四川省南充市高级中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试卷（Word版附答案）

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8．D
【详解】由可得，即，
当时，，不等式在上显然成立；
当时，令，则在上恒成立，
由，在上，所以在上单调递增，
又时，，，所以只需在上恒成立，
即恒成立．
令，则，即在上单调递增，
其中，故，所以此时有．综上，．
故选：D．
11．ABD
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，由题意可知：
，B对；
对于C选项，设第次“美好成长”后共插入项，即，共有个间隔，且，
则第次“美好成长”后再插入项，则，
可得，且，
故数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，故，C错；
对于D选项，因为，且，
所以，，且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，故，
所以，，
所以，数列的前项和为，D对.
故选：ABD.
12.
13.
分
或者化简为：分
详解：（1），
（2）到达点有两种情况：
①从点按向量移动，即
②从点按向量移动，即
∴
∴
（3）数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴
所以
两边分别累加得
15．(1)；
(2)除以7的余数为6
【详解】（1）已知等比数列是递增，且
可得 分
∴，其前n项和 分
由（1）得，
由二项式定理得
分
设 ,
∴
∴除以7的余数为6 分
16．(1)单调递增区间为，，单调递减区间为.
(2)最大值为2，最小值为.
【详解】（1）由题意得，
由题意得，即，解得， 分
故，定义域为R，
，令得或，令得，
故在，上单调递增，在上单调递减， 分
易知为极小值点，符合题意，
所以单调递增区间为，，
单调递减区间为. 分
（2）由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减，分
当变化时，的变化情况如下表所示.
所以，.又，，分
因为,
故的最大值为2，最小值为. 分
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为椭圆过点，所以，又，且，
解得，所以椭圆的方程为；分
（2）
由题意，得，直线， 分
设，，，，
联立，消去，得，
显然△，，
则点的横坐标，
点的纵坐标．
即，
所以线段的垂直平分线方程为：， 分
令，得；令，得，
所以的面积，
的面积． 分
因为与的面积相等，
所以，解得，
所以当与的面积相等时，直线的斜率． 分
18.（1）………………1分
∵曲线在处的切线方程为.
∴……………………2分
∴…………………3分
（2）方法一：函数有两个不同的零点. 等价于方程有两个不同的根.
将方程变形为
方程的根等价于与的函数图像有两个不同的交点…………………………………………………………………………………………6分
令.
在单减，单增.…………………………………………………8分
.…………………………………………………………………9分
∴的取范围为……………………………………………………………10分
方法二：
令
因为方程有两个不同的解，所以有两个不同的零点.
，当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减
所以，所以.………………………………………7分
一方面因为，………………………………………………8分
另一方面因为，
令，，
所以.………………………………9分
综上：.…………………………………………………………10分
（3）
判断：
只需判断：
下证：等价于.……………………11分
因为，所以，所以，………………………………………………12分
要证：即证，即证：，因为，即证：，令……………15分
设，则，
所以，所以.……………17分
19.（1）
………………………………………………………………………………3分
（2）第行的个数之和为
···········4分
········5分
……………
……………………………………………………………………………7分
第行的最后一个数为…………………………………………8分
……………………………………………………………………………………10分
所以第行的个数之和与第行的最后一个数相等.
注意：
学生将与计算出作比较也给分.
同理
（3）【小问3详解】
当，时，，，当时，此时显然不成立.
猜测：存在正整数k，使得恒成立，k的最大值为3.
下证：当时，恒成立.………………………………………12分
由（1）知，，则，
因为
.
又，当时，.……………16分
当时，，所以.
综上：存在正整数k，k的最大值为3，使得恒成立.………………17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C
A
C
A
D
B
D
ABD
BD
ABD
1
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增