天津市弘毅中学2024−2025学年高二下学期第一次过程性诊断数学试卷（含解析）

这是一份天津市弘毅中学2024−2025学年高二下学期第一次过程性诊断数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共12小题）
1．下列求导运算正确的是（ ）
A．(a为常数)B．
C．D．
2．函数的单调递减区间是( )
A．B．C．D．
3．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极大值点（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．144种B．120种C．108种D．96种
6．已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．生命在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步､爬山､打羽毛球和跳绳，下列说法错误的是（ ）
A．若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法
B．若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法
C．若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有36种不同的安排方法
D．若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有240种不同的安排方法
8．若函数恰有1个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．若函数在处有极值10，则（ ）．
A．B．或15C．D．15
10．已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为
A．B．C．D．
11．中国空间站（China Space Statin）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．450种B．72种C．90种D．360种
12．若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
13．若，则 .
14．已知函数满足，则 .
15．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个.（用数字作答）
16．过原点作曲线的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ．
17．已知函数在区间[1,2]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是
18．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共3小题）
19．已知函数，当时取得极小值，当时取得极大值.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值与最小值.
20．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.
21．已知函数，
（1）若，求函数的极值；
（2）设函数，求函数的单调区间；
（3）若对内任意一个，都有成立，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】A：因为a为常数，所以，故A错误；
B：，故B正确；
C：，故C错误；
D：，故D错误.
故选B
2．【答案】B
【详解】函数的定义域是（0，+∞），
y′=1﹣+= ，
令y′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故函数在（0，1）递减，
故选B．
3．【答案】A
【详解】依题意，记函数的图象与轴的交点横坐标依次为
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以为极小值点，为极大值点，为极小值点
故极大值点有1个
故选:A
4．【答案】C
【详解】因为，则，所以，，
所以，.
故选C.
5．【答案】A
【详解】先涂区域1和区域2，有种涂色方法，
再涂区域3，这时有两类：
若区域1和区域3同色，则涂区域4和区域5有种涂色方法，
若区域1和区域3不同色，则涂区域3，区域4和区域5有种涂色方法，
所以不同的涂色种数有种涂色方法.
故选A.
6．【答案】B
【详解】由题得在R上恒成立，解不等式即得解.
【详解】由题意知，，
因为在R上是单调函数，且的图象开口向下，
所以在R上恒成立，
故，
即．
故选B
7．【答案】A
【详解】对于A，若瑜伽被安排在同一和周六，则共有种不同的安排方法，故A不正确；
对于B，若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则由间接法可得，
不同的安排方法种数为，故B正确
对于C，若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有种不同的安排方法，故C正确；
对于D，若瑜伽不被安排在相邻的两天，则先排其他四项运动，共有种不同的安排方法，
再从5个空位里插入2个安排练习瑜伽，故共有种不同的安排方法，故D正确.
故选A.
8．【答案】C
【详解】解：因为，所以，所以当时，即函数在上单调递增，当时，即函数在和上单调递减，所以当时取得极小值，当时取得极大值，要使函数恰有1个零点，则或，即或，解得或
即
故选C
9．【答案】D
【详解】，
由题意得，
解得或，
当时，，，
故在R上单调递增，无极值，舍去，
当时，，，
当或时，，当时，，
所以在处取得极小值，满足要求，此时.
故选D
10．【答案】A
【详解】分析：先构造函数，再根据函数单调性解不等式.
详解：令，因为，
所以
因此解集为 ，
选A.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
11．【答案】A
【详解】当按照1，2，3的人数安排时，有种安排方法；
当按照2，2，2的人数安排时，有种安排方法；
故共有种安排方法.
故选A
12．【答案】D
【详解】设，不等式，变形为，
设函数，则函数在区间单调递减，
由，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以.
故选D
13．【答案】7
【详解】由，，
则，解得.
14．【答案】
【详解】由，
则，
则，即，
则，
则.
15．【答案】1080
【详解】
【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.
16．【答案】（1,） e
【详解】试题分析：设切点为，因为y=ex，所以，所以切线方程为：，因为切线方程过原点，把原点坐标代入，得，所以切点坐标为，切线的斜率为．
考点：导数的几何意义；曲线切线方程的求法．
点评：我们要注意“在某点处的切线方程”和“过某点的切线方程”的区别．属于基础题型．
17．【答案】
【详解】因为，，，
若在上存在单调递增区间，则在上有解，
即在上有解，，
又，，则的取值范围是：.
18．【答案】
【详解】 ∵函数在上是“凸函数”，
∴在上恒成立即
令，显然在上单调递增，
∴
∴t≥．
故答案为
19．【答案】（1）
（2）最大值为2，最小值为
【详解】（1）由，则，
因为函数在时取得极小值，时取得极大值，
则，是方程的两实根，
则，解得，
此时，则，
令，得；令，得或，
则函数在和上单调递减，在上单调递增，
则函数在时取得极小值，在取得极大值，满足题意，
则.
由，得，又，
所以函数在点处的切线方程为，
即.
（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，
因为，
所以函数在上的最大值为2，最小值为.
20．【答案】（1）答案见解析
（2）
【详解】（1）由，定义域为，
则，
当时，，
故函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令得，令得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为；
函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，若对于任意，总存在，使得，
即在上的最大值小于等于在的最大值，
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减；
故.
由，，则，
由于，故在上恒成立，
故在上单调递增，
故，
所以，即.
令，，
则，
故在上单调递减，
又，
所以当时，，
故m的取值范围为.
21．【答案】（1）的极小值是，没有极大值；（2）答案见解析；（3）.
【详解】试题分析：
（1）的定义域为，且，结合导函数的解析式研究函数的极值可得的极小值是，没有极大值；
（2），则，分类讨论可得：
①当时，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，函数在上单调递增；
（3）原问题等价于“函数在上的最小值大于零”
结合（2）的结论分类讨论：①；②；③；④四种情况可得的范围是：.
试题解析：
（1）的定义域为，
当时，，，
所以的极小值是，没有极大值；
（2），
，
①当时，即时，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，在上，
所以，函数在上单调递增；
（3）“对内任意一个，都有成立”等价于
“函数在上的最小值大于零”
由（2）可知
①当时，在上单调递增，所以，解得；
②当，即时，在上单调递减，
所以的最小值为可得，
因为，所以；
③当，即时，在上单调递增，
所以最小值为，由可得，所以；
④当，即时，可得最小值为，
因为，，所以，
故，恒成立.
综上讨论可得所求的范围是：.
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）考查数形结合思想的应用．
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