专题13 角平分线的性质与判定-【一遍过】2023年暑假七年级升八年级数学考点衔接一遍过（人教版）（原卷版+解析版）

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（一）角平分线的性质
（1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
（二）角平分线的判定
（1）判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：
∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB
∴∠MOP=∠NOP
新知训练
考点1：角平分线的性质
典例1：（2022秋·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD．求证：
(1)DE平分∠ADC；
(2)AD＝AB+CD．
【变式1】（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．
(1)求证：OP平分∠AOB；
(2)若MN=8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和．
【变式2】（2023春·安徽淮南·八年级校考期末）如图，已知：△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点D．求证：AD是∠BAC的平分线．
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB，已知CB=CD，AC平分∠BAD；求证：
(1)∠B＋∠ADC=180°；
(2)AD＋AB=2AE．
考点2：角平分线的判定
典例2：（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°．
(1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：AE=BD，AE⊥BD；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG的大小固定吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．
【变式1】（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）已知，如图，在△ABC中，AB=AC，在△ADE中，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：∠BFA=∠AFE．
【变式2】（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，且BC=DC，CF=CE．
(1)求证：AC平分∠BAD
(2)猜想AB+AD与AE之间的数量关系并证明；
【变式3】（2022秋·安徽铜陵·八年级铜陵市第十五中学校考期中）如图，已知△ABC和△CDE中，B，C，E在同一条直线上，AC=CB，∠ACB=60°，DC=EC，∠DCE=60°，BD与AE交于点F，连接CF．
(1)求∠AFB的度数；
(2)求证：CF平分∠BFE．
考点3：角平分线性质的综合应用
典例3：（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在ΔABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点D．
（1）求证：点D到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等；
（2）连接AD，若∠BDC=40°，求∠DAC的度数．
【变式1】（2023秋·河北张家口·八年级校考期末）本学期我们学习了角平分线的性质定理及其逆定理，那么，你是否还记得它们的具体内容．
（1）请把下面两个定理所缺的内容补充完整：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到______的距离相等．
角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在______．
（2）老师在黑板上画出了图形，把逆定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把内容补充完整．
（3）请你完成证明过程：
（4）知识运用：如图，三条公路两两相交，现在要修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加油站可选择的位置共有______处．
【变式2】（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）如图，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，与AC交于点G，连接CF．
（1）BD和AE的大小关系是__________，位置关系是__________；请给出证明．
（2）求证：CF平分∠BFE．
【变式3】（2022秋·八年级课时练习）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，M、N分别为AB、AC边上的点．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若DM＝DN，△ADM和△ADN的面积分别为36和50，求△DME的面积．
考点4：尺规作图——角平分线
典例4：（2022秋·海南海口·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，点E是AC的中点．
(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)．
①作∠DAC的平分线AM；连接BE，并延长交AM于点G；
②过点A作BC的垂线，垂足为F．
(2)猜想与证明：猜想AG与BF有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由．
【变式1】（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，电信部门要在S区修建一座发射塔P．按照设计要求，发射塔P到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔P应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程）
【变式2】（2022秋·江苏·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BA延长线上一点，E为AC的中点．
(1)利用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不要求写作法）；
①作∠DAC的平分线AP；②连接BE并延长交AP于点F．
(2)猜想AF与BC位置和数量的关系，并说明理由．
【变式3】（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，并完成计算．
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=50°．
(1)作AB边上的高CE，作∠CBA的平分线BG，CE与BG相交于点H．
(2)求所作图形中∠CHB的度数．
考点5：角平分线与三角形全等综合
典例5：（2023·安徽·校联考一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF=45°．
(1)若EA是∠BEF的角平分线，求证：FA是∠DFE的角平分线；
(2)若BE=DF，求证：EF=BE+DF．
【变式1】（2023春·四川南充·八年级四川省南充市高坪中学校考期中）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，连接AE，过E作AE的垂线交∠BCD的外角平分线于F．
(1)求证：AE=EF
(2)如图若E在BC的延长线上，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立说明理由．
【变式2】（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）【建立模型】
（1）填空：如图①，点C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，用圆规在ON上截取OB=OA，连接AC、BC，可得△OAC≌△OBC，依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【运用模型】
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系，并写出证明过程．（提示：在CB上截取CE=CA）
【拓展延伸】
（3）如图③，在△ABC中，∠A=60°，CD、BE分别是∠ACB、∠ABC的平分线，CD、BE交于点F，若CE=4，BD=3，请直接写出BC的长．
【变式3】（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO+∠BDO=90°．
(1)求证：AC=BC；
(2)如图2，点C的坐标为5，0，点E为AC上一点，且∠DEA=∠DBO，
①求证：BD=DE；
②求BC+EC的长．
新知检测
一、单选题
1．（2023秋·福建福州·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若S△ACD＝6，AC＝6，则点D到AB的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023秋·浙江杭州·八年级统考期中）如图，∠MON=30°，且OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM变ON于点Q，若点P到OM的距离为2，则OQ的长为（ ）．
A．4B．-3C．2D．1
3．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图，△ABC的角平分线交于点P，PD⊥BC，PD=2，△ABC的周长为17，则△ABC的面积为（ ）
A．17B．34C．18D．21
4．（2023·广西·统考中考真题）如图，在ΔABC中，AC=BC , ∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
5．（2022春·湖北黄冈·八年级校联考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=12，则△ACD的面积是（ ）
A．36B．18C．15D．9
6．（2023春·全国·八年级阶段练习）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
7．（2023秋·湖北恩施·八年级统考期末）如图，已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB=8.1cm，BC=6cm，△BDE的周长为（ ）cm
A．12B．14.1C．16.2D．7.05
8．（2023春·湖南常德·八年级校考阶段练习）如图所示，若AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=3cm，则AB与CD之间的距离为（ ）
A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm
9．（2023秋·四川凉山·八年级统考期末）点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A．PQ>5B．PQ≥5C．PQBC>AC．用无刻度的直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A，B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．C．D．
14．（2023秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D．若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（ ）
A．10B．15C．30D．20
15．（2023秋·八年级课时练习）如图，O是Rt△ABC的角平分线的交点，OD//AC,AC=5,BC=12,AB=13，则OD等于（ ）
A．2B．3C．1D．4
二、填空题
16．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=5 cm，那么D点到直线AB的距离是____cm．
17．（2023秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点P，PM⊥AC于点M.若PM＝6cm，则点P到AB的距离为____cm．
18．（2023秋·河北唐山·九年级统考期中）在ΔABC中，∠A=40°，⊙O截ΔABC三边所得的线段相等，那么∠BOC的度数是___________．
19．（2022秋·江苏·八年级校考周测）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E．△ABC的面积为35，AB=8．BC=6，则DE=___________．
20．（2023秋·江苏南通·八年级启东市长江中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=3，AB=8，则△ABD的面积是___________________________．
21．（2023秋·重庆綦江·八年级校考期中）如图，BD平分∠ABC，M在BD上，ME⊥AB，F是射线BC上一动点，若ME=4，则MF的最小值为____．
22．（2023秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB＝30°，则∠AOB＝__________．
23．（2022秋·七年级单元测试）补全“求作∠AOB的平分线”的作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE.②分别以D、E为圆心，以_____________为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C．③作射线OC即为∠AOB的平分线．
24．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AC=6，AB=10，△ABC的面积为24，则CD的长为___________．
25．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；
②分别以D，E为圆心，以大于12DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F；
③作射线BF交AC于G．
如果AB＝9，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为_____．
三、解答题
26．（2022秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）尺规作图并完成证明：
如图，点C是AB上一点，AC=BE，AD=BC，∠ADE=∠BED．
(1)尺规作图：作∠DCE的平分线CF，交DE于点F；
(2)证明：CF⊥DE．
证明：∵∠ADE=∠BED，
∴ ，
∴ ．
在△ADC和△BCE中，
∵AC=BEAD=BC(①)，①
∴△ADC≌△BCE．
∴ ．
又∵CF是∠DCE的角平分线，
∴CF⊥DE．
27．（2023秋·江西·八年级校考期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点E,EF⊥AB，垂足为F．
（1）若∠BAD=25°，求∠C的度数．
（2）求证：EF=ED．
28．（2022·广东·统考中考真题）如图，已知∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：△OPD≌△OPE．
29．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF．
(1)求证：CF=AE；
(2)若AE=3，BF=4，求AB的长．
30．（2023·广东·统考一模）如图，已知锐角ΔABC，AB>BC．
（1）尺规作图：求作ΔABC的角平分线BD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）点E在AB边上且BC=BE，请连接DE，求证：∠BED=∠C．
31．（2022秋·北京东城·七年级景山学校校考期末）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，请利用尺规作图法在线段BC上作一点D，使点D到边AB的距离等于CD．（不写作法，保留作图痕迹）
32．（2023春·八年级单元测试）在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，BD=BC，求∠A的度数．
33．（2023秋·云南红河·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，∠B=45°,∠C=75°,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
(1)求∠EDA的度数；
(2)若AB=20,AC=16,DE=6，求S△ABC．
34．（2023春·山东青岛·九年级山东省青岛第二十六中学校考阶段练习）作图题（保留作图痕迹）
已知ΔABC，在ΔABC中作一半圆满足以下要求：①圆心在边BC上②该半圆面积最大
35．（2023·全国·九年级专题练习）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
(1)求证：AP平分∠CAB；
(2)若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数．
已知：如右图，点P是∠AOB内一点，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=______．求证：点P在∠AOB的______上