甘肃省定西市临洮县文峰中学2023−2024学年高一下学期期末质量检测（二） 数学试题（含解析）

这是一份甘肃省定西市临洮县文峰中学2023−2024学年高一下学期期末质量检测（二） 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知为虚数单位，若，则（ ）
A．B．C．iD．
3．某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．某人抽奖100次，一定能中奖15次B．某人抽奖200次，至少能中奖3次
C．某人抽奖1次，一定不能中奖D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖
4．已知指数函数的图象经过点，则（ ）
A．B．C．2D．4
5．在中，，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．5
7．已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4,6的正方形，侧棱长为，则该棱台的表面积为（ ）
A．72B．82C．92D．112
8．已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知两组数据，第一组：：第二组，则下列说法正确的是（ ）
A．两组数据的平均数相同B．两组数据的中位数相同
C．两组数据的极差相同D．两组数据的方差相同
10．一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件是互斥事件B．事件与事件是对立事件
C．事件与事件相互独立D．
11．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．直线是函数的一条对称轴
D．函数在上有最小值
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则向量的夹角的余弦值为 .
13． .
14．已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数．
(1)若复数是纯虚数，求实数的值；
(2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值．
16．已知．
(1)若为锐角，求的值；
(2)求的值．
17．在中，分别是内角的对边，已知.
(1)求的大小；
(2)若，求的面积.
18．共享单车企业通过在校园､地铁站点､公交站点､居民区､商业区､公共服务区等提供服务，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，与其他公共交通方式产生协同效应.共享单车是一种分时租赁模式，也是一种新型绿色环保共享经济.某城市交通部门为了调查该城市共享单车使用的满意度，随机选取了200人关于该城市共享单车的使用满意度进行问卷调查，并将问卷中的这200人根据其满意度评分值（百分制）分成5组：（满意度评分值均在内），制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）；
(2)用分层抽样的方法在满意度评分值在内的抽出6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人满意度评分值均在内的概率.
19．如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，．，M，N分别是线段，BD上的动点，且．
(1)若二面角的大小为，求DM的长；
(2)当三棱锥的体积为时，求CN与平面BCM所成角的正弦值的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【分析】分别解不等式可得集合与，进而可得.
【详解】因为，，
所以，
故选B．
2．【答案】B
【分析】根据条件，利用复数的运算及共轭复数的定义，即可求解.
【详解】因为，所以，得到，
所以．
故选B.
3．【答案】D
【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可.
【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性，
故选D．
4．【答案】A
【分析】根据给定条件，结合指数函数定义求出即可计算得解.
【详解】由指数函数的图象经过点，得，解得，
所以.
故选A.
5．【答案】A
【解析】先利用同角三角函数的基本关系求，再运用三角形面积公式计算即得结果.
【详解】因为，，故，
所以的面积为.
故选A.
6．【答案】C
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】正实数满足，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故选C.
7．【答案】C
【分析】先计算棱台的侧面的高，再计算侧面积和底面积，即可求解.
【详解】因为正棱台的上、下底面是边长分别为4,6的正方形，侧棱长为，
棱台的侧面是等腰梯形，所以棱台侧面的高，
所以一个侧面积，
棱台的上、下底面面积和为，
所以该棱台的表面积为.
故选C．
8．【答案】D
【分析】利用正弦函数的和差公式与三角函数的商数关系得到关于的方程组，进而结合三角函数的正负情况求得的取值范围，再次利用正弦函数的和差公式求得的值，由此得到的值.
【详解】因为，所以，
又因为，即，则，故，
联立，解得，
因为，，所以，
又，，所以，，
所以，，则，
因为，
所以.
9．【答案】CD
【分析】分别求出平均数、中位数、极差、方差即可判断.
【详解】第一组数据的平均数；
第二组数据的平均数，故A错误；
第一组数据的中位数为，第二组数据的中位数为，故B错误；
第一组数据的极差为，第二组数据的极差为，故C正确；
第一组数据的方差，
第二组数据的方差为，故D正确；
故选CD.
10．【答案】BC
【分析】根据古典概型的概率的计算公式，分别算出事件的概率，然后再根据互斥事件、对立事件、相互独立事件及概率的运算性质即可判断出答案.
【详解】样本空间为．
因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误；
因为，所以事件与事件为对立事件，故正确；
因为，所以，即事件与事件相互独立，故正确；
因为，所以，故D错误．
故选BC.
11．【答案】BD
【分析】根据图象得到解析式，利用余弦函数的性质一一判断即可.
【详解】由题图知：函数的最小正周期，
则，，所以函数．
将点代入解析式中可得，
则，得，
因为，所以，
因此，故A错误；
因为，
所以函数的图象关于点对称，故B正确；
因为，
所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误；
当时，，所以，
即最小值为，故D正确．
故选BD．
12．【答案】
【分析】利用数量积的夹角坐标运算求解即可.
【详解】.
故答案为：.
13．【答案】
【分析】利用两角差的正切公式及诱导公式计算可得.
【详解】
.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】将所求不等式化为，可令，根据奇函数定义和单调性性质可确定为奇函数且在上单调递增，由定义域、奇偶性和单调性可构造不等式组求得结果.
【详解】由，
得，
令，则；
关于对称，，
，
为定义在上的奇函数；
又因为在上单调递增，为增函数，
在上单调递增，
则由，
得，
，解得：，
即的解集为.
故答案为：.
15．【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由条件可得实部为零，虚部不为零得出答案；
（2）由条件可得可得答案.
【详解】（1）由复数是纯虚数，得，解得；
（2）由复数的实部和虚部互为相反数，得，
化简得，解出或，
当时，不符合题意，（舍去），而满足，
所以实数的值为．
16．【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）化简得，结合平方关系求出，再利用两角差的余弦公式，即可求得答案；
（2）由（1）可得，化简为，利用齐次式法求值，即可得答案.
【详解】（1）由，得，
因为为锐角，，所以，
可得；
（2）由得，
则
．
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合题中等式利用余弦定理解出答案；
（2）利用等式变形可计算出，再根据三角形面积公式计算即可；
【详解】（1）由，
有.
又，
因为,所以.
（2）由，有，
可得，得.，
的面积为.
18．【答案】(1)，平均数75.5，中位数75
(2)
【分析】（1）根据频率和为1求a；以每组区间中点值为代表，结合加权平均数求平均数的估计值；根据中位数的左右两侧频率和均为0.5，运算求解．
（2）利用分层抽样可得在区间应抽取4人，在区间应抽取2人，再利用古典概型求解即可．
【详解】（1）由题意知，解得.
满意度评分值的平均数；
设满意度评分值的中位数为，所以，解得，即满意度评分值的中位数为75.
（2）满意度评分值在内的有（人），满意度评分值在内的有20（人），
抽取的6人中满意度评分值在）内的有（人），记为，
满意度评分值在内的有（人），记为.
从这6人中随机抽取2人有，，共15种基本事件，
其中抽到的2人满意度评分值均在内的有，共6种基本事件，
所以抽到的2人满意度评分值均在内的概率.
19．【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用直棱柱和底面是角度为的菱形，可作出二面角的平面角，从而解直角三角形即可.
（2）利用等体积法来求线面角，即只需要求出点N到平面的距离，再算距离与长度的比值就是线面角的正弦值，从而可求解.
【详解】（1）
取中点P，过P点作，交于点Q，连接．
由直四棱柱，可得平面，
而平面，所以，即，
又因为，所以，
因为底面是边长为2的菱形，，
所以为等边三角形，则，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，
即为二面角的平面角，所以．
在平面中，由，可得．
在中，，，
则，解得；
（2）因为平面，所以，
．
因为三棱锥的体积为，
所以，解得，
因为平面，所以．
在中，，
，
所以．
设N到平面的距离为d，
在中，，，
所以，
所以．
因为，所以，解得．
在中，由余弦定理得，
所以．
设与平面所成的角为．
所以．
令，则．
因为，所以，所以，
所以与平面所成角的正弦值的取值范围是．
【方法总结】（1）利用直棱柱和底面是菱形，可作出二面角的平面角，然后解直角三角形即可.
（2）利用等体积法来求线面角，先求点N到平面的距离，再算距离与长度的比值就是线面角的正弦值，从而可求解.