,,,
因,
故四边形的面积．
故答案为：2；.
【思路导引】解题思路在于正确理解题意，作出合理的截面，充分利用平行与垂直的判定、性质定理，借助于相似三角形和三角形之间的面积关系计算即得.
15．【答案】(1)或
(2)．
【分析】（1）设，结合向量的模长公式求解即可；
（2）根据垂直向量数量积为0，结合向量的夹角公式求解即可.
【详解】（1）由题意，设．
，，
，或．
（2），，
，即，．
设与的夹角为，则．
又，，与的夹角为．
16．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接交于点，利用中位线的性质得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立．
【详解】（1）连接交于点，则为的中点，

因为为的中点，则，平面，平面，
因此，平面．
（2）因为且，为的中点，为的中点，
所以，，所以，四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面，又平面，，
因此，平面平面．
17．【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）由题意可得
即解得或
由于，所以．
（2）设甲同学答对了道题乙同学答对了道题．
由题意得，，．
设甲、乙二人共答对3道题，则．
由于和相互独立，与互斥，
所以
所以甲、乙两人共答对3道题的概率为.
18．【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得角；
（2）根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可.
（3）利用正弦定理求出，再求出，再利用二倍角公式求出，最后再利用两角和与差的正弦公式即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
即，即，
又，所以，则，又，所以.
（2）由余弦定理得，
整理得，解得或（舍），
所以的面积.
（3）由正弦定理得，即，解得，
因为，故角为锐角，故，
所以，
，
所以
.
19．【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由等边三角形得到，取中点，结合平面平面得平面，从而，进而平面，再得到，平面；
（2）过点作，垂足为，则为与平面所成角，从而通过解三角形可得；
（3）取的中点为，连接，过点作，垂足为，连接，则为二面角的平面角，由此通过解三角形可得．
【详解】（1）
，，为等边三角形，
为的中点，，
取中点，连接，则，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，．
又，，、平面，平面．
平面ABD，．
又，、平面，
平面．
（2）过点作，垂足为．如图所示

由（1）知，平面．平面，．
又，平面，平面，
为与平面所成角．
由（1）知，平面ABD，平面，．
在中，，，，
为的中点，．
在中，，，
在中，，
在中，由余弦定理得，
．
与平面所成角的正弦值为．
（3）

取的中点为，连接，
为线段的中点，，，
由（1）知，平面，平面．
又平面，所以．
过点P作，垂足为，连接．
，平面，平面．
又平面，，
为二面角的平面角．
在中，，
由（1）知，为等边三角形，为的中点，．
由（1）知，平面ACD．
又平面，所以．
在中，，
由（2）知，，即，解得．
平面，平面，．
在中，，．
所以二面角的平面角的余弦值为．
【思路导引】本题第三问的关键是通过作辅助线找到二面角的平面角，再结合勾股定理、等面积法等求出相关长度，最后再利用三角函数定义即可.9
7
4
5
a
b
c
d
e
2
1
6
3
8
2
1
8
3
6
6
1
2
3
8
6
1
8
3
2
8
1
2
3
6
8
1
6
3
2
2
3
6
1
8
2
3
8
1
6
6
3
2
1
8
6
3
8
1
2
8
3
2
1
6
8
3
6
1
2