四川省凉山州西昌市2024-2025学年高二下学期期中检测数学试卷（解析版）

这是一份四川省凉山州西昌市2024-2025学年高二下学期期中检测数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷选择题（共58分）
一、单项选择题（本题有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确）
1.已知数列的通项公式为，在下列各数中，不是的项的是（ ）
A 1B. C. 3D. 2
【答案】D
【解析】因为，
若，则，即是的项；
若，则，即是的项；
若，则，即是的项；
若，则，即不是的项；
故选D
2. 下列函数的求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误；
故选：B．
3. 已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为等差数列、的前项和分别为、，且，
因为.
故选：C.
4. 已知是函数的导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由函数的图象，得当或时，；当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，选项ABC错误，D正确.
故选：D
5. 已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
令，可得，即，
解得，
由，可得，
令，可得，解得，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故选：D.
6. 函数的单调递减区间是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题可知，
因为函数有单调递减区间，所以；
令，则，
又，故，
即的单调递减区间是，可得.
故选：A.
7. 已知数列满足，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以．
因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，所以，
故．
故选：C
8. 已知定义域为函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】依题意令，则，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，，故A不正确；
所以，即，即，故B不正确；
又，即，即，故C错误；
因为，即，即，故D正确；
故选：D.
二、多项选择题（本题有3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多个选项正确，全部选对得6分，选对但不全得3分，有选错或不选得0分）
9. 数列的前n项和为，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. 是递增数列B.
C. 当时，D. 当或4时，取得最大值
【答案】CD
【解析】对于A，由得，，所以是递减数列，故A错误；
对于B，由得，数列是等差数列，
所以，
所以，故B错误；
对于C，令，即，解得，故C正确；
对于D，，对称轴为，
所以当或4时，取得最大值，故D正确；
故选：CD．
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 函数的切线与函数的图象可以有两个公共点
B. 若，则函数在处无切线
C. 曲线在处切线方程为，则
D. 已知函数，则是函数的极值点
【答案】AC
【解析】对于A选项，函数切线与函数的图象可以有两个公共点，
例如函数在处的切线，由得，
且，则函数在处的切线方程为，
由可得，解得或，
所以，函数在处的切线与函数的图象还有一个公共点，
函数在处的切线与函数的图象有两个公共点，A对；
对于B选项，若，则函数在处的切线斜率为，B错；
对于C选项，曲线在处的切线方程为，则，
，C对；
对于D选项，已知函数，则对任意的恒成立，
当且仅当时，等号成立，则函数在上单调递增，无极值点，D错.
故选：AC.
11. 已知函数有且仅有三个不同的零点分别为，，，则（ ）
A. a的范围是B. a的范围是
C. D.
【答案】BCD
【解析】，
令，解得或，
当时，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以，，
此时函数只有一个零点，不符合题意；
当时，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
所以，要使有三个不同的零点，
则，解得，
即的取值范围是，故A错误，B正确；
因为函数有且仅有三个不同的零点分别为，
则
，
即有，，，
则，故CD正确；
故选：BCD．
第Ⅱ卷非选择题（共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若数列是等比数列，且，则______．
【答案】4
【解析】，则，
故答案为：4．
13. 已知曲线，则曲线过原点的切线方程为______.
【答案】
【解析】由，则，
设切点为，
所以，解得，
所以切点为，切线的斜率
所以过原点的切线方程为：，即.
故答案为：
14. 已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为，
所以，
当时，，
当时，，
所以，
因为开口方向向下，
所以在区间上的最小值的端点处取得，
所以要使对，，使得成立，
只需，即或，
即或，
解得，
所以a的取值范围是，
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
解：（1）设等差数列的首项为，公差为d，
由得：，
∴，
由得：，
解得（舍）或，
∴，
数列的通项公式为：．
（2）由等差数列的前n通项公式可得：，
则不等式即：，
整理可得：，
解得：或，又n为正整数，故n的最小值为5．
16. 已知函数，，为函数的导函数．
（1）求函数的单调性；
（2）若任意，恒成立，求a的取值范围．
解：（1）因为，且定义域为，
所以，令，则，
当时，，函数在上单调递减；
当时，令，得到，
令，得到，
故函数在上单调递减，在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）得，
因为对于任意，恒成立，
所以恒成立，
化简得恒成立，故恒成立，
令，则恒成立，，
令，则，
得到在单调递增，即，
故，在单调递增，而，
即，故．
17. 已知正项等比数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，的前n项和．
解：（1）设等比数列的公比为q，则，
所以，整理可得，
因为，解得，故．
（2）由（1）知，
……①
……②
由①②得：
,
所以．
18. 已知关于的函数，其图象与直线相切.
（1）求的值；
（2）证明：；
（3）设数列,的前项和为,证明：．
解：（1）函数的图象与轴相切，
则，得，代入可得，
所以，切点坐标为，所以.
（2）由（1）知，
则，得，，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，得证.
（3）由（2）知，当时，，所以，，
即当时，，
当时，，所以，，
则，，所以，即，
累加得，
所以.
故对任意的，.
19. 已知函数．
（1）当，时，求的单调递减区间；
（2）当时，若有两个极值点．
（ⅰ）求b的取值范围；
（ⅱ）证明：．
解：（1）当，时，，
由，得，
解得，
所以单调递减区间为.
（2）（ⅰ）当时，，令，即，
令，，则，是方程的两个正根，
于是，即，又，，解得，
所以b的取值范围为：．
（ⅱ）当时，
令，求导得，
令，求导得，函数在上单调递增，
又，，
则存在，使，即，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递减增，
因此，
又，函数在上单调递减，
，所以.