福建省连城县第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析）

这是一份福建省连城县第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若（是虚数单位，a，b是实数），则复数在复平面内对应的点是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若向量，满足，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．某单位老、中、青人数之比依次为.现采用分层随机抽样方法从中抽出一个容量为的样本，若样本中青年人人数为20，则此样本的容量为（ ）
A．40B．50C．70D．100
4．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则内的任何直线都与平行
C．若，，则 D．若，，则
5．已知向量，，若，则的值为（ ）
A． B．C． D．
6．如图所示，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ）
A． B． C．D．
7．某市为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）
A．图中a的值为0.010a
B．估计样本数据的众数m=75
C．估计样本数据的75%分位数为88
D．由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为7200人
8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）.
A． B． C．D．
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.设复数满足，则下列说法正确的是( )
A.为纯虚数 B.在复平面内， QUOTE 对应的点位于第三象限
C.的虚部为2i D.|z|= QUOTE
10．2021年某地居民人均可支配收入的构成比例如图所示，已知该地居民人均经营净收入为5250元，则（ ）
A．2021年该地居民人均经营净收入占居民人均可支配收入的21%
B．2021年该地居民人均可支配收入为25000元
C．2021年该地居民人均转移净收入低于人均经营净收入
D．2021年该地居民人均工资性收入比人均转移净收入多6750元
11．如图，在直三棱柱中是线段的中点，P是线段上的动点（含端点），则下列命题正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为
B．直三棱柱的外接球半径为
C．的值可以为
D．在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.数据12，23，15，19，17，27，14，30的第70百分位数为
13.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1= QUOTE AB，则异面直线AB1与BD所成角的余弦值为 .
14．已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线AC折叠成大小为二面角．设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为 ．
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15.（13分）已知=(1,0),=(2,1).
(1)若 QUOTE =2-, QUOTE =+m,且A,B,C三点共线,求m的值.
(2)当实数k为何值时,k-与+2垂直?
16．（15分）△ABC中的内角，，的对边分别是，，，若，.
（1）求；
（2）若，点为边上一点，且，求的面积.
17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.

(1)证明：；
(2)证明：平面.
18．（17分）随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是至，男性的正常范围是至.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图如图.
(1)求a；
(2)如果女性的体脂率超过属“偏胖”，那么全市“偏胖”女性约有多少万人？
(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？
19．（17分）如图，在平面四边形中，是等边三角形，是等腰三角形，且，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点.
(1)若，求证：平面平面；
(2)若，记的重心为，若，求与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角正切的最大值.
连城一中2024-2025学年下期高一月考2数学参考答案
1．D 【分析】根据复数的乘法，结合复数相等，可得参数的值，结合复数的几何意义，可得答案.
【详解】由，则，
所以复数在复平面上的对应点为.故选：D.
2．D 【分析】根据投影向量的定义求在上的投影向量.
【详解】由投影向量的定义，在上的投影向量为.故选：D
3．A 【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案.
【详解】依题意可知，.故选：A
4．B 【分析】根据面面平行性质、线面平行性质等相关知识求解即可.
【详解】因为，，则或相交或异面，故A错误；
由面面平行的性质可知，若，则内的任何直线都与平行,故B正确；
若，，则或，故C错误；
若，，则或，故D错误．故选：B
5．B 【分析】根据向量垂直得到方程，求出答案.
【详解】，故，解得.故选：B
6．B 【解析】根据斜二测画法的规则，还原出原来的图形，求出它的面积即可．
【详解】如图所示，
由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变，
正方形的对角线在轴上，
可求得其长度为，故在原平面图中其在轴上，
且其长度变为原来的2倍，长度为，
所以原来的图形是平行四边形，
其在横轴上的边长为1，高为，
所以它的面积是．故选：．
7．D 【分析】根据频率和为1，计算a的值,判断选项A；根据平均数公式，判断B；根据百分位数公式，判断C；计算体测成绩在内的频率，再结合总人数，即可判断D.
【详解】由频率分布直方图可知，，得，故A错误；
，故B正确；
设75%百分位数为x，，
而，
所以，
则，解得，故C错误；
则体测成绩在的频率为，
估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为人，故D对，故选： D
8．B 【分析】设，易知，且，设肉馅球半径为，，根据中点可知到的距离，，根据三角形面积公式及内切圆半径公式可得，结合余弦定理可得，进而可得，，可得内切球半径且可知三棱锥为正三棱锥，再根据球的体积公式及三棱锥公式分别求体积及比值.
【详解】
如图所示，取中点为，，
为方便计算，不妨设，
由，可知，
又、分别为所在棱靠近端的三等分点，
则，
且，、，，平面，
即平面，
又平面，则平面平面，
设肉馅球半径为，，
由于、、分别为所在棱中点，且沿平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅，
则到的距离，，，
又，解得：，
故，
又，
解得，，
所以：，解得，，
由以上计算可知：为正三棱锥，
故，
所以比值为.故选：B.
9.答案 BD解析 由z+3z−1=-i，得z=−3+i1+i=(−3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=-1+2i，故A错误；z的虚部为2，故C错误；|z|=(−1)2+22=5，故D正确；z=-1-2i，则z在复平面内对应的点位于第三象限，故B正确.
10．ABD 【分析】利用给定的饼状图，逐项分析计算判断.
【详解】对于A，2021年该地居民人均经营净收入占居民人均可支配收入的百分比为，A正确；
对于B，2021年该地居民人均可支配收入为（元），B正确；
对于C，由，得2021年该地居民人均转移净收入高于人均经营净收入，C错误；
对于D，2021年该地居民人均工资性收入为（元），
人均转移净收入为（元），，D正确.
故选：ABD
11．AD 【分析】利用线面平行判定定理证明平面，再利用等体积法计算可求得A正确，将直三棱柱补充为正方体，可得外接球半径为，故B错误；利用平面展开图和余弦定理计算可得C错误，求出直三棱柱内部能够放入的最大球的半径即可得D正确.
【详解】对于A选项，如下图所示，连接交于点，连接，
因为四边形为平行四边形，则为的中点，
又因为为的中点，则，
因为平面平面，则平面，
因为，则点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，
又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，
，故A正确；
对于B选项，直三棱柱可以补充为棱长为2的正方体，易知其外接球半径为，故B错误；
对于C选项，将面翻折到与面在同一个平面，如下图所示：
在中，，
由余弦定理可得：，
当且仅当三点共线时，取最小值，
故不可能为为，故C错误．
对于D选项，因为，则，
的内切圆半径为，
由于直径，所以在这个直三棱柱内部可以放入一个最大半径为的球，
而表面积为的球，其半径为，可得；
因为，所以这个直三棱柱内部可以放入半径为的球，故D正确；
故选：AD．
【点睛】关键点点睛：在求解三棱柱中能放入的球的表面积时，关键是求出的内切圆半径与三棱柱的高能否满足对应关系，进而确定球的最大半径.
答案23.
解析：这组数据按照从小到大排列为12，14，15，17，19，23，27，30，因为8×70%=5.6，所以第70百分位数是第六项数据23.
13.答案 QUOTE
解析 如图，连接B1D1，AD1，因为在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1DD1，
所以四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1，所以∠AB1D1(或其补角)是异面直线AB1与BD所成的角，设AA1= QUOTE AB= QUOTE ，则AB=1，
所以AD1=AB1= QUOTE =2，B1D1= QUOTE ，
记异面直线AB1与BD所成的角为θ，则cs θ= QUOTE = QUOTE .
14．/ 【分析】作出辅助线，证明出线面垂直，面面平行，得到点F轨迹为（除外），并得到为二面角的平面角，则，结合菱形性质求出的三边长，得到轨迹长度.
【详解】取的中点，连接，
因为菱形的边长为2，，
所以，均为等边三角形，
故⊥，⊥，且，
为二面角的平面角，则，
故为等边三角形，，
又，平面，
所以⊥平面，
又E为的中点，取的中点，的中点，
连接，则，且，
因为平面，平面，所以平面，
同理得平面，
因为，平面，
故平面平面，
所以⊥平面，
故点F轨迹为（除外），
故点F轨迹的长度为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用二面角的定义证明出⊥平面和平面平面，从而有⊥平面，则其轨迹为（除外），再计算周长即可.
15.解: (1)因为a=(1,0),b=(2,1),
所以 QUOTE =2a-b=2(1,0)-(2,1)=(0,-1), QUOTE =a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),
又A,B,C三点共线,所以 QUOTE ∥ QUOTE ,所以-1×(2m+1)=0×m,解得m=- QUOTE 分(2)因为ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),ka-b与a+2b垂直,
所以(ka-b)·(a+2b)=(k-2)×5+(-1)×2=0,解得k= QUOTE 分16．（1）（2）10
【分析】（1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得，再根据二倍角的余弦公式计算即可；
（2）由已知可得，利用余弦定理解出，由已知计算出与，再根据三角形的面积公式求出结果即可.
【详解】（1），，
在中，由正弦定理得，，又，
，，分
（2），，
，
由余弦定理得，，
则，
化简得，，
解得或（负值舍去），
，，
，，
，
的面积分
【点睛】本题考查了三角形面积公式以及正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角公式的应用，考查了运算能力，属于基础题.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件证明平面，再通过线面垂直的性质得到线线垂直；
（2）设，根据条件得到，再结合线面平行的判定定理证明即可.
【详解】（1）在直三棱柱中，平面，
因为平面，所以.
因为，，，
所以，所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，所以分
（2）设，连接，

则是的中点，
又因为是的中点，所以
因为平面，平面，
所以平面分
18．(1)
(2)10万
(3)小张
【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1，列出等式求解即可；
（2）由频率分布直方图求得相应频率即可求解；
（3）由中位数、平均数的计算公式求解即可.
【详解】（1）因为频率和为1，所以由频率直方图可得，，
所以分
（2）样本中女性“偏胖”的频率为，
全市“偏胖”女性的人数约为人，即10万人分
（3）调查所得数据的平均数为，
设调查所得数据的中位数为，
因为体脂率在的频率为；
体脂率在的频率为；
体脂率在的频率为；
又因为，，
所以，所以，所以，
所以调查所得数据的中位数约为，所以小王的体脂率约为，小张的体脂率为，所以小张的体脂率更低分
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）设等边三角形的边长为2，由勾股定理证明，利用线面垂直的判定定理证明面，根据面面垂直的判定定理得证；
（2）根据题意，可证，即三棱锥为正三棱锥，连接并延长交于，可证面面，过作，证明面，取的中点为，可得，所以为所求线面角，运算得解；
（3）设，过作，过作，连接，可证为所求夹角，在中，可得，由三角函数有界性求出的最大值，得解.
【详解】（1）设等边三角形的边长为2，
则，连接交于点.
因为是等腰三角形，所以，即，
因为，，.
所以，，
，面，
所以面，因为面，
所以面面分
（2）在中，，，，
由余弦定理得，所以，
所以三棱锥为正三棱锥.
因为是的重心，
所以面，则，
连接并延长交于，
连接，可得，，
所以面，
所以面面，过作，
因为面面，GH面，
所以面.
取的中点为，由题意知是的中点.
所以，所以为所求线面角
在中，，，
所以分
（3）因为，设，过作.
因为，可得平面，
所以平面平面，所以PN平面，
可得，，
过作，连接，
易得NFBC可得为所求夹角.
在中，，，
所以，
，
所以，解得，
所以平面与平面夹角正切的最大值分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
A
B
B
B
D
B
BD
ABD
题号
11









答案
AD