2026届高三数学一轮复习课后习题章末目标检测卷9 计数原理（Word版附解析）

这是一份2026届高三数学一轮复习课后习题章末目标检测卷9 计数原理（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若2x+2xn的展开式中二项式系数的和为32,则n的值为( )
A.7B.6C.5D.4
答案:C
解析:由题意可知2n=32,解得n=5.
2.从6个盒子中选出3个用来装东西,则甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有( )
A.16种B.18种C.22种D.37种
答案:A
解析:从6个盒子中选出3个用来装东西,有C63=20(种)方法,甲、乙两个盒子都未被选中,有C43=4(种)方法,故甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有20-4=16(种).故选A.
3.(x2+3x-1)5的展开式中x的系数为( )
A.-3B.3C.-15D.15
答案:D
解析:因为(x2+3x-1)5=[(3x-1)+x2]5=(3x-1)5+C51(3x-1)4·x2+…+(x2)5,所以含x的项只存在于(3x-1)5的展开式中,所以x的系数为C54(-1)4×3=15.
4.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )
A.12种B.10种
C.9种D.8种
答案:A
解析:先将4名学生均分为2个小组,共有C42C22A22=3(种)分法,再将2个小组的学生分给2名教师,有A22=2(种)分法,最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地,有A22=2(种)分法.故不同的安排方案共有3×2×2=12(种).
5.设(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则a1+a3+a5=( )
A.61B.121
C.122D.224
答案:C
解析:依题意,令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=35=243,①
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,②
①-②得2(a1+a3+a5)=244,故a1+a3+a5=122.
6.(x2+x+1)x-2x5的展开式中常数项为( )
A.40B.-80
C.120D.140
答案:B
解析:因为x-2x5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r(-2)rx5-2r,所以(x2+x+1)x-2x5的展开式中常数项为x·C53(-2)3x-1=-80.
7.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72B.120
C.144D.168
答案:B
解析:由题意可知分两步,
第一步,先将3个歌舞类节目全排列,有A33=6(种)情况,排好后,有4个空位.
第二步,因为3个歌舞类节目不能相邻,所以中间2个空位必须安排2个节目,
分2种情况讨论:①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目,有C21A22=4(种)情况,排好后,最后1个小品类节目放在两端,有2种情况,
此时同类节目不相邻的排法有6×4×2=48(种).
②将中间2个空位安排2个小品类节目,有A22=2(种)情况,
排好后,有6个空位,相声类节目有6个空位可选,即有6种情况,此时同类节目不相邻的排法有6×2×6=72(种).
故同类节目不相邻的排法种数是48+72=120.故选B.
8.用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色,每个顶点出发的棱的颜色各不相同,则不同的染色方案共有( )
A.14 400种B.28 800种
C.38 880种D.43 200种
答案:C
解析:从正四棱锥顶点出发的4条侧棱一定要用4种不同的颜色,有A64=360(种)不同的方案,
接下来底面的染色根据是否使用剩下的2种颜色分类:
①不使用新的颜色,有2种方案.
②使用1种新的颜色,分为2类:
第一类,染一条边,有2×4×4=32(种)方案;
第二类,染两条对边,有2×2×4=16(种)方案.
③使用2种新的颜色,分为4类:
第一类,染两条邻边,有4×2×3=24(种)方案;
第二类,染两条对边,有2×2×4=16(种)方案;
第三类,染三条边,有4×2×2=16(种)方案;
第四类,染四条边,有2种方案.
因此不同的染色方案种数为360×[2+(32+16)+(24+16+16+2)]=38 880.故选C.
二、选择题:本题共4小题,每小题6分,共24分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列等式成立的是( )
A.(n+1)Anm=An+1m+1
B.n!n(n-1)=(n-2)!
C.Cnm=Anmn!
D.Anm+1n-m=Anm
答案:ABD
解析:∵(n+1)Anm=(n+1)n(n-1)…(n-m+1),An+1m+1=(n+1)n(n-1)…(n-m+1),∴(n+1)Anm=An+1m+1,故A成立.
n!n(n-1)=n(n-1)(n-2)…3×2×1n(n-1)=(n-2)!,故B成立.
∵Cnm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!,
Anmn!=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)n!,
∴Cnm≠Anmn!,故C不成立.
Anm+1n-m=1n-m·n(n-1)(n-2)…(n-m)=n(n-1)·(n-2)…(n-m+1)=Anm,故D成立.
10.以下关于1x2+x5n的展开式的判断正确的是( )
A.对任意n∈N*,展开式中有常数项
B.存在n∈N*,展开式中有常数项
C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项
答案:BD
解析:由已知得1x2+x5n的展开式的通项为Tr+1=Cnr·1x2n-r(x5)r=Cnrx7r-2n.
由7r-2n=0,得r=2n7,故当n=7k,k∈N*时,展开式中存在常数项.故A错误,B正确.
由7r-2n=1,得r=2n+17,故当2n+1=7k,即n=7k-12,k∈N*时,展开式中存在x的一次项.故C错误,D正确.
11.有6本不同的书,按下列方式进行分配,其中分配种数正确的是( )
A.分给甲、乙、丙三人,每人各2本,有90种分法
B.分给甲、乙、丙三人中,一人4本,另两人各1本,有90种分法
C.分给甲、乙每人各2本,分给丙、丁每人各1本,有180种分法
D.分给甲、乙、丙、丁四人,有两人各2本,另两人各1本,有2 160种分法
答案:ABC
解析:对于A,先从6本书中分给甲2本,有C62种方法;再从其余的4本书中分给乙2本,有C42种方法;最后的2本书分给丙,有C22种方法,因此不同的分配方法有C62C42C22=90(种),故A正确.
对于B,先把6本书分成3份:4本、1本、1本,有C64种方法;再分给甲、乙、丙三人,有A33种方法,因此不同的分配方法有C64A33=90(种),故B正确.
对于C,6本不同的书先分给甲、乙每人各2本,有C62C42种方法;其余2本书分给丙、丁每人各1本,有A22种方法,因此不同的分配方法有C62C42A22=180(种),故C正确.
对于D,先把6本不同的书分成4份:2本、2本、1本、1本,有C62C42A22·C21C11A22种方法;再分给甲、乙、丙、丁四人,有A44种方法,因此不同的分配方法有C62C42A22·C21C11A22·A44=1 080(种),故D错误.
12.若(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且a1+a2+…+an-1=125-n,则下列结论正确的是( )
A.n=6
B.a1=21
C.(1+2x)n展开式中二项式系数和为729
D.a1+2a2+3a3+…+nan=321
答案:ABD
解析:对于A,因为(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,
所以令x=1,得2+22+…+2n=a0+a1+a2+…+an=2(1-2n)1-2=2n+1-2,
令x=0,得n=a0.
因为(1+x)n中xn项为Cnnxn=xn,
所以an=1.
所以a1+a2+…+an-1=2n+1-2-n-1=125-n,
解得n=6.故A正确.
对于B,a1=1+C21+C31+C41+C51+C61=21.故B正确.
对于C,(1+2x)6展开式中二项式系数和为26=64.故C错误.
对于D,令f(x)=(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,
则f'(x)=1+2(1+x)+…+6(1+x)5=a1+2a2x+…+6a6x5,
令x=1,得f'(1)=1+2×2+3×22+4×23+5×24+6×25=a1+2a2+…+6a6=321.
故D正确.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2022新高考Ⅰ,13)1-yx(x+y)8的展开式中x2y6的系数为 (用数字作答).
答案:-28
解析:∵原式=(x+y)8-yx(x+y)8,∴展开式中含有x2y6的项为C86x2y6-yxC85x3y5=(C86-C85)x2y6=-28x2y6.故x2y6的系数为-28.
14.有8名大学生到甲、乙、丙三所学校去支教,每名大学生只去一所学校.若甲学校需要2名,乙学校需要2名,丙学校需要4名,则不同安排方法的种数为 .(用数字作答)
答案:420
解析:第一步,从8名大学生中任选2人,安排到甲校,有C82=28(种)安排方法;第二步,从剩下的6人中任选2人,安排到乙校,有C62=15(种)安排方法;第三步,将最后的4人安排到丙学校,有1种安排方法.根据分步乘法计数原理,可知不同安排方法的种数为28×15×1=420.
15.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为20,则a= .
答案:2
解析:由已知得展开式中x2的系数为C52+aC51=20,解得a=2.
16.某班组织文艺晚会,准备从A,B等8个节目中选出4个节目演出,要求A,B两个节目至少有一个选中,且A,B同时选中时,它们的演出顺序不能相邻,则不同演出顺序的种数为 .
答案:1 140
解析:分两类:第一类,A,B只有一个选中,则不同演出顺序有C21C63A44=960(种);
第二类:A,B同时选中,则不同演出顺序有C62A22A32=180(种).
故不同演出顺序的种数为960+180=1 140.