2024届 四川成都高三第二学期高考数学(理)模拟试卷(二模)附解析

这是一份2024届 四川成都高三第二学期高考数学(理)模拟试卷(二模)附解析，共19页。试卷主要包含了7x−9495， 故选， 故8等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上。
1．已知复数z满足2−i⋅z=5i，则z⋅z=
A．3B．3C．5D．5
2．已知集合A={x|x​2−2x−30上，F为C的焦点，直线MF与C的准线相交于点N，则MN=
A．253B．203C．152D．254
7．如图，高速服务区停车场某片区有A至H共8个停车位（每个车位只停一辆车），有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则两辆黑色车停在同一列的条件下，两辆白色车也停在同一列的概率为
A．15B．14C．12D．110
8．已知函数fx=sinωx−2π3ω>0在[0,π]有且仅有三个零点，则ω的取值范围是
A．[83,113]B．[83,113)C．[53,83]D．[53,83)
9．已知函数fxx∈R满足fx+f4−x=0，若函数fx与y=1x−2图象的交点横坐标分别为x1,x2,⋯,xn，则∑​i=1​nx1=
A．4nB．2nC．nD．0
10．过双曲线C:x​2a​2−y​2b​2=1a>0,b>0的左焦点F作圆x​2+y​2=a​2的切线，切点为A，直线FA与C的渐近线在第一象限交于点B，若FB=3FA，则C的离心率为
A．2B．3C．2D．3
11．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P为DD1的中点，过A，B，P三点作平面α，则该正方体的外接球被平面α截得的截面圆的面积为
A．13π5B．16π5C．3πD．14π5
12．已知x>0，ex+lny=1，给出下列不等式
（1）x+lny2；（3）lnx+ey1
其中一定成立的个数为
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题纸上）.
13．已知函数fx=a2x+1−1sinx是偶函数，则实数a= .
14．已知非零向量a，b满足a=2b，且a−b⋅b=0，则a与b夹角的大小为 .
15．动直线l:mx+y−2m−1=0被圆C:x​2+y​2+2x−25=0截得弦长的最小值为 .
16．公比为q的等比数列{an}满足：a9=lna10>0，记Tn=a1a2a3⋯an，则当q最小时，使Tn≥1成立的最小n值是 .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=23，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，OP=23，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF.
（1）求证：平面OEF//平面PCD；
（2）求二面角A−EF−O的余弦值.
18．（本小题满分12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a​2=b​2+c​2−48，且△ABC的面积为63.
（1）求tanA的值；
（2）若D是AC边的中点，csC=714，求BD的长.
19．（本小题满分12分）
随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇。某公司生产了A、B两种不同型号的新能源汽车，为了解大众对生产的新能源汽车的接受程度，公司在某地区采用随机抽样的方式进行调查，对A、B两种不同型号的新能源汽车进行综合评估，综合得分按照[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分组，绘制成评估综合得分的频率分布直方图（如图）：

A型号评估综合得分频率分布直方图B型号评估综合得分频率分布直方图
（1）以调查结果的频率估计概率，从A、B两种不同型号的新能源汽车中各随机抽取一辆，以X表示这两辆中综合得分不低于80分的辆数，求X的分布列和数学期望；
（2）为进一步了解该地区新能源汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销量y（单位：万台）关于年份x的线性回归方程为y=4.7x−9495.2，且销量的方差sy​2=50，年份的方差为sx​2=2. 求y与x的相关系数r，并据此判断该地区新能源汽车销量y与年份x的相关性强弱.
参考公式：
（ⅰ）线性回归方程：y=bx+a，其中b=∑ni=1xi−xyi−y∑ni=1xi−x2，a=y−bx；
（ⅱ）相关系数r=∑ni=1xi−xyi−y∑ni=1xi−x2∑ni=1yi−y2（若r∈[0,0.25]，则相关性较弱；若r∈[0.30,0.75]，则相关性较强；若r∈[0.75,1]，则相关性很强）.
20．（本小题满分12分）
已知A，B分别是椭圆E:x​2a​2+y​2b​2=1a>b>0的右顶点和上顶点，椭圆中心O到直线AB的距离为255，且椭圆E过点2,22.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过点Pa,b的直线与椭圆E相交于M，N两点，过点M作x轴的平行线分别与直线AB，NB交于点C，D. 试探究M，C，D三点的横坐标是否成等差数列，并说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数fx=axe​x−1a>0，
（1）讨论函数fx的零点个数；
（2）若fx>x+xlnx恒成立，求函数fx的零点x0的取值范围.
（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中选一题作答.如果多选，则按所做的第一题记分.
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
已知曲线C1的参数方程为x=1+csθy=sinθ（θ为参数），曲线C2的直角坐标方程为x+3y−1=0. 以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线C1和C2的极坐标方程；
（2）若直线l:y=kx（其中k∈[33,3]）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），求OA+1OB的取值范围.
23．【选修4-5：不等式选】（本小题满分10分）
设函数fx=2x−2+x+2.
（1）解不等式fx≤6−x；
（2）设函数fx的最小值为T，正数a，b，c满足a+b+c=T，证明：1a+1b+4c≥163.
【答案】
数学试题（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上。
1．D
由2−i⋅z=5i，得z=5i2−i=5i2+i2−i2+i=−1+2i，
所以z=−1−2i，所以z⋅z=−1+2i−1−2i=5. 故选：D.
2．B
由不等式x​2−2x−32，故命题②正确；
对于命题③，由ex+lny=1，取x=1，所以y=e​1−e∈0,1，
所以lnx+ey=ey>0，所以③错误.
对于命题④，因为x=ln1−lny，所以x+y=ln1−lny+y，01时，f​'x>0，
00，
由f​'xx+xlnx，即ae​x−1x−1−lnx>0，
设ℎx=ae​x−1x−1−lnx，求导得ℎ​'x=ae​x+1x​2−1x，而axe​x−1>0，
则ℎ​'x>0,ℎx在[x0,+∞)上单增，ℎx≥ℎx0=ae​x0−1x0−1−lnx0=−1−lnx0>0，
解得0