高考数学二轮专题——第07讲 抛物线(精讲）（原卷版）

这是一份高考数学二轮专题——第07讲 抛物线(精讲）（原卷版），共11页。试卷主要包含了抛物线的定义，抛物线的数学表达式等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc8763" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc8763 \h 1
\l "_Tc11931" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc11931 \h 2
\l "_Tc21489" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc21489 \h 4
\l "_Tc27708" 高频考点一：抛物线定义理解 PAGEREF _Tc27708 \h 4
\l "_Tc4964" 高频考点二：利用抛物线定义求轨迹 PAGEREF _Tc4964 \h 5
\l "_Tc29444" 高频考点三：抛物线中的距离及最值问题 PAGEREF _Tc29444 \h 7
\l "_Tc9544" 高频考点四：抛物线的标准方程 PAGEREF _Tc9544 \h 11
\l "_Tc27074" 高频考点五：抛物线的简单几何性质 PAGEREF _Tc27074 \h 12
\l "_Tc24181" 高频考点六：抛物线焦点弦（焦半径） PAGEREF _Tc24181 \h 14
\l "_Tc32290" 高频考点七：求实际问题中的抛物线 PAGEREF _Tc32290 \h 16
\l "_Tc6458" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc6458 \h 19
第一部分：知识点必背
知识点一：抛物线的定义
1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).
知识点二：抛物线的标准方程和几何性质
知识点三：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
第二部分：高考真题回归
1．（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
2．（多选）（2023·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
3．（2023·全国（乙卷文理）·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：抛物线定义理解
典型例题
例题1．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中）若抛物线上一点到其准线的距离为3，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为,是上一点，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
练透核心考点
1．（2023春·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（ ）
A．2B．C．3D．4
2．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知点是抛物线：的焦点，是抛物线上的一点，若，，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
高频考点二：利用抛物线定义求轨迹
典型例题
例题1．（2023秋·福建宁德·高二统考期末）已知动圆经过点，且与直线：相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）动点到轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若点满足方程，则点P的轨迹是 ．
2．（2023·全国·高三专题练习）与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是 ．
高频考点三：抛物线中的距离及最值问题
典型例题
例题1．（2023春·四川泸州·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若点，则周长的最小值为（ ）．
A．13B．12C．10D．8
例题2．（2023秋·湖南长沙·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
例题3．（2023·河北沧州·统考三模）设为抛物线：上的动点，关于的对称点为，记到直线的距离分别，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为 .
练透核心考点
1．（2023·广西·校联考模拟预测）抛物线的焦点为F，点，P为抛物线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．3C．2D．
2．（2023春·四川遂宁·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A．10B．16C．11D．26
3．（2023春·云南曲靖·高二统考期末）已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．5D．4
4．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，点，则的最小值为 .
高频考点四：抛物线的标准方程
典型例题
例题1．（2023春·陕西商洛·高二统考期末）若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·云南保山·高二统考期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是 .
例题3．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）若抛物线的焦点到准线的距离为，且的开口朝上，则的标准方程为 .
练透核心考点
1．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考期中）过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是 .
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，则此抛物线的标准方程为 ．
高频考点五：抛物线的简单几何性质
典型例题
例题1．（多选）（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左B．焦点坐标为C．准线为D．对称轴为轴
例题2．（2023·高二课时练习）对抛物线，下列描述正确的是 ( )
A．开口向上，焦点为(0，2)B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(2，0)D．开口向上，焦点为
练透核心考点
1．（多选）（2023春·广东湛江·高二统考期末）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为
2．（2023·高二课时练习）在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线.
（1）；
（2）；
（3）．
通过观察这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系．
高频考点六：抛物线焦点弦（焦半径）
典型例题
例题1．（2023·全国·模拟预测）已知点为抛物线：上一点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·广东广州·高二广州市白云中学校考期末）已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则 ．
例题3．（2023春·云南红河·高二校考阶段练习）过抛物线：焦点的直线交抛物线于，两点，若线段的中点到的准线的距离等于9，则 ．
练透核心考点
1．（2023·河南新乡·统考二模）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线C上，，若的面积为，则（ ）
A．4B．3C．5D．2
2．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上不同两点，且中点的横坐标为，则（ ）
A．4B．5C．6D．8
（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为3，则 .
高频考点七：求实际问题中的抛物线
典型例题
例题1．（2023·湖北·统考模拟预测）随着科技的进步，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用.下图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为（ ）（结果精确到0.01）
A．4.96B．5.06C．4.26D．3.68
例题2．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为 cm.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，已知卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·山东德州·高二统考期末）如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为 米．
第四部分：数学文化题
1．（2023春·江苏镇江·高二统考期中）青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为（ ）

A．B．C．D．
2．（2023·河北·统考模拟预测）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．年阿塔姆斯又曾作了许多研究和改进，到了年全世界就有了许多太阳灶的专利，有了各种各样形式的太阳灶．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为，高为的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ）

A．B．
C．D．
3．（2023·江西南昌·统考三模）两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯发现用平面切割圆锥可以得到不同的曲线.用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支.已知圆锥的轴截面是一个边长为的正三角形(为圆锥的顶点)，过的中点作截面与圆锥相交得到抛物线，将放置在合适的平面直角坐标系中可得到方程，则 .
标准方程
（）
（）
（）
（）
图形
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径长