2024-2025学年甘肃省多校联考高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省多校联考高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.点P(−3,8,−5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A. (3,−8,−5)B. (−3,8,5)C. (3,8,5)D. (−3,−8,5)
2.已知函数f(x)=x4−3x，则limΔx→0f1−2Δx−f1Δx=( )
A. −2B. 2C. 2eD. −2e
3.已知直线l的方向向量为m=(1,−3,4)，平面α的一个法向量为n=(a,2,1)，若直线l //平面α，则a=( )
A. −7B. −3C. −1D. 2
4.对任意的x∈R,f′(x)=ex,f(0)=−1，则f(x)=( )
A. exB. ex−2C. ex−1D. e2x−2
5.下图是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则函数y =f(x)的图象可能为( )
A. B.
C. D.
6.已知某班级中，喜欢科幻小说的学生占80％，喜欢科幻小说且喜欢推理小说的学生占60％，若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢科幻小说的条件下，该学生也喜欢推理小说的概率为( )
A. 22.5％B. 30％C. 40％D. 75％
7.在函数f(x)=6x−x2的图象与x轴围成的封闭图形内作一内接矩形ABCD，则可作矩形的最大面积为( )
A. 6 3B. 12 3C. 6+2 3D. 27
8.在空间中，若向量a=(1,−1,−2)，b=(1,2,3)，c=(3,3,m)共面，则m=( )
A. 4B. 2C. −3D. −6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，则( )
A. 小王和小张都中奖的概率为0.08
B. 小王和小张都没有中奖的概率为0.46
C. 小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44
D. 小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92
10.下列函数在定义域内不是单调函数的是( )
A. f(x)=xex B. f(x)=xlnx C. f(x)=ex−x D. f(x)=csx−2x
11.已知ABCD−A1B1C1D1是棱长为a的正方体，A1C与BD1相交于点O，则下列结论正确的是( )
A. A1B1⋅AC=a2B. AB⋅A1C= 2a2
C. CD⋅AB1=−a2D. AB⋅OC=12a2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,2,5),b=(2,x,−1)，且a⋅b=2，则x= ．
13.已知f(x)=−x3−2x,x∈R，则不等式f(2m)>f(m+2)的解集是 ．
14.有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工
出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数fx=x3−ax2+ba,b∈R的图象过点−1,0，且f′2=4．
(1)求a，b的值；
(2)求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程．
16.(本小题15分)
如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=AD=BD=AA1=2．
(1)求直线BD1与平面ACD1所成角的正弦值；
(2)求点B1到平面ACD1的距离．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3−32ax2+b(00，
可得f(−1)=−32，有b−32a−1=−32，
可化为b−32a+12=0 ②，
解方程①②可得a=1，b=1，
故实数a，b的值都为1．
(2)由(1)得g(x)=x3−32x2−mx+1，有gˈ(x)=3x2−3x−m
若函数g(x)=f(x)−mx有且仅有两个极值点，
必有Δ=9+12m>0，可得m>−34．

18.解：(1)如图，作PD⊥BC，垂足为D，连接AD，
因为平面PBC⊥平面ABC,PD⊥BC，
平面PBC∩平面ABC=BC，且PD⊂平面PBC，
所以PD⊥平面ABC，因为AD⊂平面ABC，所以PD⊥AD，
因为AB⊂平面ABC，所以PD⊥AB，
又AB⊥AP,AP∩AD=A，且AP,AD⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
因为AD⊂平面PAD，所以AB⊥AD，
所以二面角P−AB−C的平面角为∠PAD，
即∠PAD=45∘，
因为AB=4 3,AC=2 3,AC⊥BC，
所以∠BAC=60∘，所以∠DAC=30∘，
即AD=4，
所以AP= 2AD=4 2；
(2)如图，以A为原点，AB,AD所在直线为x,y轴，过A作Az垂直于平面ABC，建立空间直角坐标系，
则B4 3,0,0,C 3,3,0,P(0,4,4)，
所以AB=4 3,0,0,AC= 3,3,0,AP=(0,4,4)，
设平面ABP的法向量为m=x1,y1,z1，
则m⋅AB=4 3x1=0,m⋅AP=4y1+4z1=0,
取y1=−1，则x1=0,z1=1，
所以m=(0,−1,1)为平面ABP的一个法向量，
设平面ACP的法向量为n=x2,y2,z2，
则n⋅AC= 3x2+3y2=0,n⋅AP=4y2+4z2=0,
取x2= 3，则y2=−1,z2=1，
所以n= 3,−1,1为平面ACP的一个法向量，
设锐二面角B−AP−C为θ，
所以csθ=m⋅nm⋅n=|1+1| 1+1⋅ 3+1+1= 105．

19.解：(1)函数f(x)=ax+lnx+a−2，定义域为(0,+∞)
f′(x)=1x−ax2=x−ax2，
①当a≤0时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增，增区间为(0,+∞)，没有减区间；
②当a>0，令f′(x)1)，由fx1=fx2=0，有ax1+lnx1+a−2=ax2+lnx2+a−2，可得a=x1x2lnx2x1x2−x1，
曲线y=f(x)在x=x1处的切线方程为y=x1−ax12x−x1，
曲线y=f(x)在x=x2处的切线方程为y=x2−ax22x−x2，
联立两条切线方程，消去y，有x1−ax12x−x1=x2−ax22x−x2，
有1x1−ax12x−1−ax1=1x2−ax22x−1−ax2，
有1x2−1x1+a1x12−1x22x=a1x1−1x2，
有1x2−1x11−a1x2+1x1x=a1x1−1x2，
有a1x2+1x1−1x=a，即a1x2+1x1−1m=a，
可得am=a1x2+1x1−1，代入a=x1x2lnx2x1x2−x1，
有am=x1x2lnx2x1x2−x11x2+1x1−1=x1+x2lnx2x1x2−x1−1=(t+1)lntt−1−1，
要证m1，只需证(t+1)lntt−1−1>1，即证lnt−2(t−1)t+1>0，
令g(x)=lnx−2(x−1)x+1(x>1)，有g′(x)=1x−4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0，
可知函数g(x)单调递增，由g(1)=0，可知t>1，lnt−2(t−1)t+1>0，
故m