(暑期班)2025年新高三数学暑期复习讲义10 抛物线方程及其性质+随堂检测+课后巩固练习（2份，原卷版+教师版）

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抛物线的定义
平面上一动点到定点的距离与到定直线：的点的轨迹叫做抛物线
抛物线的图形
数学表达式
标准方程的推导
设，由定义可知：，等式两边同时平方得：
抛物线的标准方程及其几何性质
通径
通径长：，半通径长：
焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）
焦点弦的性质

考点一、抛物线的定义
1.已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
2.设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
1.已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
2.已知动点到定点的距离比到直线的距离小2，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设是轴上的点，曲线与直线交于，且的面积为，求点的坐标.
考点二、抛物线的标准方程
1.抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
2.（多选）设抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点，若，且，则抛物线的方程可以为（ ）
A． B． C． D．
1.已知抛物线的焦点为，点，线段与抛物线相交于点，若抛物线在点处的切线与直线垂直，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
考点三、抛物线的几何性质
1.抛物线的焦点为，其准线与双曲线的渐近线相交于两点，若的周长为，则（ ）
A．2 B． C．8 D．4
2.已知抛物线：的焦点为，点为上一点，为靠近点的三等分点，若，则点的纵坐标为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
1.已知抛物线的焦点为F，准线为l，A，B为C上两点，且均在第一象限，过A，B作l的垂线，垂足分别为D，E.若，，则的外接圆面积为（ ）.
A． B． C． D．
2.已知抛物线，F为抛物线的焦点，P为抛物线上一点，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为Q，若，则△PFQ的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
考点四、抛物线中的最值问题
1．已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2.已知抛物线，P为C上一点，，，当最小时，点P到坐标原点的距离为（ ）
A． B． C． D．8
1.已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 .
2.已知抛物线，其焦点为F，PQ是过点F的一条弦，定点A的坐标是，当取最小值时，则弦PQ的长是 .
【基础过关】
一、单选题
1.已知抛物线上的点到其焦点的距离为4，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.设抛物线的焦点为，若点在抛物线上，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3.已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4.已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C的准线与坐标轴相交于点P，点，且的面积为2，若Q是抛物线C上一点，则周长的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
5.已知椭圆的长轴长为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的标准方程为 ．
6.已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于不同的两点，.若，则 .
7.已知抛物线的的准线与轴交于点，，是的焦点，是上一点，，则 .
8.抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图像正好对应抛物线，则 .
【能力提升】
一、单选题
1.已知点是抛物线上的一点,点是圆上的一点,为坐标原点,则的最大值为( )
A． B． C． D．
2.已知抛物线的焦点为 ，准线为，为上一点，，垂足为，与轴交点为，若，且的面积为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3.已知点，点P在抛物线上运动，F是抛物线的焦点，连接PF并延长与圆交于点B，则的最小值是 .
【真题感知】
一、单选题
1．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
二、填空题
3.已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
4.已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
第10讲 抛物线方程及其性质 随堂检测
1.已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2.若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
3.已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且，则（ ）
A．2 B． C． D．4
4.已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2，过点F且倾斜角为的直线交抛物线C于A，B两点，则（ ）．
A． B．5 C． D．2
5.已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
6.已知抛物线的焦点为，为上的动点，为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7.设为抛物线的焦点，为抛物线上一点，若，则点的横坐标为 ．
8.已知A，B是拋物线上两个不同的点，F为拋物线的焦点，G为的重心．若，则的最小值为 ．
9.已知点，点B为直线上的动点，过点B作直线的垂线l，且线段的中垂线与l交于点P．
(1)求点P的轨迹的方程；
(2)设与x轴交于点M，直线与交于点G（异于P），求四边形面积的最小值．
焦点位置
轴正半轴
轴负半轴
轴正半轴
轴负半轴
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程