2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学、汨罗市第一中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学、汨罗市第一中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=x∈Z∣x2−2x≤0，则A的元素个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 0
2.复数1+ii的虚部为( )
A. 1B. −1C. iD. −i
3.(ax+y)5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a=( )
A. 2B. ±2C. 2 2D. ±2 2
4.现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有( )
A. 56种B. 64种C. 72种D. 96种
5.等差数列{an}的公差是2，若a2,a4,a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=
A. n(n+1)B. n(n−1)C. n(n+1)2D. n(n−1)2
6.某校举行知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按[50,60),[60,70)，[70,80),[80,90)，[90,100]分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是( )
A. 图中的x值为0.020B. 得分在[80,100]的人数为400
C. 这组数据的极差为50D. 这组数据的平均数的估计值为77
7.已知函数f(x)=eaxsinx1+ex是定义在R上的奇函数，则实数a=( )
A. −1B. 0C. 12D. 1
8.已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5，g(x)−f(x−4)=7.若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122f(k)=( )
A. 22B. −22C. −24D. 24
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=sinx⋅csx，则( )
A. f(x)是奇函数B. f(x)的最小正周期为2π
C. f(x)的最小值为−12D. f(x)在0,π2上单调递增
10.已知a=(3,−1)，b=(2,1)，则下列结论正确的是( )
A. a−b⊥bB. a+2b=5 10
C. a与b的夹角为π4D. a在b方向上的投影向量是 5b
11.已知椭圆C：x24+y2b2=1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，点P 2,1在椭圆内部，点Q在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是( )
A. 离心率e的取值范围为0, 22
B. 当e= 24时，以点P为中点的椭圆的弦的斜率为−7 28
C. 存在点Q，使得QF1⋅QF2=0
D. 1QF1+1QF2的最小值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线y=2x+m经过圆(x−1)2+y2=2025的圆心，则m= ．
13.已知F1，F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过F1且倾斜角为60°的直线l与C的左､右两支分别交于A､B两点.若BF2⊥F1F2，则双曲线C的离心率为 ．
14.三棱锥S−ABC中，平面SBC⊥平面ABC，若SB=SC，AB=AC=1且∠BAC=120∘，SA与底面ABC所成角为60∘，则三棱锥S−ABC的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，ccsA=(3b−a)csC．
(1)求csC；
(2)若▵ABC的面积为3 2，且a+b= 3c，求▵ABC的周长．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥S−ABCD中，满足AB⊥AD，AB⊥BC，SA⊥底面ABCD，AD=1，AB= 3，BC=3．
(1)求证：平面SBA⊥平面SBC；
(2)若平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为 64，求线段SA的长度和点B到平面SCD的距离．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=2aex+x(a∈R)，g(x)=ex+2x−1．
(1)求函数g(x)在0,g(0)处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)无论x取何值，函数f(x)的图象都在函数g(x)图象的上方，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点M(1,32)在C上，且MF⊥x轴.
(1)求C的方程；
(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点，求▵AOB面积的最大值．
19.(本小题17分)
某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为12，前一局赢后下一局继续赢的概率为35，前一局输后下一局赢的概率为23，如此重复进行.记甲同学第i局赢的概率为Pii∈N∗．
(1)求乙同学第2局赢的概率；
(2)求Pi；
(3)若存在i，使epi−lnPi+1+k≥0成立，求整数k的最小值．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.D
5.A
6.C
7.C
8.C
9.AC
10.AC
11.ABD
12.−2
13.2+ 3
14.4π
15.(1)解法1：因为ccsA=(3b−a)csC，由正弦定理得sinCcsA=3sinB−sinAcsC，
即3sinBcsC=sinCcsA+sinAcsC=sin(A+C)=sinπ−B=sinB，
因为B∈0,π，则sinB>0，故csC=13；
解法2：因为ccsA=(3b−a)csC，由余弦定理得c×b2+c2−a22bc=(3b−a)×a2+b2−c22ab，
整理得2ab=3a2+3b2−3c2，可得a2+b2−c2=23ab，
由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab=13．
(2)因为csC=13，且C∈0,π，则sinC= 1−cs2C=2 23，
S▵ABC=12absinC= 23ab=3 2，所以ab=9，
因为由余弦定理得2abcsC=a2+b2−c2，
于是(a+b)2−c2=a2+b2−c2+2ab=2abcsC+1=24，
因为a+b= 3c，则(a+b)2−c2=2c2=24，所以c=2 3，
因此a+b= 3c=6，于是▵ABC的周长a+b+c=6+2 3．

16.【详解】(1)因为SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴SA⊥BC，又AB⊥BC，SA∩AB=A，SA,AB⊂平面SAB，
∴BC⊥平面SAB，
又BC⊂平面SBD，∴平面SBC⊥平面SAB．
(2)∵SA⊥平面ABCD，AD,AB⊂平面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，
又AB⊥AD，∴以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设AS=t，(t>0)，则S(0,0,t)，A(0,0,0)，B0, 3,0，D(1,0,0)，C3, 3,0，
∴SD=(1,0,−t)，DC=2, 3,0，
设平面SDC的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅SD=x−tz=0m⋅DC=2x+ 3y=0，取z=1，得x=t，y=−2t 3，
∴m=t,−2t 3,1，
平面SAB的法向量为n=(1,0,0)，
∵平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为 64，∴|t|1× t2+4t23+1= 64，
解得t= 3，即AS= 3，
所以m= 3,−2,1，BD=1,− 3,0，
所以点B到平面SCD的距离为 3+2 3+02 2=3 64．
法(二)等体积法，∴SC= SA2+AC2= 3+12= 15，DC= 3+(3−1)2= 7，SD= SA2+AD2= 3+1=2，
∴cs∠SDC=SD2+DC2−SC22SD⋅DC=4+7−152×2× 7=− 77，
∵∠SDC∈0,π，∴sin∠SDC= 427，
∴S▵SCD=12⋅SD⋅DC⋅sin∠SDC=12×2× 7× 427= 6，
设点B到平面SCD的距离为ℎ，
由VB−SCD=VS−BCD，得13× 6ℎ=13×12×3× 3× 3，
解得ℎ=3 64，
∴点B到平面SCD的距离为3 64．

17.【详解】(1)g′(x)=ex+2，g′(0)=3，g(0)=0．
切线方程为y−0=3(x−0)，y=3x．
(2)f′(x)=2aex+1，
当a≥0时，f′(x)>0，∴f(x)在R上为增函数；
当a0，得xg(x)恒成立，即2aex+x>ex+2x−1，则2a>ex+x−1ex，恒成立，
令g(x)=ex+x−1ex=1+x−1ex，g′(x)=2−xex，
g′(x)=0⇒x=2．
令g′(x)>0，得x1+e−2⇒a>1+e22e2．

18.【详解】(1)依题意，右焦点F(1,0)，则左焦点F′(−1,0)，而|MF|=32，MF⊥x轴，
则|MF′|= |F′F|2+|MF|2= 22+(32)2=52，于是2a=|MF′|+|MF|=4，
解得a=2，b2=a2−12=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)依题意，直线AB不垂直于y轴，设其方程为x=my+4，
由x=my+4x24+y23=1消去x并整理得(3m2+4)y2+24my+36=0，
Δ=242m2−144(3m2+4)=144(m2−4)>0，解得m2>4，
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2=−24m3m2+4,y1y2=363m2+4
则▵AOB面积S▵AOB=12|OP||y1−y2|=2 (y1+y2)2−4y1y2=24 m2−43m2+4，
令t= m2−4，则t>0，且m2=t2+4，
S▵AOB=24t3t2+16=243t+16t≤242 3t⋅16t= 3，当且仅当3t=16t，即t=4 33时取等号，
所以▵AOB面积的最大值为 3．

19.【详解】(1)由题意甲第2局赢的概率为P2=12×35+(1−12)×23=1930，
所以乙赢的概率为P=1−1930=1130；
(2)由已知i≥2时，Pi=35Pi−1+23(1−Pi−1)=−115Pi−1+23，
所以Pi−58=−115(Pi−1−58)，又P1−58=−18，
所以数列{Pi−58}是首项为−18，公比为−115的等比数列，
所以Pi−58=(−18)×(−115)i−1，所以Pi=(−18)×(−115)i−1+58i∈N∗；
(3)ePi−lnPi+1+k≥0，即k≥lnPi+1−ePi，令f(x)=ln(x+1)−ex，则f′(x)=1x+1−ex，
因为y=1x+1和y=−ex在(0,+∞)上递减，
所以f′(x)在(0,+∞)上递减，
因为f′(0)=0，所以x>0时，f′(x)0(i∈N∗)，因此要求lnPi+1−ePi的最小值，即求Pi的最大值，
又Pi=(−18)×(−115)i−1+58i∈N∗，i为奇数时，Pi58，且在i为偶数时，Pi=(−18)×(−115)i−1+58=58+18×(115)i−1是单调递减的，58