中考数学《重难点解读•专项训练》(全国通用)专题09二次函数与胡不归综合应用(专项训练)(原卷版+解析)

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2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣2），与x轴分别交于点B（3，0）和点A，且tan∠CAO＝1．
（1）求抛物线解析式．
（2）抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由；
（3）抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使PC+PD值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
3．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P（x，y）在该二次函数的图象上，且S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；
（3）设F为线段BD上的一个动点（异于点B和D），连接AF．是否存在点F，使得2AF+DF的值最小？若存在，分别求出2AF+DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x+7交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，直线y＝x+7经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM+AM的最小值及此时点M的坐标；
5．已知：如图所示，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，点A在点B的左侧，且满足tan∠CAB•tan∠CBA＝1．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线y＝﹣x2﹣x+c上一点，且△PAC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的坐标；
（3）若M为线段AO上任意一点，求MC+AM的最小值．
6．已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC＝OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当PA＝2PE时，求EF+BF的最小值．
专题09 二次函数与胡不归综合应用（专项训练）
1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则2OP+AP的最小值为 ．
【答案】6
【解答】解：连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，
∵y＝0时，﹣x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，
∴B的坐标为（2，0），
∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣）2+3，
∴A的坐标为（，3），
∴OA＝＝2，
而AB＝AO＝2，
∴AB＝AO＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠OAP＝30°，
∴PH＝AP，
∵AP垂直平分OB，
∴PO＝PB，
∴OP+AP＝PB+PH，
当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，
而BC＝AB＝3，
∴2OP+AP＝2（OP+AP）的最小值为6．
故答案为：6．
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣2），与x轴分别交于点B（3，0）和点A，且tan∠CAO＝1．
（1）求抛物线解析式．
（2）抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由；
（3）抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使PC+PD值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵C（0，﹣2），
∴OC＝2，
∵tan∠CAO＝1，
∴＝1，
∴OA＝2，A（﹣2，0），
将A（﹣2，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，理由如下：
过A作AM∥BC交y轴于M，交抛物线于Q，作M关于x轴的对称点M'，作直线AM'交抛物线于Q'，如图：
∵AM∥BC，
∴∠QAB＝∠ABC，即Q是满足题意的点，
∵B（3，0），C（0，﹣2），
∴直线BC解析式是y＝x﹣2，
设直线AM解析式为y＝x+m，将A（﹣2，0）代入得﹣+m＝0，
∴m＝，
∴直线AM解析式为y＝x+，M（0，），
解得（与A重合，舍去）或，
∴Q（5，），
∵M、M'关于x轴对称，
∴∠Q'AB＝∠QAB＝∠ABC，M'（0，﹣），
∴Q'是满足题意的点，
设直线AQ'为y＝kx﹣，将A（﹣2，0）代入得﹣2k﹣＝0，
∴k＝﹣，
∴直线AQ'为y＝﹣x﹣，
解得（舍去）或，
∴Q（1，﹣2）；
综上所述，点Q坐标是（5，）或（1，﹣2）；
（3）在y轴上存在一个点P，使PC+PD值最小，理由如下：
过P作PH⊥AC于H，过D作DH'⊥AC于H'，交y轴于P'，如图：
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线对称轴是直线x＝，
∴D（，0），
∵OA＝OC＝2，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OCA＝45°＝∠OAC，
∴△PCH是等腰直角三角形，
∴PH＝PC，
∴PC+PD最小即是PH+PD最小，
∴当P运动到P'，H和H'重合时，PC+PD的最小，最小值是DH'，
∵∠OAC＝45°，DH'⊥AC，
∴△ADH'是等腰直角三角形，
∴DH'＝AD，
∵A（﹣2，0），D（，0），
∴AD＝，
∴DH'＝，即PC+PD的最小值是．
3．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P（x，y）在该二次函数的图象上，且S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；
（3）设F为线段BD上的一个动点（异于点B和D），连接AF．是否存在点F，使得2AF+DF的值最小？若存在，分别求出2AF+DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：把x＝﹣5代入y＝﹣x+，
解得y＝3，
∴D（﹣5，3），
把D（﹣5，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣8a，
解得a＝，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线BD与y轴交于点E，
∴E（0，），
由可得A（﹣2，0），B（4，0），C（0，），
由S△BCD＝S△ABP，
∴CE•|xB﹣xD|＝AB•|yP|，
∴（﹣）×（4+5）＝（4+2）×|yP|，
∴|yP|＝，
∴yP＝±，
∵抛物线的顶点为（1，﹣），
∴yP＝，
∴P点坐标为或；
（3）存在点F，使得2AF+DF的值最小，理由如下：
过点D作DM平行于x轴，故∠BDM＝30°，过F作FH⊥DM于H，
∴sin30°＝＝，
∴HF＝DF，
∴2AF+DF＝2（AF+DF）＝2（AF+HF）＝2AH，
当A、F、H三点共线时，即AH⊥DM时，2AF+DF取最小值，
∵A（﹣2，0），
∴F（﹣2，2），
∵D（﹣5，3），
∴AH＝3，
∴2AF+DF的最小值为6．
4．如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x+7交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，直线y＝x+7经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM+AM的最小值及此时点M的坐标；
【解答】解：（1）在y＝﹣x2﹣6x+7中，令y＝0得：
﹣x2﹣6x+7＝0，解得x＝﹣7或x＝1，
∴A（﹣7，0），B（1，0）；
（2）过P作PN⊥x轴于N，交AC于M，如图：
抛物线y＝﹣x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝﹣＝﹣3，
在y＝﹣x2﹣6x+7中，令x＝0得y＝7，
∴C（0，7），
∴AC＝＝7，
∴sin∠CAB＝＝＝，
在Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠CAB＝AM，
∴PM+AM最小，即是PM+MN最小，由垂线段最短可知PM+AM的最小值即为PN的长，
∵点P，C（0，7）关于抛物线的对称轴直线x＝﹣3对称，
∴PN与OC关于抛物线y＝﹣x2﹣6x+7的对称轴直线x＝﹣3对称，P（﹣6，7），
∴PN＝OC＝7，即PM+AM的最小值为7，
由A（﹣7，0），C（0，7）得直线AC解析式为y＝x+7，
在y＝x+7中，令x＝﹣6得y＝，
∴M（﹣6，）；
5．已知：如图所示，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，点A在点B的左侧，且满足tan∠CAB•tan∠CBA＝1．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线y＝﹣x2﹣x+c上一点，且△PAC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的坐标；
（3）若M为线段AO上任意一点，求MC+AM的最小值．
【解答】解：（1）设点A、B的横坐标分别为x1，x2，
令y＝0可得﹣x2﹣x+c＝0，
∴x1•x2＝﹣2c，
∵tan∠CAB•tan∠CBA＝1，即＝1，
∴OC2＝OA•OB＝（﹣x1）•x2＝2C，
即c2＝2c，
解得c1＝0（舍去），c2＝2，
∴抛物线y＝﹣x2﹣x+2，
令y＝0解得，x1＝﹣4，x2＝1，
故点A（﹣4，0），点B（1，0）；
（2）△PAC的内切圆圆心正好落在x轴上，则x轴为∠CAP的角平分线，
作点C关于x轴的对称点C'（0，﹣2），
设直线AC'的解析式为y＝kx+b，将点A（﹣4，0），C'（0，﹣2）代入，
得，
解得，
∴直线AC'的解析式为y＝x﹣2，
联立抛物线与直线得，
解得，，
故点P坐标（2，﹣3）；
（3）过点A作直线AD，使sin∠OAD＝，过点M作ME⊥AD于点E，如图，
在Rt△MAE中，sin∠OAD＝，
∴ME＝AM，
∴MC+AM＝MC+ME，当点M、C、E三点共线时，MC+ME最小为CE，
∵∠OMC＝∠EMA．∠MEA＝∠COM，
∴∠EAM＝∠OCM，
在Rt△OCM中，sin∠OCM＝sin∠OAD＝，OC＝2，
∴tan∠OCM＝＝＝，cs∠OAD＝＝，
∴OM＝1，CM＝，
∴AM＝4﹣1＝3，
在Rt△AEM中，sin∠OAD＝，AM＝3，
∴EM＝3•sin∠OAD＝，
∴MC+ME＝+＝．
故MC+AM的最小值．
6．已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC＝OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当PA＝2PE时，求EF+BF的最小值．
【解答】解：（1）在y＝ax2﹣4ax﹣12a中，令y＝0得ax2﹣4ax﹣12a＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝6，
∴OA＝2，
∵OC＝OA，
∴OC＝3，即C（0，3），
将C（0，3）代入y＝ax2﹣4ax﹣12a得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）过E作EH⊥x轴于H，交BC于F'，过F作FQ⊥x轴于Q，如图：
∵y＝﹣x2+x+3对称轴为直线x＝2，
∴P横坐标为2，即ON＝2，
∴AN＝2﹣（﹣2）＝4，
∵AP＝2PE，
∴AN＝2NH，
∴NH＝2，
∴E横坐标为4，在y＝﹣x2+x+3中令x＝4得y＝3，
∴E（4，3），
由（1）可知：OC＝3，OB＝6，
Rt△BOC中，BC＝＝3，
∴sin∠CBO＝＝＝，
∵EH⊥x轴，
∴Rt△BFQ中，sin∠CBO＝＝，
∴FQ＝BF，
而EF+BF＝（EF+BF），
∴EF+BF最小即是EF+BF最小，也是EF+FQ最小，此时E、F、Q共线，即F与F'重合，Q与H重合，EH的长度即是EF+BF的最小值，
∵EH＝|yE|＝3，
∴EF+BF的最小值为3，
∴EF+BF的最小值为；