2025年中考数学专项复习讲义专题03 方程（组）及不等式（组）（解析版）

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题型01 解一次方程（组）
题型02 一次方程（组）的实际应用
题型03 解分式方程
题型04 分式方程的实际应用
题型05 解一元二次方程
题型06 一元二次方程的根
题型07 一元二次方程的实际应用
题型08 解不等式（组）
题型09 不等式（组）的实际应用
题型10 求参数
题型01
解一次方程（组）
1．（2025·河北·一模）关于x的方程的解为，则a的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】此题考查了一元一次方程的解．注意使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．由关于的方程的解是，即可得，继而求得答案．
【详解】解：关于的方程的解是，
，
解得：．
故选：A．
2．（2025·湖南衡阳·一模）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤．
利用解一元一次方程的步骤进行求解即可．
【详解】解：，
，
；
故选：C．
3．（2025·河北·一模）若表格中的四个数满足每列的两个数的和相等，则m的值为（ ）
A．B．1C．3D．5
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次方程，立方根．根据题意列式得到，再计算即可求解．
【详解】解：由题意得，
整理得，
解得，
故选：C．
4．（2025·河北邯郸·一模）已知，都是实数，观察表中的运算，则的值为（ ）
A．21B．C．40D．
【答案】D
【分析】本题考查解二元一次方程组，已知字母的值求代数式的值．根据题意先得出，，后将代入中即可得到本题答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴将，代入得，
故选：D．
5．（2025·安徽芜湖·一模）已知点在第一象限，且满足，，设，若，则（ ）
A．S有最大值2B．S有最小值C．S的值恒为1D．S有最大值1
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质，根据已知条件，求出、的值，再根据在第一象限，得到，，求出的取值范围，根据的取值范围和，求出的取值范围，即可得出答案，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的应用．
【详解】解：由题意得，
由①②得，
即，
，
由①②得，
即，
，
，
在第一象限，
，，
，
，
且，
，
解得，
，
，
，
有最大值2．
故选：A．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）规定一种新运算：，若，则x的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，再解出，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
7．（2025·安徽宣城·一模）已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，以及一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
先求出方程的解，然后结合解是负数，解一元一次不等式即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵方程的解是负数，
∴，
∴．
8．（2025·山东·一模）已知方程组，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查解二元一次方程组．根据题意，即可得到，即可得到的值．
【详解】解： ，
得到：，
∴，
故答案为．
9．（2025·江苏徐州·一模）若x，y满足方程组，则 ．
【答案】7
【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．求解即可．
【详解】解：，
，得．
故答案为：7．
10．（2025·江苏盐城·一模）已知方程，用含x的代数式表示y，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，将x看做已知数求出y即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11．（2025·山东济宁·一模）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查根据二元一次方程组的解得情况，求参数的取值范围．将两个二元一次方程相加，得到的值，根据，求出的取值范围即可．
【详解】解：，
得：，即：；
∵，
∴，解得：；
故答案为：．
12．（2025·辽宁沈阳·一模）若是关于x、y的二元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据二元一次方程的定义可得，解方程组求出的值即可求解．
【详解】解：是关于x、y的二元一次方程，
，
解得：，
．
故答案为：．
13．（2025·浙江宁波·一模）若方程组 的解是 则方程组 的解是
【答案】
【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，把求解的方程组进行合理变形，并把和看做一个整体换元得到一个关于和的新方程组是解答本题的关键.把的两边都除以4变形为，然后把和看做一个整体，用换元法求解.
【详解】解：∵，
∴，即
∵的解为，
∴，
∴.
故答案为：
14．（2025·甘肃张掖·一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“”被污染了．
(1)【任务1】若这道题的答案是，求“”代表的正整数；
(2)【任务2】嘉淇问同学小明，小明也记不清“”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数， 嘉淇经过深入思考，将“”设为m，通过计算，很快得到了“”的值，你知道她是怎么计算的吗？请你求出“”的值．
【答案】(1)5
(2)解题过程见详解；2
【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及已知一元一次方程的解求参数，求二次一次方程的整数解等知识．
（1）将代入原方程，可得出关于“〇”的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）将“〇”替换成m，可得出关于x，m的二元一次方程，结合x，m均为正整数，即可求出结论．
【详解】（1）解：将代入原方程得：，
即
解得：，
∴“〇”代表的正整数为5；
（2）解：根据题意得，
解得：
又∵x，m均为正整数，
∴
∴“〇”的值为2．
15．（2025·江苏苏州·一模）解方程组：
【答案】．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．直接运用加减消元法解答即可．
【详解】解：，
可得：，解得，
将代入①可得：，解得．
所以方程组的解为．
16．（2025·山东淄博·一模）已知关于的二元一次方程组．
(1)若，求的值；
(2)若均为非负数，求的取值范围；
(3)已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值，的最小值
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，整式的加减及一次函数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先求出，得到，求解即可；
（2）解方程组得到，得到，且，计算即可得到答案；
（3）求出，根据一次函数的性质求得的最大值，的最小值．
【详解】（1）解：关于的二元一次方程组，
将①＋②，得，
，
，
；
（2）解：解关于的二元一次方程组，得
均为非负数，
，且，
的取值范围为；
（3）解：，
，
∵，
随着的增大而增大，
，
的最大值，的最小值．
题型02
一次方程（组）的实际应用
1．（2025·福建·一模）某商店销售单价为元和元的，两种商品，其中商品的利润率为，商品的利润率为．当售出的商品的数量比商品的数量少时，该商店获得的总利润率为．则与的数量关系是（ ）（利润率利润成本）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设商品的数量为，则商品的数量为，推出商品的单件利润为，商品的单件利润为，根据题意列方程即可求解．
【详解】解：设商品的数量为，则商品的数量为，
商品的成本：，单件利润为，
B商品的成本：，单件利润为，
总利润：，
总收入：，
根据题意得：，
整理得：，
故选：A．
2．（2025·山东临沂·一模）在知识问答竞赛中，答对一题加分，答错一题减分，每道题必须作答．已知王明共答题道，得分分；李红共答题道，那么两位同学答对与答错题目的差相加可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了首先根据王明答题的数量和得分情况求出王明答对与答错题目的差，根据李红共答题道，设李红答对了道题，答错了道题，可知为奇数且最大值为，从而可知两位同学答对与答错题目的差相加的数值一定是奇数且不超过，利用排除法得到正确选项．
【详解】解：设王明答对了道题，则答错了道题，
根据题意可得：，
解得：，
王明答对了道题，则答错了道题，
王明答对与答错题目的差，
设李红答对了道题，答错了道题，
则，
为奇数，
一定为奇数，
一定为奇数，
A、C选项排除，
如果这道题李红全部答对了，则李红答对与答错的题目的差为，
，
D选项排除，
两位同学答对与答错题目的差相加可能是．
故选：B．
3．（2025·河北邢台·一模）如图，草船借箭是一个流行很广的故事．按照这个故事所说的，我们假定诸葛亮一共派出大小草船共20艘，回来清点发现小船平均每艘上借的“箭”约有4800支，大船平均每艘上借的“箭”约有6200支，已知一共借箭112800支，设派出大船艘，则下列说法正确的是（ ）
A．依题意得：B．依题意得：
C．派出大船8艘D．派出小船14艘
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设派出大船艘，则派出小船艘，根据“一共借箭112800”支列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：依题意，得，
解得，
，
∴派出大船12艘，派出小船8艘，
故A、C、D选项错误，B选项正确．
故选：B．
4．（2025·广东惠州·一模）《九章算术》中“均输章”有云：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”受此启发，我们构建如下生活情境：在两座城市A和B之间，甲车从城市A驶向城市B，全程需7天；乙车从城市B驶向城市A，全程需9天．若甲车先出发2天后，乙车才从城市B出发，两车相向而行．设从乙车出发后，经过天两车相遇．则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设从乙车出发后，经过天两车相遇，将A和B之间的总路程看作“1”，则甲车一天走，乙车一天走，列方程即可．
【详解】解：设从乙车出发后，经过天两车相遇，
根据题意得，
故选：B．
5．（2025·河北沧州·一模）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（ ）
A．105B．77C．98D．56
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这个数中最小的数为，则这个数的和为，分别代入各选项中的数，解之可得出的值，结合为整数，即可得出结论．
【详解】解：设这个数中最小的数为，则另外个数分别为，，，，，，
这个数的和为．
A．根据题意得：，
解得：，
∵在第一列，符合题意，
这个数的和可以是，选项D不符合题意；
B．根据题意得：，
解得：，
∵2在第五列，
这个数的和可以是，选项B不符合题意；
C．根据题意得：，
解得：，
∵在第1列，
这个数的和可以是，选项C不符合题意；；
D．根据题意得：，
解得：，不符合题意，
这个数的和不可以是，选项符合题意；
故选：D．
6．（2025·浙江嘉兴·一模）我国古代数学专著《孙子算经》中有一个“多人共车”的问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：“现有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，则有辆车是空的；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行．问人和车各有多少？”设人数为人，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设人数为人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设人数为人，
由题意得，，
故选：．
7．（2025·黑龙江牡丹江·一模）九年级某班为奖励学习进步的学生，购买了单价为12元/本的笔记本和单价为8元/支的签字笔两种文具，正好花费120元，则购买方案共有（ ）
A．4种B．3种C．2种D．1种
【答案】A
【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解的应用，设购买了x本笔记本，y支的签字笔，可得，再利用二元一次方程的正整数解解题即可．
【详解】解：购买了x本笔记本，y支的签字笔，
则，
即．
∴，，，，
∴购买方案有4种；
故选：A
8．（2025·湖北孝感·一模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大小和尚各有几人？设大和尚人，小和尚人，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．分别利用有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，分别得出方程即可．
【详解】解：设大和尚人，小和尚人，
则可以列方程组： ．
故选：A．
9．（2025·陕西咸阳·一模）某购物中心将某种原价是300元的商品按原价的8折出售，可以获利，这种商品的进价为 元．
【答案】200
【分析】设该商品的进价为x元，由题意得，解方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用，打折问题和利润问题，正确理解题意是解题的关键．
【详解】解：设该商品的进价为x元，
由题意得，
解得，
答：这种商品的进价为200元．
故答案为：200．
10．（2025·陕西西安·一模）九宫格中为从到不重复的个自然数，若区域的四个数之和为，区域的两个数之和为，如图，则右上角格子可填的最大数字是 ．
【答案】
【分析】本题考查有理数的加减法的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
先求得九宫格数字总和为，再求得区域和区域以外的个格子中的数字之和为，再根据“九宫格中为从到不重复的个自然数，”即可求解．
【详解】解：，
设区域和区域之外的三个格子中的数字之和为，
由题意，得，
解得：，
，
右上角格子可填的最大数字是，
故答案为：．
11．（2025·山东泰安·一模）一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用二元一次方程组解决实际问题，解决本题的关键是根据题目中的相等关系列出方程即可．
【详解】解：设十位数字是，个位数字是，
十位数字比个位数字的倍大，
，
这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，
，
可列方程组．
故答案为： ．
12．（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？
【答案】应分配25名工人生产电压表
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设应分配x名工人生产电压表．根据题意列出方程，解出的值即可解答．
【详解】解：设应分配x名工人生产电压表，
根据题意，得，
解得：．
答：应分配25名工人生产电压表．
13．（2025·陕西咸阳·一模）西安拥有丰富的历史文化遗产和深厚的文化底蕴，也成为汉服文化的重要传播地和展示窗口．某制衣厂现有一批汉服订单需交付，汉服店要求6天内完成．若工厂安排10位工人缝制，则6天后还有90套汉服未缝制；若安排14位工人缝制，则恰好提前一天完成任务．假设每位工人的工作效率相同，问每位工人每天可以缝制多少套汉服．
【答案】每位工人每天可以缝制9套汉服
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设每位工人每天可以缝制套汉服，根据生产的汉服数量关系列方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设每位工人每天可以缝制套汉服，则
答：每位工人每天可以缝制9套汉服．
14．（2025·陕西西安·一模）某市为了迎接大型马拉松比赛，某条道路需要重新修建．已知每个工程队单独修需要18天，现计划先安排若干个工程队修4天，然后增加3个工程队再一起修2天，全部完成，则应先安排几个工程队先修4天？
【答案】2
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
根据题意直接假设未知数，找准等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设应先安排个工程队先修4天，根据题意得，
，
解得：，
所以，应先安排2个工程队先修4天．
15．（2025·贵州遵义·一模）今年春节期间，电影《哪吒2》特别火爆，小强一家去某电影院观看此部电影．到了影院后，看到有以下优惠活动方案：
(1)若小强一家6人（成人4人，学生2人），他选择哪种优惠方案划算？
(2)若成人人数是学生人数的2倍且两种优惠方案所付票价相等，求成人、学生各多少人？
【答案】(1)优惠方案二更划算；
(2)学生人数为人，则成人人数是人．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
（1）根据两种收费方案分别计算，比较即可求解；
（2）设学生人数为x人时，两种方案车费一样多，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：方案一：（元）；
方案二：（元）；
所以优惠方案二更划算；
（2）解：设学生人数为人，则成人人数是人，
依题意得，
解得，
则，
答：学生人数为人，则成人人数是人．
16．（2025·陕西榆林·一模）我国古代数学名著《九章算术》中记载“粟米之法；粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有多少斗米？（不计损耗）
【答案】原来有斗米
【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题．设原来有x斗米，则后加入斗谷子，由题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：设原来有x斗米，则后加入斗谷子，
根据题意，得，
解得，
答：原来有斗米．
17．（2025·山东烟台·一模）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下：
(1)求a，b的值；
(2)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？
(3)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是多少元？
【答案】(1)
(2)A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元
(3)该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键．
（1）根据第一周和第二周的销售额建立方程组求解即可；
（2）设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元，根据用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等建立方程求解即可；
（3）设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元，分别求出售出A型车和B型车的销售额，二者求和可得w关于x的函数关系式，再列不等式求出m的取值范围，进而根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
解得：；
（2）解：设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元，
根据题意得，
解得：
经检验是原分式方程的解．
（元）
答：A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元．
（3）解：设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元，
由题意得：，
由，解得，
取整数，，10，11，12，
∵随着的增大而减小，
∴当时，取得最大值，此时（元）．
答：该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元．
18．（2025·浙江杭州·一模）某快递公司需将一批总重为吨的物品从仓库运往配送中心．现有下表所示两种类型货车可供调配：
(1)若公司一次性派出两种货车共辆，恰好运完所有物品，且公司要求每辆货车必须满载运输，求甲、乙两种货车各派出多少辆？
(2)若快递公司派出甲型、乙型货车共辆，其中甲型货车不少于辆，要求预算运输费用不超过元，请设计一种运输方案使总费用最低，并计算最低费用．
【答案】(1)派甲型货车辆，乙型货车辆，恰好一次性运完吨物品
(2)当派甲型货车辆，乙型货车辆，总费用最低
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出数量关系．
（1）设甲型货车辆，乙型货车辆，根据题意列出方程组即可求解；
（2）设甲型货车辆，乙型货车为辆，根据题意列不等式组求出的范围，再计算费用即可．
【详解】（1）解：设甲型货车辆，乙型货车辆，
由题意得：，
解得：，
答：派甲型货车辆，乙型货车辆，恰好一次性运完吨物品；
（2）设甲型货车辆，乙型货车为辆，
根据题意得：，
解得：，
当时，此时运费元，
当时，此时运费元，
当时，此时运费元，
当时，此时运费元，
综上可知：当派甲型货车辆，乙型货车辆，总费用最低．
19．（2025·河南洛阳·一模）绿动未来--树木固碳护家园
[素材呈现】
在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳，而棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳．
【问题解决】
(1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？
(2)某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买杨树棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克．
求与的函数关系式；
杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大．
【答案】(1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克；
(2)；购买33棵杨树、棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，解决本题的关键是利用一次函数的性质确定购买方案．
设每棵成年的阔叶树种和每棵成年的针叶树种每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克，列二元一次方程组求解即可；
购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出与的函数关系式即可；
根据一次函数的性质可知随的增大而增大，根据规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，可知杨树最多采购棵，从而确定采购方案．
【详解】（1）解：设每棵成年的阔叶树种和每棵成年的针叶树种每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克，
根据题意得：，
解得，
答：每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克；
（2）解:购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵，
根据题意得：，
与的函数关系式为；
杨树的棵数不超过冷杉的一半，
，
，
，
随的增大而增大，
当整数时，的值最大，
此时（棵），
答：购买棵杨树、棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大．
20．（2025·河南许昌·一模）在农作物不同的生长阶段运用科技手段实现精准施肥，可以提高产量和质量．某农场为种植小麦需要配制复合肥料．小麦在生长过程中需要大量的氮（N）促进叶片生长，适量的磷（P）促进根系发育，以及足够的钾（K）提高果实品质．农场有两种原料可供使用，其氮、磷、钾含量及成本如下表：
(1)在小麦播种前农场根据土壤检测结果配制底肥，要求肥料中含有240千克氮、120千克磷，求使用A，B两种原料各多少吨？
(2)4月份，小麦进入拔节期，农场根据小麦长势和底肥用量计划配制追肥，要求追肥用量是底肥用量的，且含有不少于100千克钾，请设计出成本最低的配制方案．
【答案】(1)使用种原料2吨，种原料4吨
(2)使用种原料2吨，种原枓1吨配制追肥，成本最低
【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数最值的计算，掌握以上知识，正确列式求解是关键．
（1）设使用种原料吨，种原料吨，由数量关系列二元一次方程组求解即可；
（2）设使用种原料吨，则种原料吨，列不等式得，解得，设总成本为元，则，根据一次函数求最值的方法计算即可求解．
【详解】（1）解：设使用种原料吨，种原料吨，
根据题意得，
解得，
答：使用种原料2吨，种原料4吨．
（2）解：追肥用量是底肥用量的，
追肥用量为（吨），
设使用种原料吨，则种原料吨，
要求肥料中含有不少于100千克钾，
，
解得，
设总成本为元，则，
，
随的增大而减小，
当时，最小，
，
答：使用种原料2吨，种原枓1吨配制追肥，成本最低．
21．（2025·河南郑州·一模）2024年11月15日，郑州市热力公司开启了全市供暖，但由于供暖后室内干燥，因此大多数市民们选择使用室内空气加湿器．某商场根据民众需要，代理销售每台进价分别为220元、180元的A，B两种型号的空气加湿器，如表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求A，B两种型号的空气加湿器每台的售价．
(2)若商场准备用不超过5880元的金额再采购这两种型号的空气加湿器共30台，如何购买才可以使商场销售完这30台空气加湿器后获得最大利润？请给出相应的采购方案，并求出最大利润．
【答案】(1)A型空气加湿器每台的售价为400元，B型空气加湿器每台的售价为300元
(2)当购进12台A型空气加湿器，18台B型空气加湿器时，可获得最大利润，最大利润为4320元
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用．
（1）设型号空气净化器单价为元，型号空气净化器单价元，根据3台型号，3台型号的销售收入为2400元，6台型号9台型号的销售收入为5100元，列方程组求解；
（2）设采购种型号空气净化器台，则采购种型号空气净化器台，根据金额不超过5880元，列不等式求解；
【详解】（1）解：设A型空气加湿器每台的售价为x元，B型空气加湿器每台的售价为y元．
由题意，得，
解得：，
答：A型空气加湿器每台的售价为400元，B型空气加湿器每台的售价为300元．
（2）解：设购进A型空气加湿器a台，则购进B型空气加湿器台．
由题意，得，
解得：．
设总利润为W元．
由题意，得．
，
W随a的增大而增大．
当时，W有最大值为4320元，此时，．
答：当购进12台A型空气加湿器，18台B型空气加湿器时，可获得最大利润，最大利润为4320元．
题型03
解分式方程
1．（2025·山东潍坊·一模）若代数式和的值相等，则x的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程，由题意可得，解分式方程即可得解，熟练掌握解分式方程的方法是解此题的关键．
【详解】解：∵代数式和的值相等，
∴，
解得：，
检验，当时，，
∴若代数式和的值相等，则x的值为，
故选：A．
2．（2025·安徽宣城·一模）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，求出的值，代入整式方程中，求出的值即可．
【详解】解：，
方程去分母，得：，
∵方程有增根，
∴，
∴，
把代入，得：，
∴；
故选：C．
3．（2019·四川绵阳·一模）若关于x的方程.无解，则m的值是 ．
【答案】1或
【分析】根据分式方程的解法，方程无解的两种情况，分式方程有增根或x的系数为0，即可解得此题.
【详解】解：去分母得：3−2x+mx-2=3-x
∴-x+mx=2
∴(m-1)x=2
当m-1=0时，
此时方程无解，符合题意，
此时m=1，
当m-1≠0时，
由于方程无解，即x−3=0，x=3
将x=3代入x=，得，
∴解得：m=
故答案为1或
【点睛】本题考查了分式方程的解法，解本题的关键是掌握分式方程无解的两种情况.
4．（2025·宁夏银川·一模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：．
解：去分母，得……第一步
去括号，得……第二步
移项、合并同类项，得……第三步
解得……第四步
经检验：是原分式方程的解……第五步
(1)上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
(2)请你帮这个同学正确解答这个分式方程．
【答案】(1)一；去分母时等号右边忘记符号（负号）
(2)见解析
【分析】本题主要考查解分式方程，熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验的方法是解题的关键．
（1）根据去分母的方法即可判定；
（2）运用解分式方程的方法即可求解．
【详解】（1）解：，
去分母得，，
∴第一步开始出错，出错的原因是去分母时等号右边忘记符号（负号）；
（2）解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
检验，当时，原分式方程的分母，
∴原分式方程无解．
5．（2025·陕西咸阳·一模）解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式方程的解法，解题的关键是熟练掌握分式方程解题步骤，要注意验根．先去分母，化为整式方程，解出整式方程，然后代入最简公分母检验是否为零，即可．
【详解】解：去分母得：，
化简得，
解得，
检验：当时，，
所以是原方程的解．
6．（2025·陕西渭南·一模）解方程：
【答案】
【分析】本题主要考查解分式方程，方程两边同乘以得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可．
【详解】解：，
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的解.
题型04
分式方程的实际应用
1．（2025·山西大同·一模）新建、改造社区养老工程是2025年山西省政府确定的民生实事之一，甲、乙两个工程队投标某社区养老工程改造建设任务，甲队单独施工比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同，设乙队单独完成此项任务需要x天，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，
设乙队完成此项任务需要x天，则甲队完成此项任务天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同，列出方程即可．
【详解】解：设乙队完成此项任务需要x天，则甲队完成此项任务天，
根据题意，得．
故选：B．
2．（2025·江苏徐州·一模）某游客计划驾车从A地前往B地旅游，有两条路线可供选择：
路线1：全程，路况复杂，易出现拥堵．
路线2：全程，路况较好，红绿灯少．
若走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟．求走路线1到达B地所需的时间．
【答案】走路线1到达B地需要小时
【分析】本题考查分式方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键，设走路线1到达B地需要，根据走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设走路线1到达B地需要，10分钟小时，
由题意，得，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合实际．
答：走路线1到达B地需要小时．
3．（2025·山西忻州·一模）为了缓解交通压力，提高道路的通行效率，太原市对某一段路实行交通灯智能化改造，驾驶员只要控制好车速，便能实现“一路绿灯”．据了解，该路段总长约5.4公里，改造后车辆通过该路段的平均速度提高了，平均行驶时间减少了3分钟，求改造前车辆通过该路段的平均速度．
【答案】千米∕小时
【分析】本题考查分式方程的应用．设改造前通过该路段车辆的平均速度x千米/小时，则改造后通过该路段车辆的平均速度是千米/小时，根据“行驶5.4千米，平均行驶时间减少了3分钟”列出方程并解答．
【详解】解：设改造前通过该路段车辆的平均速度x千米/小时，则改造后通过该路段车辆的平均速度是千米/小时，
由题意，得．
解得：．
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
答：改造前通过该路段车辆的平均速度是千米∕小时．
4．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）列方程或不等式解应用题：
为迎接南方小土豆的到来，冰雪大世界做好冰雕艺术品制作，某公司有A、B两搬运组搬运冰冻原料，已知A组每小时比B组每小时多搬运20千克，且A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等．
(1)求这两个搬运组每小时分别搬运多少千克冰冻原料；
(2)为生产效率和生产安全考虑，A，B两组都要参与冰冻原料运输但两组不能同时进行工作，如果要求不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运，则A组至少搬运多少千克冰冻原料？
【答案】(1)120千克，100千克
(2)480千克
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设B组每小时搬运x千克冰冻原料，根据A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等列方程求解即可；
（2）设A组搬运m千克原料，根据不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设B组每小时搬运x千克冰冻原料，则A组每小时搬运千克冰冻原料，
根据题意，得
解得，
经检验是原方程的解．
．
答：A组每小时搬运120千克原料，B组每小时搬运100千克原料．
（2）解：设A组搬运m千克原料．
根据题意，得
解得．
答：A组至少搬运480千克原料．
5．（2025·江苏扬州·一模）辛弃疾的词中有“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”．“周巷大米”清淡略甜，绵软且粘，芳香爽口，是主食佳品．某收割队承接了72公顷“周巷大米”的收割任务，为了让“周巷大米”早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务，问原计划需要多少天完成？
【答案】12天
【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．设原计划每天收割的面积为公顷，则实际每天收割的面积为公顷，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可．
【详解】解：设原计划每天收割的面积为公顷，则实际每天收割的面积为公顷．
解得，
经检验，是原方程的解．
那么原计划需要（天）
答：原计划需要12天完成．
6．（2025·河南南阳·一模）植一株绿色，溢一片春光．2025年植树节，某中学计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵元，用元购买银杏树苗的棵数与用元购买白杨树苗的棵数相同．
(1)分别求每棵银杏树苗与白杨树苗的价格．
(2)学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共棵，且银杏树苗的数量不少于白杨树苗的数量的．如何设计购买方案，使总费用最少？
【答案】(1)每棵银杏树苗价格为元，每棵白杨树苗的价格为元
(2)购买银杏树苗棵，白杨树苗棵，总费用最少
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，正确建立方程和熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）设每棵银杏树苗价格为元，则每棵白杨树苗的价格为元，根据用元购买银杏树苗的棵数与用元购买白杨树苗的棵数相同建立方程，解方程，并进行检验即可求解；
（2）设购买银杏树苗棵，则白杨树苗棵，先根据银杏树苗的数量不少于白杨树苗的数量的，建立不等式，解得，再根据价格与棵树的关系建立与的函数关系式，利用一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设每棵银杏树苗价格为元，则每棵白杨树苗的价格为元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：每棵银杏树苗价格为40元，每棵白杨树苗价格为30元．
（2）设购买银杏树苗棵，则白杨树苗棵，
根据题意得：，
解得，
设总费用为元，
，随增大而增大，
当时，最小，此时，
答：购买银杏树苗棵，白杨树苗棵，总费用最少．
7．（2025·吉林松原·一模）某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件．已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购进哪吒挂件的个数恰好与用360元购进敖丙挂件的个数相同．求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元．
【答案】该批发商购进哪吒挂件的单价是10元，数丙挂件的单价是9元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
设该批发商购进哪吒挂件的单价是元，则购进敖丙挂件的单价是元，根据用元购买哪吒挂件的个数恰好与用元购买敖丙挂件的个数相同，列出分式方程，解方程即可
【详解】解：设该批发商购进哪吒挂件的单价是元，则购进数丙挂件的单价是元，
由题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：该批发商购进哪吒挂件的单价是10元，数丙挂件的单价是9元．
8．（2025·山东济南·一模）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上型劳动工具的单价比型劳动工具的单价低5元，用400元购买型劳动工具的数量和用500元购买型劳动工具的数量相同．
(1)求，两种型号劳动工具的单价各是多少元？
(2)学校计划购买，两种型号的劳动工具共100把，且型劳动工具的购买数量不超过型劳动工具的购买数量的两倍，则如何购买花费最少？最少费用是多少？
【答案】(1)A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元
(2)购买A型号的劳动工具66把，B种型号的劳动工具34把，最少费用是2170
【分析】本题考查的是分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
（1）设B型劳动工具单价为x元，则A型劳动工具单价为元，由用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同，再建立分式方程求解即可；
（２）确定，再根据函数的增减性即可求解．
【详解】（1）解：设B型劳动工具单价为x元，则A型劳动工具单价为元，
，
整理得，，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元；
（2）解：设购买A型劳动工具m把，则购买B型劳动工具把，购买花费为w元，
根据题意得：，
解得，
所以m得最大值为66，
，
∵
∴w随m增大而减小
∴时，w取得最小值2170元，此时A工具66把，B工具34把．
答：购买A型号的劳动工具66把，B种型号的劳动工具34把，最少费用是2170．
题型05
解一元二次方程
1．（2025·江苏徐州·一模）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）原方程可化为，
，
解这个方程，得，
；
（2）由，得，
由，解得
不等式组的解集为．
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）解一元二次方程：．
【答案】，
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解．
【详解】解：，
方程变形得：，
配方得：，即，
开方得，，
解得：，．
3．（2025·江苏泰州·一模）（1）化简：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），
【分析】本题考查了分式的加法运算，整式的加法运算，一元二次方程的解法．
（1）先计算分式的加法运算，再合并同类项可得化简的结果；
（2）先把方程化为可得，再利用直接开平方法解方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
4．（2025·辽宁抚顺·一模）解方程
(1)（配方法）
(2)（公式法）
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，．
（2）解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
，．
5．（2025·浙江宁波·一模）解方程：．
【答案】，
【分析】本题考查解一元二次方程，先将方程整理成一般式，再求出，利用公式法解方程即可．
【详解】解：，
，
∴，
∴，
∴，．
6．（2025·广东深圳·一模）小海在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示：
小海的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________；
【答案】一，原方程没有化成一般形式
【分析】根据公式法解方程的基本步骤解答即可．
本题考查了公式法解方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．
【详解】解：由
故
（第一步）
（第二步）
∴原方程有两个不相等的实数根，
故答案为：一；原方程没有化成一般形式．
7．（2025·江苏淮安·一模）先化简，再求值：，其中x满足方程．
【答案】；
【分析】先对，通过通分，约分分解因式，解二次方程后，验证解是否使原式有意义，再代入化简求值．
本题考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，同时需要结合分式有意义的条件进行取舍．
【详解】原式
；
方程的解为或，
当时，分母，分式无意义，舍去；
当时，．
题型06
一元二次方程的根
1．（2025·河南焦作·一模）已知关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式求解即可，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程无实数根，
∴，
∴，
故选：C．
2．（2025·河北邢台·一模）小明在解关于的一元二次方程时，把一次项的符号抄成“+”，得到其中一个根是，则方程根的情况是（ ）
A．无实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个实数根D．有一个根是
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程的解和根的判别式．先求出，再根据判别式得到，即可得到结论．
【详解】解：由题意可得，
解得，，
对于方程，
∵，
∵，
∴方程根的情况是有两个实数根，
故选：C
3．（2025·河南许昌·一模）m，n在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
先根据数轴确定，再由根的判别式得到，即可确定符号．
【详解】解：由数轴得，
∵关于x的一元二次方程，
∴，
∴有两个不相等的实数根，
故选：C．
4．（2025·江苏苏州·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个不相等的实数根，得到，列出不等式求出的范围，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴或，
∴可能的值是；
故选B．
5．（2025·山东日照·一模）若关于x的一元二次方程两根为，，且与同号，则m可能的值为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，根据根与系数的关系得到，进而结合已知条件求出，再结合一元二次方程的判别式，即可解答．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、，
∴，
∵与同号，
∴，
∴，
∴，
当时，原方程为，则，方程无解，不符合题意；
当时，原方程为，则，方程有两个不相等的实数根，符合题意；
∴可能的值为，
故选：B．
6．（2025·广东清远·一模）规定：对于任意实数、、，有，其中等式右边是通常的乘法和加法运算，如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．且D．且
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，即，
∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故选：D．
7．（2025·西藏拉萨·一模）关于的方程在实数范围内有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的解、一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．分两种情况：①和②，根据一元一次方程的解、以及一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可得．
【详解】解：①当，即时，
方程为，解得，在实数范围内有实数根，符合题意；
②当，即时，
∵关于的方程在实数范围内有实数根，
∴这个方程根的判别式，
解得；
综上，的取值范围是，
故选：A．
8．（2025·贵州六盘水·一模）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．方程有实数根，则根的判别式，且二次项系数不为零．据此解答即可．
【详解】解：∵，
解得，，
∵二次项系数，
∴且．
故选：B．
9．（2025·江苏宿迁·一模）抛物线与直线交于两点，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于，则下列结论正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数图象和性质．掌握根与系数的关系是解题的关键．依据题意，抛物线与直线交于两点，分别为和，且，再根据解得即可．
【详解】解：抛物线与直线交于两点，分别为和，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于，
设，
，，
，
．
是方程的两根
，
，
．
故选：C．
10．（2025·山东青岛·一模）一元二次方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
先根据根与系数的关系得到，，再根据，利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：根据题意得：
，，
则，
故选：D．
11．（2025·河北石家庄·一模）已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、相反数的定义，根据一元二次方程的两根互为相反数，可得：，根据一元二次方程根与系数的关系可得，解一元一次方程即可求出的值．
【详解】解：设、是一元二次方程的两根，
根据一元二次方程的两根互为相反数，
可得：，
，
解得：．
故选：B ．
12．（2025·甘肃·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程，解一元二次方程，一元二次方程（是常数，且）根的判别式：，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据题意得到，解得，代入解方程即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得，
，
解得，
故答案为：．
13．（2025·山东潍坊·一模）若是关于x的方程的两实数根，且满足，则k的值为 ．
【答案】3
【分析】根据所给一元二次方程有实数根，得出关于k的不等式，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程有两实数根，且，
∴，
解得．
又是方程的两个根，
则，，
∵，
∴，
∴，
解得，（舍去），
故．
故答案为：3．
14．（2025·浙江湖州·一模）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示：
（说明：a，b，m，n，，均为常数）
有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①④/④①
【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案．
【详解】解：∵，
，
，
，
∴，
①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故正确；
②∵，
∴，
解得：，
∴；故错误；
③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴；故错误；
④当，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，所以c的值不可能是，说法正确；
综上所述：正确的结论有①④；
故答案为①④．
15．（2025·山东日照·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系，掌握此关系是解题的关键．根据根的判别式，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，进行求解即可．
【详解】解：
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得：，
是一元二次方程，
，
且．
故答案：且．
16．（2025·广东惠州·一模）已知关于的两个实数根，满足两根之和等于4，两根之积等于，求的值 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，两根之和，两根之积，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，求出，代入计算即可得解．
【详解】解：设为方程的两个实数根，
则，即，
∴，
故答案为：．
17．（2025·湖南娄底·一模）已知方程的两个解分别为a，b，则 ．
【答案】2024
【分析】本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系得出，，变形后代入，即可求解．
【详解】解：方程的两个实数根为a、b，
，，
∴，
故答案为：2024．
18．（2025·四川成都·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解及代数式求值．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再将变形为，最后整体代入计算即可求解．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∵
．
故答案为：．
19．（2025·黑龙江大庆·一模）已知和是方程的两个解，则的值为 ．
【答案】2027
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
根据题意可得，，原式变形为，代入计算即可．
【详解】解：∵和是方程的两个解，
∴，，
∴，
∴
．
20．（2025·四川达州·一模）已知关于的方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程有一个根是1，求方程的另一个根及的值．
【答案】(1)
(2)当时，另一个根为；当时，另一个根为5
【分析】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的解、根的判别式．
（1）根据方程有两个实数根，则，求解即可．
（2）把代入，得出关于m的方程求解即可求出m值，再把m值代入方程，然后解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）解：把代入，得，
解得：或，
分以下两种情况：
当时，方程为，
解得或，
此时另一个根为；
当时，方程为，
解得或，
此时另一个根为5；
综上所述，当时，另一个根为；当时，另一个根为5．
题型07
一元二次方程的实际应用
1．（2025·河南焦作·一模）技术对我国具有重大战略意义，它不仅仅是一项通信技术的升级，更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎．某市近年来大力发展通信，已知该市2022年投入发展通信的资金为1000万元；2024年投入发展通信的资金为5000万元．设该市投入发展通信的资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的运用．设投入发展通信的资金的年平均增长率为，根据“2022年投入1000万元，预计2024年投入5000万元”，可以分别用x表示2022以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．
【详解】解：设投入发展通信的资金的年平均增长率为，
则2023的通信资金为： 万元，
2024的通信资金为：万元，
那么可得方程：．
故选：C．
2．（2025·山东青岛·一模）现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，我市某家快递公司，去年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为万件和8万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确用未知数表示出五月份完成投递的快递总件数是解题的关键．
利用五月份完成投递的快递总件数等于三月份完成投递的快递总件数，据此列出方程即可．
【详解】解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为，
根据题意，得：．
故选：C．
3．（2025·安徽合肥·一模）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，雕像的下部应设计为多高？设雕像的下部高为，则所列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程方程的应用，根据使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，列出方程即可．
【详解】解：设雕像的下部高为，则：雕像的上部高为，由题意，得：
，
即：；
故选A．
4．（2025·江苏扬州·一模）在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案大1，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．根据题意得关于a的方程为，解方程即可．
【详解】解：由题意得：，
整理得：，
解得：，
即a的值为1，
故答案为1．
5．（2025·甘肃武威·一模）某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率．
【答案】该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为
【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式5，进行计算，即可作答．
【详解】设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）
答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为．
6．（2025·辽宁大连·一模）小明用一条长为的绳子围成一个矩形．
(1)当围成矩形面积是，求该矩形的长与宽；
(2)能围成面积是的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．
【答案】(1)长方形的长为，宽为
(2)不能，见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据矩形的面积公式结合矩形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据矩形的面积公式结合矩形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出不能围成一个面积为的矩形．
【详解】（1）解：设矩形的长为，则矩形的宽为，
根据题意，可以列出方程，
整理，得，
解方程，得，，
长>宽，
，
，
答：长方形的长为，宽为；
（2）解：不能，理由如下：
设矩形的长为，则矩形的宽为，
可以列出方程
整理，得，
，
方程无解，
不能围成面积是的矩形．
7．（2025·江苏徐州·一模）如图①，一张长方形纸板的长为24，宽为12，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32，求该长方体盒子的高．
【答案】4
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形，根据该长方体盒子的底面积为32，即可得出关于一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】
解：设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又，
，
．
答：该长方体盒子的高为4．
8．（2025·贵州安顺·一模）如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米．
(1) ______米， ______平方米．（用含x的代数式表示）
(2)若，求x的值．
(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值？最大值为多少？
【答案】(1)，
(2)
(3)当时，S有最大值，最大值为．
【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的代数式，方程和函数关系式是解题的关键．
（1）根据矩形的性质列式求出，再根据矩形面积公式求出S即可；
（2）根据（2）所求得到方程，进而解方程并检验即可得到答案；
（3）先求出，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意，米，
∴矩形菜园的面积为平方米；
（2）解：当时，则，
∴，
解得，，
∵墙长为12米，
∴，即，
∴；
（3）解：由题意，米，
∴，
∵墙长为12米，篱笆长为33米，
∴，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为．
9．（2025·湖北襄阳·一模）某商家销售一种成本为元的商品，当售价定为元件时，每天可销售件，根据经验，售价每涨价元，每天销量将减少件，且单件该商品的利润率不能超过．
(1)求每天的销量（件）与当天的销售单价（元件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；
(2)当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润；
(3)当销售单价定为什么范围时，商家销售该商品每天获得的利润不低于元？
【答案】(1)；
(2)当销售单价定为元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是元；
(3)当时每天获得的利润不低于元．
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据题意列出函数关系式即可；
（）设利润为元，得出，再求出，再通过，开口向下，当时，随的增大而增大，则当时， 有最大值；
（）根据题意，得，再根据根据二次函数性质可知当时，．
【详解】（1）解：；
（2）解：设利润为元，
，
又∵单件该商品的利润率不能超过，
∴，
解得，，
∵，开口向下，当时，随的增大而增大，
∴时， 最大为元，
答：当销售单价定为元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是元；
（3）解：根据题意，得，
解这个方程，得，，
∵，开口向下，且，
根据二次函数性质：当时，，
答：当时每天获得的利润不低于元．
10．（2025·江西抚州·一模）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以40元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个
(1)设每件商品售价为x元时，则每件商品的利润为______元，此时每周可以卖出______个；
(2)若商场计划一周的利润达到12000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
【答案】(1)
(2)售价应定为每个50元
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用；
（1）每个利润为售价减进价元，根据“价格每涨元，就少卖个”求销量即可；
（2）利用总利润为每件商品的利润乘以销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设每件商品售价为元时，则每件商品的利润为元，
∵价格每涨元，就少卖个，
∴每周可以卖出个数为，
故答案为：；
（2）解：由题意得：
整理得：
解得：，
∵更大优惠让利消费者，
，
答：售价应定为每个元．
11．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个．
(1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？
(2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值．
【答案】(1)B生产线至少加工6小时
(2)a的值为2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解．
设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可；
根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值．
【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时，
根据题意可得：，
解得：
答：生产线至少加工小时；
（2）解：由题意可得：，
整理得：，
解得，（不符合题意，舍去），
答：的值为．
题型08
解不等式（组）
1．（2025·河南南阳·一模）数轴上表示不等式组的解集中，含有一个解是的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查不等式组的解集，主要考查如何确定不等式组的解集，并判断一个特定的数值是否在解集中．解题的关键是明确的取值范围，以及数轴上不等式解集的表示方法．首先估算的值，位于3和4之间，然后分析选项中的数轴表示的解集，确定哪个解集明确包含，即可得到答案．
【详解】解：∵
∴
选项A中数轴表示的解集是，不包含，该选项不正确；
选项B中数轴表示的解集是，包含，该选项正确；
选项C中数轴表示的解集是，不包含，该选项不正确；
选项D中数轴表示的解集是，不包含，该选项不正确．
故选B．
2．（2025·广西河池·一模）在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上的表示方法是解题的关键．
根据不等式的解集求解即可．
【详解】
解：在数轴上表示不等式的解集为．
故选：D．
3．（2025·湖南娄底·一模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可．
【详解】解：使二次根式在实数范围内有意义，
则，
解得：，
则x的取值范围在数轴上表示为：
故选：C．
4．（2025·山东临沂·一模）一元一次不等式组：的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式的一般步骤和确定不等式组解集的公共部分．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
故选：D．
5．（2025·山东临沂·一模）若点在第四象限，那么a的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可．
【详解】解：点在第四象限，
，
解不等式①得，，
解不等式②鹅，，
所以，的取值范围是．
故选：A．
6．（2025·陕西汉中·一模）解不等式，并在如图所示的数轴上表示该不等式的解集．
【答案】，见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．对不等式去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出不等式的解集，并在数轴上表示该不等式的解集即可．
【详解】解：去分母、去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得．
将不等式的解集表示在数轴上如图所示：
7．（2025·宁夏银川·一模）解不等式组：
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
8．（2025·安徽宿州·一模）解不等式组：．
【答案】不等式组的解集为．
【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组．
根据一元一次不等式组的解法求解即可．
【详解】解：解不等式①，，
，
得；
解不等式②，，
，
得，
原不等式组的解集为．
9．（2025·甘肃陇南·一模）解不等式组：，并写出它的所有正整数解．
【答案】，正整数解为
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的正整数解等知识，正确求出两个不等式的解集是解题的关键；分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分得不等式组的解集，最后求出正整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以原不等式组的解集为：，
则原不等式组的正整数解为．
题型09
不等式（组）的实际应用
1．（2025·江西景德镇·一模）古巴比伦有这样一个有趣的问题：“有二田，其一比其二广五亩．若以其一之十亩予其二，则其二之广不逾其一之倍，问初时其一田最小几何？”其大意为：两块土地，第一块面积比第二块大5亩，若从第一块取10亩给第二块，则第二块面积不超过第一块的2倍，问最初第一块土地的最小面积为 ．
【答案】亩
【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，设第一块土地面积为x亩，则第二块面积为亩，根据从第一块取10亩给第二块，则第二块面积不超过第一块的2倍，列出不等式，求解即可．
【详解】解：设第一块土地面积为x亩，则第二块面积为亩，
根据题意：，
解得：，
则最初第一块土地的最小面积为亩，
故答案为：亩．
2．（2025·湖南·一模）阅读理解：记表示不超过的最小整数，如，，应用：已知，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查取整函数，理解表示不超过的最小整数，由题意得到，，进而确定，，，解不等式组得到即可由定义得到答案．理解取整函数定义是解决问题的关键．
【详解】解：，，，
，，
则，，，
解得，
，
故答案为：．
3．（2025·宁夏银川·一模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共本，已知购买本甲种书和本乙种书共需元；购买本甲种书和本乙种书共需元.
(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【答案】(1)甲种书的单价为元，乙种书的单价为元
(2)该校最多可以购买甲种书本
【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键．
（1）设甲种书的单价为元，乙种书的单价为元，根据买本甲种书和本乙种书共需元；购买本甲种书和本乙种书共需元，列方程解答即可；
（2）设购买甲种书本，则购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价不超过2200元，列不等式解答即可．
【详解】（1）解：设甲种书的单价为元，乙种书的单价为元，
可得方程，
解得，
答：甲种书的单价为元，乙种书的单价为元．
（2）解：设购买甲种书本，则购买乙种书本，
根据题意可得，
解得，
故该校最多可以购买甲种书本，
答：该校最多可以购买甲种书本．
4．（2025·广西南宁·一模）某公司计划采购A型和B型储能锂电池系统．已知每套B型的进价比每套A型的进价多0.5万元，用6万元购进A型的数量与用9万元购进B型的数量相等．
(1)求每套A型储能锂电池系统的进价；
(2)该公司计划采购这两种系统共15套，总费用不超过20万元，则购买A型系统最少多少套？
【答案】(1)每套A型系统进价为1万元
(2)该公司购买A型系统最少5套
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等式是解决本题的关键．
（1）设每套A型系统进价为万元，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该公司决定购买A型系统套，则B型系统购买套，根据总费用不超过20万元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每套A型系统进价为万元，
则每套B型系统进价为万元．
依题意，得，解得，
检验：把代入，
所以是原分式方程的解．
答：每套A型系统进价为1万元．
（2）解：每套B型系统进价为（万元），
设该公司决定购买A型系统套，则B型系统购买套．
，解得．
所以的最小整数解为5．
答：该公司购买A型系统最少5套．
5．（2025·山东济南·一模）茂业天地商场从一厂家购买印有巴黎奥运会标志的T恤和奥运会吉祥物，已知购进10件恤和5个奥运会吉祥物共需250元；购进15件恤和10个奥运会吉祥物共需425元．
(1)求购进一件恤和一个奥运会吉祥物各需多少元？
(2)若商场决定购买T恤和奥运会吉祥物共60个，总费用不低于988元且不高于1000元，则共有几种购买方案？哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】(1)一件恤单价为15元，一个奥运会吉祥物单价为20元
(2)有3种购买方案，恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件需要的总费用最少，最少费用是990元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用等知识点，审清题意，弄清关系，根据等量关系和不等关系列出二元一次方程组和不等式组是解题的关键．
（1）设一件恤单价为元，一个奥运会吉祥物单价为元，根据等量关系“购进10件恤和5个奥运会吉祥物共需250元；购进15件恤和10个奥运会吉祥物共需425元”列方程组，解之即可解答；
（2）设恤购买件，奥运会吉祥物购买件，根据不等关系“总费用不低于988元且不高于1000元”列一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可确定购买方案数．
【详解】（1）解：设一件恤单价为元，一个奥运会吉祥物单价为元，
由题意可得：，
解得：，
答：一件恤单价为15元，一个奥运会吉祥物单价为20元．
（2）解：设恤购买件，奥运会吉祥物购买件．
由题意可得：，
解得：，
又 ∵为正整数．
∴，
故共3种方案：分别是：恤购买40件，奥运会吉祥物购买20件，该方案需要的总费用是元；
恤购买41件，奥运会吉祥物购买19件，该方案需要的总费用是元；
恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件，该方案需要的总费用是元；
故共有3种购买方案，恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件需要的总费用最少，最少费用是990元．
6．（2025·河南鹤壁·一模）如图，某小区物业对一块长、宽的矩形区域进行改造，欲在它的西南角种植一块矩形草坪，草坪围栏总长度为．点P 是区域内一棵大树所在的位置，大树与区域边界的距离如图中数据所示，要求大树周围内（不含边界）不种植草坪．设草坪的边的长为，草坪面积为．
(1)求x 的取值范围．
(2)如何种植才能使草坪的面积最小？最小面积是多少？
【答案】(1)
(2)草坪的边时，草坪的面积最小，为
【分析】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意可得，则，再根据，大树周围内（不含边界）不种植草坪，列出不等式组，解不等式组即可得解；
（2）先求出关于的函数关系式，再由二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，则，
∵，大树周围内（不含边界）不种植草坪，
∴，
解得：，
∴x 的取值范围为；
（2）解：由题意可得：，
∵，对称轴为直线，
∴当时，随着的增大而减小，
∴当时，的值最小，为，
故草坪的边时，草坪的面积最小，为．
题型10
求参数
1．（2025·江苏南通·一模）关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．先解不等式组，再根据仅有5个整数解，得出关于的不等式，求解即可．
【详解】解:
解得：，
关于的不等式组的整数解仅有5个，
，
解得：，
故选：C．
2．（2025·重庆·一模）若关于的不等式组有解且至多3个整数解，关于的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数的和为 ．
【答案】22
【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组中的两个不等式，从而可得的取值范围，再解分式方程可得，从而可得是整数，且，则可得出符合条件的所有整数的值，由此即可得．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组有解且至多3个整数解，
∴，
解得，
，
方程两边同乘以，得，
解得，
∵关于的分式方程的解为整数，
∴是整数，且，即，
∴符合条件的所有整数的值为，
∴符合条件的所有整数的和为，
故答案为：22．
3．（2025·重庆·一模）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
关于的一元一次不等式组无解，
，
解得，
解方程得，
关于的分式方程的解为非负整数，
且，是偶数，
解得且，是偶数，
且，是偶数，
则所有满足条件的整数的值之和是，
故答案为：16．
4．（2025·江苏扬州·一模）若关于x的方程的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，考核学生的计算能力，注意分式方程一定要检验．解分式方程，检验根得出的范围；根据分式方程的解为正数，列出不等式求得的范围；解不等式组，根据解集为，得出的范围；根据为整数，得出的值，最后求和即可．
【详解】解：分式方程的两边都乘以得：，
解得，
，
，
，
方程的解为正数，
，
且；
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
．
且
整数的和为；
故答案为：5．
5．（2025·重庆·一模）若整数a使得关于x的不等式组有正整数解，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的a的值之积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集、解分式方程，首先求出一元一次不等式组的解集，根据不等式组有正整数解可以确定，再解分式方程可得，根据分式方程有正整数解确定整数的值，注意因为是分式方程的增根，所以要把使的值舍去．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组有正整数解，
，
，
解关于的分式方程，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
关于的分式方程有正整数解，
，且为偶数，
，
或或，
当时，是分式方程的增根，
(舍去)，
．
故答案为： ．
6．（2025·山东东营·一模）若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解、解不等式，根据方程的解得出不等式是解题的关键，易忽略分式方程的增根的情况，根据方程的解为负数且不能使分母为0，可得关于m的不等式，解不等式可得．
【详解】解：，
两边都乘以，得
，
解得，
∵解是非负数，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴且．
故答案为：且．
7．（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个．
【答案】3
【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得且，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值．
【详解】解：解分式方程得且，
∵分式方程的解为整数，
∴的值为或，
解得m的值为，，，共3个．
故答案为：3．
8．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，根据不等式组有2个整数解得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围，正确得出关于的不等式组是解题的关键．
【详解】解：解不等式组，得：，
∵关于x的不等式组有2个整数解，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（2025·宁夏吴忠·一模）关于的不等式组的解是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得到关于m的不等式，解之即可得到答案．
【详解】解；
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解是，
∴，
∴，
故答案为：．
10．（2025·广东韶关·一模）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解集为，
∴，
∴，
故答案为：．
11．（2025·黑龙江大庆·一模）若不等式组无解，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查由不等式组解集情况求参数，涉及不等式组的解法，先解不等式组，再由不等式组无解，分类讨论即可得到答案．掌握不等式组的解法，分类讨论是解决问题的关键．
【详解】解：，
由①得；
由②得③；
不等式组无解，
当时，，解③得，则不等式组一定有解，不符合题意；
当时，，解③得为任意实数，则不等式组一定有解，不符合题意；
当时，，解③得，则，解得；
综上所述，的取值范围为，
故答案为：．
12．（2024·湖北恩施·一模）关于的一元一次不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示如图，则的值为 ．
【答案】3
【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a，b的等式是解题关键．先解不等式组的解集，再结合数轴得出解集得出关于a，b的等式，进而得出答案．
【详解】解： ，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
结合数轴可得：，，
∴
∴，
故答案为：3．的运算
运算的结果
7
优惠方案一
会员费200元，票价35元/人．
优惠方案二
原票价50元/人，成人原价，学生票价是原价的5折．
A型车销售（辆）
B型车销售量（辆）
总销售额（元）
第一周
10
12
36600
第二周
12
15
45000
类型
甲型
乙型
满载（吨）
价格（元）
原料
氮（N）含量
（千克/吨）
磷（P）含量
（千克/吨）
钾（K）含量
（千克/吨）
成本
（元/吨）
原料A
20
40
30
600
原料B
50
10
40
800
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
4台
2400元
第二周
6台
9台
5100元
解方程
解： （第一步）
（第二步）
∴原方程无实数根 （第三步）
二次多项式
对二次多项式进行因式分解
对二次多项式使用配方法