山东省泰安市2024-2025学年高二下学期4月期中考试 数学 含解析

这是一份山东省泰安市2024-2025学年高二下学期4月期中考试 数学 含解析，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．乘积展开后的项数为（ ）
A．9B．12C．18D．24
2．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知随机变量的分布列为
则（ ）
A．B．C．D．
4．（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12B．16C．20D．24
5．函数在处取得极值10，则（ ）
A．5B．C．0D．0或
6．将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到花样滑冰，冰球，冰壶3个项目进行培训，每名志愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则甲，乙两人分配到同一个项目的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（ ）
A．27种B．36种C．54种D．72种
8．已知，，，，则，，，的大小关系正确的为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．某体育器材厂生产一批乒乓球，设乒乓球的直径为（单位：厘米），若，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．越小，越大
10．已知函数，其导函数为，则下列结论正确的是（ ）
A．直线是曲线的切线
B．有三个零点
C．
D．若在上有最大值，则的取值范围为
11．对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.例如：考察恒等式，左边的系数为，而右边，的系数为，因此可得到组合恒等式.利用算两次的思想方法或其他方法，可以得出下面有关组合数的等式，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．用这9个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是 .
13．已知，，，则 .
14．若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值集合为 .
四、解答题
15．在的二项展开式中.
(1)若，求展开式中含项的系数；
(2)若展开式中含有常数项，求最小的正整数的值.
16．在一盒中装有大小形状相同的10个球，其中5个红球，3个黑球，2个白球.
(1)若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽1个球，每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列；
(2)若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽取1个球，每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为，求的分布列和均值.
17．已知.
(1)若函数在上为增函数，求的取值范围；
(2)当，且时，不等式在上恒成立，求的最大值.
18．甲，乙两人参加投篮比赛，比赛规则如下：首次投篮者由抽签决定，后续两人轮流投篮，每人每次投一个球，投进得1分，投不进不得分，两人投进与否相互独立，甲乙两人各完成一次投篮记为一轮比赛.比赛过程中，只要有选手领先对方2分，则该选手获胜且比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为.第一轮投篮后甲乙两人各积1分的概率为.记比赛结束时甲乙两人的投篮总次数为.
(1)求；
(2)求在的情况下，乙获胜的概率；
(3)求甲在3轮比赛之内获胜的概率.
19．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)对于函数，，若存在，使，则称函数与为“互补函数”， ，为“互补数”.已知当时，函数与为“互补函数”且互补数为.
（ⅰ）是否存在，使？并说明理由；
（ⅱ）若，，请用含有的代数式表示的最小值.
山东省泰安市2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题参考答案
1．D
【详解】从第一个括号中选一个字母有3种方法，
从第二个括号中选一个字母有2种方法，
第三个括号中选一个字母有4种方法，
故根据分步乘法计数原理可知共有（项）．
故选：D
2．D
【详解】依题意，，
因为，
所以，所以切线方程为，
即，
故选：D.
3．C
【详解】易知，解得；
所以分布列为
因此.
故选：C
4．A
【详解】由题意得x3的系数为，故选A．
5．B
【详解】函数，求导得，
由在处取得极值10，得，解得或，
当时，，函数在R上递增，无极值，不符合题意；
当时，得，
当或时，；当时，，
因此是函数的极小值点，符合题意，所以.
故选：B
6．B
【详解】将5名志愿者分为3组，每组的人数分别为1、1、3或2、2、1，
当每组的人数分别为1、1、3时，不同的方案共有种，
当每组的人数分别为2、2、1，不同的方案共有种；
总的分配方案数为，
除了甲乙剩余3人分成两类：
一类是3个项目各一个志愿者，不同的方案共有种；
一类是一个项目一个志愿者，一个项目0个志愿者，一个项目2个志愿者，不同的方案共有种；
乙两人分配到同一个项目的分配方案共种，
所以甲，乙两人分配到同一个项目的概率为，
故选：B
7．C
【详解】解：由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；
再排甲，也有3种情况；
余下3人有种排法．故共有种不同的情况．
故选：C.
8．D
【详解】因为，则，
当时，，所以在单调递增；
因为，，
又，故A错；
，所以，故B错；
因为，故C错；
因为，所以，所以，故D 对；
故选：D
9．AC
【详解】对于正态分布，其正态分布曲线关于直线对称．
已知，则该正态分布曲线关于对称．
所以，选项正确．
，，，．
由正态分布曲线的对称性可知，，
所以，选项错误．
因为正态分布曲线关于对称，3.95与4.05关于对称．
所以，C选项正确．
越小，说明数据越集中在均值附近，正态分布曲线越“瘦高”．
那么越小，选项错误．
故选：AC．
10．BD
【详解】对于A，由，则，由直线，则其斜率为，
令，即，解得，，可得切点坐标为，
将代入，则，故A错误；
对于B，由当时，，当时，，
则函数在和单调递增，在单调递减，
由，，，，即，
则函数在，，分别存在唯一零点，即函数存在三个零点，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，由B可知函数在取得极大值，由，则，解得，故D正确.
故选：BD.
11．ABD
【详解】A选项，，
左边的系数为，
右边，
故的系数为，
故，A正确；
B选项，在个人中选人搞卫生工作，其中人擦窗户，人拖地，共有多少种不同的方法？
方法一：先从在个人中选人，再从选出的人中选出人擦窗户，共有种不同的方法；
方法二：先从在个人中选人擦窗户，再从剩余的人中选人拖地，
故共有种方法；
故，B正确；
C选项，，
，
左边的系数为，
右边的系数为，故，C错误；
D选项，由题干可得，
故，
即①，
由C可知，，则②，
故①-②得，
所以，D正确.
故选：ABD
12．448
【详解】用这9个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是.
故答案为：.
13．/
【详解】由全概率公式可得，
则由题意可得，
解得.
故答案为：
14．
【详解】令有且仅有一个根，且
所以，在上有且仅有一个根，
当，则
令且，则
所以在上单调递增，x趋向于0时，x趋向于1时
所以
当，则
令在上单调递减，且，x趋向于+∞时所以
综上所得，
故答案为：.
15．(1)60
(2)5
【详解】（1）当时，展开式的通项为
令，解得
所以展开式中含项的系数为
（2）展开式的通项，
由于展开式含有常数项，可得
即，又
即当时，取最小值5，此时展开式含有常数项，
因此最小的正整数的值为5.
16．(1)分布列见解析
(2)分布列见解析，
【详解】（1）若每次抽取后最放回，则每次取到黑球的概率均为，
取到小球的个数
∴
∴的分布列为
（2）若每次抽取后都不放回，取到小球的个数服从超几何分布
∴的分布列为
17．(1)
(2).
【详解】（1）因，则，
因在上为增函数，则即在上恒成立，
则，
又在上单调递减，则当时，则，
故的取值范围是；
（2）当时，，
当时，不等式等价于，
即对任意恒成立，
设，，则，
设，，则，
则在单调递增，
因，，
则存在使，即，
所以当时，，；当时，，，
故在单调递减，在单调递增，
则
所以，
又因，故的最大值为.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知：
∴
（2）当时，甲，乙两人共投篮3次
由于比赛结束，故有一人投篮2次全进，另一人投篮1次未进
设“时，比赛结束”，“乙获胜”
；
（3）若甲在3轮比赛之内获胜，则两人可能的投篮总次数为3，4，5，6
设“甲获胜”，“时比赛结束”
当时，若甲胜，两人的投篮情况一定为：甲进，乙不进，甲进，
∴
当时，若甲胜，两人的投篮情况一定为：乙不进，甲进，乙不进，甲进，
则
当时，若甲胜，两人的投篮情况可能为：
甲不进，乙不进，甲进，乙不进，甲进；
甲进，乙不进，甲不进，乙不进，甲进；
甲进，乙进，甲进，乙不进，甲进；
∴
当时，若甲胜，则乙先投篮，两人的投篮情况可能为：
乙不进，甲进，乙不进，甲不进，乙不进，甲进；
乙不进，甲不进，乙不进，甲进，乙不进，甲进；
乙不进，甲进，乙进，甲进，乙不进，甲进；
乙进，甲进，乙不进，甲进，乙不进，甲进；
∴
∴甲在3轮比赛之内获胜的概率为
19．(1)答案见解析
(2)（ⅰ）存在，理由见解析；（ⅱ）
【详解】（1）∵，∴，
①当时，，∴在上单调递减，
②当时令得，令得，
③当时令得，令得.
综上：当时，在上单调递减；
当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增.
（2）∵与为“互补函数”，
∴存在，使，
（ⅰ）若，则即，
∴，.
（ⅱ）设，则，
即即，
∴①+②得③，
①-②得④，
得，
∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
设，，则，
设，则，
设，则在上恒成立，
∴在上单调递增，∴
∴在上恒大于0，∴在上单调递增
∴，∴在上恒成立
∴在上单调递增，
∴，0
1
2
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
A
B
B
C
D
AC
BD
题号
11









答案
ABD









0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3