浙江省湖州市2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试卷（解析版）

这是一份浙江省湖州市2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，其中，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】已知角的终边经过点，
当a>0时，，
当时，.
故选：D.
2. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
得，故.
故选：B.
3. 将函数图象上每个点向右平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】把函数的图象向右平移个单位长度，
得，
把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得到的图象.
故选：C.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，所以，可得，故充分性成立；
由，可得，取，，但是不成立，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于在上单调递增，所以，
由得即，
当时，，，显然成立；
当时，单调递增，且，故，
综上，，
所以a的取值范围是
故选：C.
6. 某“激进型理财产品”是按复利的方式计算利息，即把前一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息.假设最开始本金为a元，年利率为，约经过（ ）年后，本息和能够“增倍”(即为原来的2倍附参考公式：，当x接近于0时，参考数据：，，
A. 16B. 14C. 12D. 10
【答案】B
【解析】设经过n年后本息和能够“增倍”，
依题意可得，，即，
故n的最小整数值为
故选：
7. 已知，则的值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】A
【解析】先由，得到，
即，所以，
即，
所以，，，
得.
8. 已知函数满足，，集合，若，则ab的值为（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】C
【解析】由，
可得，
…，
，
，
相加得，
所以，
所以，其周期为，
前4项为，，
，，
设，即为，，，
因为集合，且，
①若，
则，则
（i）若，则，矛盾；
（ii）若，则，即，
若k为奇数，则，，
则
若k为偶数，则，，
则
②若，
则，
则，得，即；
当k为奇数，则，，
则
③若，
若，得，则，
则，矛盾.
④若，
则，
则，同理可得
⑤若，同理可得出矛盾.
⑥当，
则，则，同理可得
综上所述，.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A.
B. 函数是奇函数
C. 是函数y=f(x)图象一条对称轴
D. 函数y=f(x)在上的值域是
【答案】AC
【解析】由函数的图象可得由，解得，从而A正确；
，又因为，解得，
从而，所以，
即函数偶函数，从而B错误；
当时，，所以，
函数y=f(x)的图象关于直线对称，所以C正确；
因为时，，所以当时，
当时，
所以函数y=f(x)在上的值域是从而D错误.
故选：
10. 已知a>0，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】由题意，，当且仅当时，取等号，
对于A、，
当且仅当时，取等号，故A正确；
对于B、，
当且仅当时，取等号，故B正确；
对于C、，当且仅当时，取等号，故C正确；
对于D、因为，且，
则，当且仅当时，取等号，故D错误.
故选：ABC.
11. 如图，正方形 ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点，当的周长为2时，则（ ）
A. B. PQ的长度有最大值
C. 的面积有最大值D. 的面积有最小值
【答案】ACD
【解析】设，，则，，，
则，，
在中，，
又因为的周长为2，即，
所以，即.
对于A，，
所以，所以，故A正确；
对于B，因为，，
由基本不等式，当且仅当时取等号，
解得，当且仅当时取等号，
所以，故B错误；
对于C，的面积为，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，因为的面积为，的面积为，的面积为，
所以
，
当且仅当时取等号，即面积的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数是常数)满足，则__________.
【答案】10
【解析】幂函数为常数)，
，，解得，，
13. 已知单位圆上有一段圆弧的长是l，且该弧所对圆周角的余弦值是45，则__________.
【答案】
【解析】设该弧所对圆周角为，则该弧所对圆心角为，
由题意知，，则，
所以，
又，所以
14. 已知函数，其图象与直线有两个交点.若关于x的方程有三个不等的实根，则实数a的值为__________.
【答案】
【解析】令，
显然x=0时，等式不成立，故
则或，即或，
因为y=f(x)与有两个交点，
所以与直线与直线有两个交点，
因为，所以，解得
考虑，令，则方程可化为，
由前面的分析可知，当时，有两个不等正实根，
则，则只需研究和根的个数，
方程的判别式为，
当时，，则的图象有位于x轴下方的部分，
保留其位于x轴上方的部分，将位于x轴下方的部分作关于x轴的翻折，即得的图象，
此时的图象与直线，都至少有2个交点，故共至少有4个交点，
则至少4个根，不合题意.
当时，，恒成立，
所以，则，
要使得恰有3个根，需的图象与，都有3个交点，
因为，所以的图象与有一个交点，与有2个交点，
所以，由可得，，
所以，
则，即，
所以，所以，
整理得，
即，即，
化简得，解得或舍去
综上所述，
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合
（1）求
（2）若集合，且，求实数m的取值范围.
解：（1）由，解得，所以
由，解得，所以，
故
（2）当时，，符合题意；
当m>0时，由，知，又，
所以，即
综上所述，
16. 已知锐角满足方程
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值.
解：（1）当时，，即，
所以
（2）当时，，
所以，即，
因为为锐角，所以，于是，
所以，，
故，所以
17. 已知函数
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数是否存在零点，若存在零点，请写出一个区间，满足，且若不存在零点，请说明理由.
解：（1）由，得，所以的定义域为，
又，
所以为奇函数.
（2），，
又，，
故由函数零点存在定理可知，函数在上存在零点，
此时，区间满足题意其中或，（答案不唯一）.
18. 已知函数，可将其化成的形式.
（1）求A，，，K的值；
（2）求函数的最小正周期，并求其图象的对称中心；
（3）若，，求的值.
解：（1）
，
所以，，，.
（2），即的最小正周期为，
由，得，
所以图象的对称中心为.
（3）由，得，
由，得，
由于，
所以，，
所以
19. 如图，湖州“飞凤大桥”是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线.一般的，悬链线方程为（为参数，为自然对数的底数，，当时，该方程就是双曲余弦函数
（1）求的值；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）如果定义双曲正弦函数为，当时，试比较与的大小关系，并说明理由.
解：（1）因为，
所以，，
所以.
（2）由（1）知，，
所以不等式恒成立，
等价于恒成立，
即恒成立，其中，
当且仅当即x=0时取到等号，所以恒成立，
令，则，，
由在上单调递增，
当时，取得最小值为，
即的最小值为，所以
（3）因为
，
①当时，，
即，所以，即，而，
所以
所以，即
②当时，，即，所以，
即，而，所以，
所以，即
综上所述，当时，