广东省江门市新会第一中学2024−2025学年高二下学期4月份月考 数学试卷（含解析）

这是一份广东省江门市新会第一中学2024−2025学年高二下学期4月份月考 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共12小题）
1．下列函数的求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．设函数，则（ ）
A．B．C．D．
3．若是2和18的等比中项，则实数的值是（ ）
A．6B．或6C．10D．或10
4．记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．6B．8C．10D．12
5．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．和
C．D．
6．函数的极值为（ ）
A．B．C．D．3
7．函数在区间上的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
8．已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．B．-1C．D．
11．函数满足：，若，，则（ ）
A．1B．C．5D．
12．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得．已知函数，那么实数的最大值为（ ）
A．1B．C．D．0
二、多选题（本大题共5小题）
13．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．它的极大值为，极小值为
B．当时，它的最大值为，最小值为
C．它的单调递减区间为
D．它在点处的切线方程为
14．已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ）

A．有个极值点
B．是的极大值点
C．是的极大值点
D．在上单调递增
15．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值但没有最大值
B．对于任意的，恒有
C．仅有一个零点
D．有两个极值点
16．下列不等关系成立的有（ ）
A．B．C．D．
17．对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
三、填空题（本大题共6小题）
18．已知函数，则 ．
19．等差数列中，若，则公差 ．
20．曲线过点的切线方程为 .
21．已知，则函数的最小值为 ．
22．已知直线与曲线相切，则实数的值为 .
23．对于任意给定的一个正整数，将分母小于或等于的既约（最简）真分数按照自左至右递增排列，并在第一个分数之前加上，在最后一个分数之后加上，该数列称为阶Farey数列，记为，其项数记为，各项的和记为.如下，给出，，…，，在中，有，，
已知，则 ， .
四、解答题（本大题共2小题）
24．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在处有极大值，求的值.
25．已知函数（且）.
(1)当时，求的极小值点与极小值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个零点，（），且，证明：.
参考答案
1．【答案】D
【详解】选项A：，故A错误；
选项B：，故B错误；
选项C：，故C错误；
选项D：，故D正确.
故选D.
2．【答案】D
【详解】．
故选D.
3．【答案】B
【详解】由题设.
故选B.
4．【答案】A
【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，
由，得，则，所以.
故选A.
5．【答案】C
【详解】由题设，且，
可得，所以递增区间为.
故选C.
6．【答案】A
【详解】由题知的定义域为，且.
当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，无极大值，
故选A.
7．【答案】C
【详解】由，求导得，
当时，，当时，
即在上单调递增， 在上单调递减，
故．
故选C.
8．【答案】A
【解析】求出，根据已知在存在变号零点，即可求解.
【详解】∵，在内不是单调函数，
故在存在变号零点，即在存在零点，
∴.
故选A.
9．【答案】C
【详解】由题意得在上恒成立，
则，因为，
则.
故选C.
10．【答案】B
【详解】，令得，解得.
故选B.
11．【答案】D
【详解】由题意可得，
用代替可得，
两式相加得.
所以，所以函数是以6为周期的周期函数.
所以.
又，所以.
所以.
所以.
故选D.
12．【答案】C
【分析】利用导数判断单调性，求解出值
【详解】因为函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得，
又函数，可得，
所以，此时，
又，所以，因为，且，所以，
不妨设，函数定义域为，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，
则当时，λ取得最大值，最大值为．
故选C．
13．【答案】ACD
【详解】函数，．
由，得或，此时函数单调递增；
由，得，此时函数单调递减，C正确；
当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值，A正确；
当时，单调递增，它的最大值为，
最小值为，B错误；
，，它在点处的切线方程为，D正确．
故选ACD.
14．【答案】ABD
【详解】根据函数的图象可知，
在区间，单调递增；
在区间，单调递减.
所以有个极值点、是的极大值点、在上单调递增，
是的极小值点，
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选ABD.
15．【答案】BC
【分析】AD选项，求导，得到函数单调性，从而得到AD错误；BC选项，结合函数特征得到当时，，且函数只有一个零点0，BC正确.
【详解】AD选项，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故有最大值但没有最小值且只有一个极值点，AD错误；
BC选项，由于恒成立，故当时，，
令，得，所以函数仅有一个零点，B，C正确.
故选BC.
【方法总结】先求导，得到函数单调性；结合函数特征得到当时，，且函数只有一个零点0，即可解题.
16．【答案】ABC
【详解】对于A,由于，因此，故A正确，
对于B，，故B正确，
对于C，令函数，故在单调递减，所以，即，故C正确，
对于D，令函数，故在单调递增，所以，即，故D错误，
故选ABC.
17．【答案】AC
【详解】由得，令，则，，所以是的拐点，进而是的对称中心，故C正确，
令，则或，故在单调递增，在单调递减，故是极小值点，是极大值点，故A正确，
由于是的极小值点，且，故只有一个零点，故B错误，
设是的切点，令，解得故和，当切点为时，则切线方程为，当切点为时，切线方程为，故不是切线，故D错误，
故选AC.
18．【答案】
【详解】由函数，求导可得，
所以.
19．【答案】1
【详解】由，解得，
20．【答案】
【详解】设切点为，则，
故切线方程为，
将代入可得，解得，
故切线方程为，即.
21．【答案】1
【详解】由题意可知：函数的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
可知函数在内单调递减，在内单调递增，
所以函数的最小值为.
22．【答案】
【详解】设切点为，
由得，，故切线斜率，
由直线可知切线过，故，
∴，解得，
∴.
23．【答案】 23
【详解】分母为6的既约真分数有，，共2个；
分母为7的既约真分数有，，，，，，共6个；
分母为8的既约真分数有，，，，共4个，
由题意得，所以.
与100互质的数是不含有2和5的数，即个位是1，3，7，9的数都与100互质，
所以与100互质的数共有40个，即分母为100的既约真分数有40个，
又，所以，
由题意可知阶Farey数列，每一阶最中间的数都为，且关于对称的两数之和为1，
所以利用倒序相加法可得，所以.
24．【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）由题意，函数定义域为,
当时，函数，则导函数为，
故函数在点处的斜率，
则由直线的点斜式得，
即.
（2）函数的导函数为，
因为函数在处有极大值，
所以，即，解得或.
当时，则，
令，则或，即函数在单调递增；
令，则，即函数在单调递减；
所以函数在处取极小值，不成立.
当时，则，
令，则或，即函数在单调递增；
令，则，即函数在单调递减；
所以函数在处取极大值.
综上所述，.
25．【答案】(1)是的极小值点，极小值为
(2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，其定义域为，
对求导，可得，
令，即，因为，所以，解得，
当时，，，，则，单调递减；
当时，，，，则，单调递增，
所以是的极小值点，极小值为.
（2）的定义域为．
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，；
当时，，所以单调递减；
在上，，所以单调递增；
综上所得，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）证明：当时，；
由（2）知，在上单调递减，在上单调递增；
由题意可得，
由及，得；
欲证，只要，
注意到在上单调递减，且，只要证明即可；
由，得；
所以
，
令，
则，
则在上是单调递增的，
因此，即；
综上，．