2023~2024学年广东梅州高考数学押题试题{一模}带解析

这是一份2023~2024学年广东梅州高考数学押题试题{一模}带解析，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足，则（ ）
A．1B．C．D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（ ）
A．60B．66C．72D．80
5．在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上､下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的函数的图象关于原点对称，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
7．已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知且且且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中正确的是（ ）
A．成绩在内的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1000
C．考生竞赛成绩的平均分约为分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
10．已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为
D．若向量与非零向量共线，则
11．已知三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，.若点O到三棱柱的所有面的距离都相等，则（ ）
A．平面
B．
C．平面截球O所得截面圆的周长为
D．球O的表面积为
12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）．
A．当时，
B．函数有五个零点
C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是
D．对，恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.
14．已知函数为定义在R上的偶函数，且当时，，则函数在处的切线斜率为___________.
15．芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为__________
16．已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的恒成立，则整数的最小值是__________
四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知数列的前n项和为.
(1)若，，证明：；
(2)在（1）的条件下，若，数列的前n项和为，求证
18．已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°.E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.
（1）若△CDE的面积为，求DE的长；
（2）若CF＝4DF，求sin∠DFC.
19．医学权威杂志《柳叶刀》指出，中国19岁男性平均身高达到175.7厘米，女性达到163.5厘米，位列东亚第一．关老师随机调查了高三（满19岁）100名学生的身高情况，并将统计结果整理如表．
(1)能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为是否达到平均身高与性别有关？
(2)现在从本次调查的“达到平均身高”的学生中利用分层抽样的方法随机抽取10人进一步调查，再从这10人中抽取4人作为案例进行分析，记这4人中男生的人数为，求的分布列与数学期望．
附：，．
20．如图①，在中，B为直角，AB＝BC＝6，EF∥BC，AE＝2，沿EF将折起，使，得到如图②的几何体，点D在线段AC上．

(1)求证：平面平面ABC；
(2)若平面BDF，求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．
21．已知，分别是双曲线C：(，)的左、右焦点，，P是C上一点，，且.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点的直线l与双曲线C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D，过点O作(O为坐标原点)，垂足为M.则在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
22．已知函数．
(1)若恒成立，求a的取值范围；
(2)若函数存在两个极值点，且恒成立，求的取值范围．
未达到平均身高
达到平均身高
女
10
45
男
15
30
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
1．B
【分析】根据指数的单调性化简集合,由集合的交运算即可求解.
【详解】由题意得集合，则，所以,
故选：B
2．D
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数模的计算公式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：D
3．B
【分析】先解不等式得，再根据基本关系判定即可得答案.
【详解】解：解不等式得，
因为，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
4．C
【分析】根据分步计数原理结合部分平均分组以及结合间接法运算求解.
【详解】5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有种安排方法，
若甲乙在同一实验舱的种数有种，
故甲乙不在同一实验舱的种数有种.
故选：C.
5．B
【分析】先根据方亭四个侧面的面积之和得到的长度，然后作辅助线找到并求方亭的高，最后利用棱台的体积计算公式求解即可.
【详解】如图，过作，垂足为，
由四个侧面的面积之和为知，侧面的面积为，
∴（梯形的面积公式），则.
由题意得：，在中，.
连接，，过作，垂足为，易知四边形为等腰梯形且，，则，
∴，
∴该方亭的体积，（棱台的体积公式）.
故选：B.

6．B
【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，利用函数的对称性可求得的表达式，即可得出结果.
【详解】由图可得，函数的最小正周期为，则，
因为，可得，
因为且函数在附近单调递增，故，所以，，
将函数的图象向右平移个单位长度后，可得到函数的图象，
则，
因为函数的图象关于原点对称，则，解得，
当时，，
故选：B.
7．C
【分析】利用已知条件求解抛物线的焦点坐标，求出M的坐标，然后求解三角形的面积.
【详解】抛物线，焦点坐标，准线方程为，
设点，由抛物线的定义可知，等于到准线的距离，即，
又，故，故，.
故选：C.
8．D
令，利用导数研究其单调性后可得的大小.
【详解】因为，故，同理，
令，则，
当时，，当时，，
故在为减函数，在为增函数，
因为，故，即，而，
故，同理，，，
因为，故，
所以.
故选：D．
思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．
9．ABC
【分析】读懂题目提供的直方图，根据图中的数据逐项分析即可.
【详解】对于A，由频率分布直方图可得，成绩在内的面积最大，因此考生人数最多，
故A正确；
对于B，由频率分布直方图可得，成绩在内的频率为，
因此不及格的人数为，
故B正确；
对于，由频率分布直方图可得，平均分约为：
分），
故C正确；
对于D，因为成绩在内的频率为，
在内的频率为，所以中位数为，
故错误；
故选.
10．AD
【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，主要考查了两向量的夹角、投影向量、向量的平行与垂直的基本知识，一一验证即可.
【详解】由题意知，，，
则，因此A正确；
在方向上的投影向量为
，因此B错误；
与垂直的单位向量的坐标为
或，因此C错误；
因为，，
若向量与向量共线，则，
解得，因此D正确.
故选：AD.
11．AC
【分析】根据球的性质可判断为直棱柱，即可判断A，由内切球的性质，结合三棱柱的特征即可判断B，由勾股定理以及等边三角形的性质可判断CD.
【详解】选项A，三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，根据球的对称性可知三棱柱为直棱柱，所以平面，因此A正确.
选项B：因为，所以.因为点O到三棱柱的所有面的距离都相等，所以三棱柱的内切球与外接球的球心重合.设该三棱柱的内切球的半径为r，与底面以及侧切于,则,由于为矩形的对角线交点，所以，而三角形 为等边三角形，所以 ,所以，所以，因此B错误.

选项C：由，可知，解得（负值已舍去），则.易得的外接圆的半径，所以平面截球O所得截面圆的周长为，因此C正确.
选项D：三棱柱外接球的半径，所以球O的表面积，因此D错误.
故选：AC
12．AD
【分析】根据函数是奇函数，求出时的解析式，可判断A；利用导数求出函数在上的单调区间及极值，再结合是奇函数，可作出函数在上的大致图象，从而可逐项判断B、C、D．
【详解】设，则，所以，
又函数是定义在上的奇函数，所以，
所以，即
故A正确．
当时，，所以，
令，解得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数取得极小值，
当时，，又，故函数在仅有一个零点．
当时，，所以函数在没有零点，
所以函数在上仅有一个零点，函数是定义在上的奇函数，
故函数在上仅有一个零点，又，
故函数是定义在上有3个零点．
故B错误．
作出函数的大致图象，由图可知
若关于的方程有解，则实数的取值范围是.
故C错误．
由图可知，对，
故D正确．
故选：AD．
本题主要考查利用函数奇偶性求函数解析式；利用导数研究函数的单调性及最值；同时也考查函数的零点，综合性较强．
13．135
【分析】根据各项的系数之和为512得到，解得，然后利用通项公式求常数项即可.
【详解】因为二项式的展开式中，各项的系数之和为512，所以令，得，解得.又因为的展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中常数项为.
故135.
14．##
【分析】求导，代入得，即可由偶函数的对称性求解.
【详解】，，.
函数为定义在R上的偶函数，
函数在处的切线斜率与函数在处的切线斜率互为相反数，.
故
15．##
【分析】首先设，分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为p，得到则，，，，再利用全概率公式求解即可.
【详解】设，分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，
甲厂生产该芯片的次品率为p，
则，，，，
则由全概率公式得：，解得，
故答案为.
16．4
【分析】将问题转化为恒成立，，将视为一个数列，通过相邻项比较寻找其单调性即可求解.
【详解】由题意等差数列的公差 ，故，所以，
由于
，
单调递减，，
所以，从而,
故4
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用，求出，再利用求出数列的通项公式，进而可得答案；
（2）将（1）中的代入化简得出数列通项公式，求出数列的前n项和为，再求出，最后利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，
，
当时，，，
当时，满足上式，
所以，所以成立.
（2）由（1）知，
，
所以，
则，
所以，
所以成立.
18．（1）；（2）.
【分析】（1）由△CDE的面积求得，再由余弦定理可得；
（2）结合已知由正弦定理可得，再由诱导公式与两角和的正弦公式可得结论．
【详解】（1）依题意，得∠BCD＝∠DAB＝60°.
因为△CDE的面积S＝CD·CE·sin∠BCD＝，
所以，解得CE＝1.
在△CDE中，由余弦定理，得
DE＝＝＝.
（2）依题意，得∠ACD＝30°，∠BDC＝60°，
设∠CDE＝θ，则0°