2023~2024学年安徽滁州定远高考冲刺数学试题{四模}带解析

这是一份2023~2024学年安徽滁州定远高考冲刺数学试题{四模}带解析，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，集合，则
A．B．C．D．
【正确答案】D
【详解】集合 , 且全集，则,故选D.
点睛:本题考查集合的交并补混合运算,属于基础题目. 研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步. 在求交集时注意区间端点的取舍,熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.注意集合B中的条件,是解决本题的关键和易错点.
2．已知为正整数，则“是3的倍数”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ）条件.
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既不充分也不必要
【正确答案】C
【分析】根据二项式展开式的通项公式以及充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】展开式的通项公式为，
令，解得，
所以，若的二项展开式中存在常数项，则是的倍数.
所以“是3的倍数”是“的二项展开式中存在常数项”的充要条件.
故选：C
3．随着工业自动化和计算机技术的发展，中国机器人进入大量生产和实际应用阶段，下图为2022年中国服务机器人各行业渗透率调查情况.
根据该图，下列结论错误的是（ ）
A．物流仓储业是目前服务行业中服务机器人已应用占比最高的行业
B．教育业目前在大力筹备应用服务机器人
C．未计划使用服务机器人占比最高的是政务服务业
D．图中八大服务业中服务机器人已应用占比的中位数是33.3%
【正确答案】D
【分析】对ABC，分别由图观察已应用、筹备中、未计划占比最高的服务行业，即可判断；
对D，由中位数定义即可求.
【详解】对A，由图易知，物流仓储业在目前服务行业中服务机器人已应用占比最高，A对；
对B，由图易知，教育业在目前服务行业中服务机器人筹备中占比最高，B对；
对C，由图易知，政务服务业在目前服务行业中服务机器人未计划占比最高，C对；
对D，由图易知，八大服务业中服务机器人已应用占比已经排好序，故中位数是，D错.
故选：D
4．已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（ ）
A．4056B．4096C．8152D．8192
【正确答案】C
【分析】插入组共个，可知前面插入12组数，最后面插入9个，从而可得插入的数之和为，又数列的前13项和，可得
【详解】插入组共个，∵，∴前面插入12组数，最后面插入9个．
，
∵，
∴
，
又数列的前13项和为
，
故选：C．
5．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数服从参数为的泊松分布，若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为（ ）
A．B． C．D．
【正确答案】D
【分析】根据候车人数为2和3的概率相等求出参数，再利用泊松分布的概率分布列即可得出答案.
【详解】由题意可知，即解得，
所以，
从而，
故该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为.
故选：D
6．如图所示，边长为2的正，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【分析】根据给定条件，可得，求出的夹角范围，再利用向量数量积的定义、运算律求解作答.
【详解】过点作交半圆弧于点，连接，如图，
而是正三角形，则，令夹角为，
当点P在弧上时，，当点P在弧上时，，于是，
显然，，
所以
.
故选：B
7．设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】C
【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，由此确定正确答案.
【详解】设，，
所以在区间递减；
在区间递增.
，，
，
由于，
所以，
即.
故选：C
8．定义在R上的偶函数，对任意的，都有，，则不等式的解集是
A．B．
C．D．
【正确答案】D
【分析】根据题目所给条件判断出函数的单调区间和零点，画出函数的大致图像，由此判断出正确选项.
【详解】由于对任意的，都有，所以函数在上为减函数，由于函数是上的偶函数，故函数在上递增，且，由此画出函数大致图像如下图所示，由图可知，不等式的解集是.
故选D.
本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
二、多选题
9．设，是复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若是纯虚数，则
B．若，则
C．若，则
D．若复数满足，则的最大值为
【正确答案】CD
【分析】根据纯虚数的概念及乘法运算判断A，取特殊值判断B，利用复数的模及共轭复数的乘法运算判断C，由复数模及不等式的性质判断D.
【详解】对于A，因为是纯虚数，所以设，则，所以A错误；
对于B，取，，满足，则不成立，所以B错误；
对于C，设，因为，所以，
因为，，所以，所以C正确；
对于D，设，由，得，则可得，
所以，时取等号，所以D正确.
故选：BD
10．已知定义在上的奇函数对任意的有，当时，．函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是周期为4的函数
B．函数在区间上单调递减
C．当时，方程在上有2个不同的实数根
D．若方程在上有4个不同的实数根，则
【正确答案】ABC
【分析】分析函数的周期判断A；确定在区间上单调性判断B；分析的最大值判断C；由方程有4个根求出a的范围判断D作答.
【详解】对于A，，，则，因此函数是周期为4的函数，A正确；
对于B，当时，，因此函数在区间上单调递减，B正确；
对于C，因为函数是上的奇函数，由得：，即函数的图象关于直线对称，
当时，当时，，则当时，，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，因此函数在上的值域为，
当时，，当时，，即方程在上无解，
当时，令，，当时有，即函数在上递增，
当时，，即函数在上有唯一零点，
当时，令，显然函数在上单调递减，
，，因此函数在上有唯一零点，
当时，，即方程在上无解，
所以当时，方程在上有2个不同的实数根，C正确；
对于D，函数在上单调递增，在上单调递减，，而函数的周期为4，
则，，由选项C知，当时，，
即方程在上有一个根，当时，，
函数在上单调递减，，即方程在上有一个根，
显然函数在上单调递增，在上单调递减，当，即时，
方程在上有两个根，要方程在上有4个不同的实数根，
必有，即，又，因此当时，
方程在上无解，所以方程在上有4个不同的实数根，，D错误.
故选：ABC
11．已知函数，，有下列结论，正确的是（ ）
A．任意的，等式恒成立
B．任意的，方程有两个不等实根
C．任意的，，若，则一定有
D．存在无数个实数，使得函数在上有个零点．
【正确答案】ACD
【分析】计算判断A；举例说明判断B；探讨函数单调性判断C；由函数零点的意义分析判断D作答.
【详解】函数，，
对于A，，，A正确；
对于B，当时，由，得，解得，即方程只有1个实根，B错误；
对于C，当时，，即函数在上单调递减，
由选项A知，函数是上的奇函数，则在上单调递减，
因此函数是上的减函数，，，则一定有，C正确；
对于D，，则有或，即0是的零点，
当时，，则，当时，或，
因此当，函数有3个零点，D正确.
故选：ACD
12．设定义域为的函数,若关于的方程有五个不同的解,且从小到大分别为,则（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】BCD
【分析】画出图象,对换元,根据根的个数,判断换元后方程的根的个数及根的范围,求出需要满足的条件,及的大小范围,进而判断选项正误即可.
【详解】解:由题知,
画出图象如下:
令,
则方程,
等价于,
因为方程恰有5个不同的实数解,
所以等价于方程有两个实数解,
由图可知,,
此时,
则,
解得,
故选项A错误,选项B正确;
因为,所以,
则,而,
所以,故选项C正确;
因为,
由基本不等式可得,
所以,则,
故选项D正确．
故选:BCD
思路点睛:此题考查函数图象与方程的综合应用,属于难题,关于该类题目的思路有:
(1)根据分段函数,分析函数性质,画出图象;
(2)对函数进行换元;
(3)根据方程根的个数,分析函数值的取值范围及二次方程根的个数;
(4)利用二次函数根的分布问题进行解决.
三、填空题
13．如图所示，有5种不同的颜色供选择，给图中5块区域A，B，C，D，E染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，则共有______________种不同的染色方法．
【正确答案】
【分析】根据分类分步计数原理，分用3，4，5种颜色染色的方法分步计算，再求和即可.
【详解】选择3种颜色，则B，D同色，且C，E同色，共种情况；
选择4种颜色，则B，D同色，或C，E同色，共种情况；
选择5种颜色，共种情况；故共有种情况.
故
14．已知直线与椭圆在第二象限交于两点，且与轴、轴分别交于两点，若，，则的方程为 ______ ．
【正确答案】
【分析】设，根据题意得到，即，设直线的方程为，求得，结合，列出方程求得，即可求解.
【详解】设，线段的中点为，
由，两式相减可得，即，
又由，则，
设直线的方程为，可得，
所以，所以，所以，解得，
因为，所以，可得，解得，
所以直线的方程为.
故答案为.

15．已知函数的导函数为，且，则______．
【正确答案】
【分析】对等式两边求导得，将代入可得关于的等式，解之即可.
【详解】因为，则，故，故．
故答案为.
16．对任意，函数满足，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则___________.
【正确答案】
【分析】由题意可得，，．展开代入可得，又，化为．再根据数列的前15项和与，解得，．可得，．解出，即可得出，对分奇偶分别求和并取极限，利用极限相等求得.
【详解】，，
，
展开为，，
即，．
即，
，
化为．
数列{}是周期为2的数列．
数列{}的前15项和为，
．
又，
解得，．
∴，．
由0，，解得．
0，，解得，
又，
令数列的前项和为，则当为奇数时，，取极限得；
则当为偶数时，，取极限得；
若数列的前项和的极限存在，则，，
故答案为.
方法点睛：在遇到周期性数列求和时，可利用分组求和的方法，分别对奇数项和偶数项进行求和，然后再求和.
四、解答题
17．已知等比数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
【正确答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据递推关系求出等比数列的公比，由等比数列的通项公式求解；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1），
当时，，
两式相减可得，，
故等比数列的公比为，
，
，
故数列的通项公式为．
（2）由得：，，
故，即，
，
，
得：，
故．
18．设函数，若锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆的半径为R，．
(1)若，求B；
(2)求的取值范围．
【正确答案】(1)
(2)
【分析】(1)先利用三角恒等变换化简，解出，再用正弦定理解三角形即可；
(2)先得出，再利用正弦定理将化为，最后利用三角函数的性质得出范围即可.
【详解】（1）由题意得
又，所以，解得．
又根据正弦定理，有，，，
由，有，得，
因为A，，所以，
∴．
（2）由（1）知，，
所以，
因为，即，所以，
则
，
，有，
所以，
所以的取值范围为．
19．近年我国新能源产业的发展取得了有目共睹的巨大成果．2020年国务院在正式发布的《新能源汽车产业发展规划（2021-2035年）》中提出，到2025年，新能源汽车新车销售量达到汽车新车销售总量的20%左右．力争经过15年的持续努力，使纯电动汽车成为新销售车辆的主流．在此大背景下，某市新能源汽车保有量持续增加，有关部门将该市从2018年到2022年新能源汽车保有量y（单位：万辆）作了统计，得到y与年份代码t（如代表2018年）的统计表如下所示．
(1)请通过计算相关系数r说明y与t具有较强的线性相关性；（若，则变量间具有较强的线性相关性）
(2)求出线性回归方程，并预测2023年新能源汽车的保有量．
参考公式：相关系数；回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
参考数据：，，，．
【正确答案】(1)
(2)，2023年新能源汽车的保有量万辆
【分析】（1）根据相关系数公式求相关系数r，结合是否成立，即可得结论；
（2）最小二乘法求得，将代入估计2023年新能源汽车的保有量.
【详解】（1）由题设，故y与t具有较强的线性相关性.
（2）由题设，而，，
所以，故，
在2023年，即时，新能源汽车的保有量万辆.
20．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的中点，.
(1)证明：平面平面.
(2)若，且二面角的大小为，求四棱锥的体积.
【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明线面平行即可证明平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，由几何关系表达出各点的坐标，得出面与的法向量，由二面角的大小，即可求出四棱锥的体积.
【详解】（1）由题意，证明如下：
在中，为的中点，
∴.
在四棱锥中，，且，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
（2）由题意及（1）得，连接.
在中，三角形为等边三角形，
∴，
∴两两垂直，
建立空间直角坐标系如下图所示：
设，则，
∵，
∴，
∴.
设平面的法向量为，
则
令，得.
平面的一个法向量为，
∵二面角的大小为，
∴，
解得，
∴.
21．已知抛物线的焦点为F，直线交抛物线E于A，B两点，当直线过点F时，点A，B到E的准线的距离之和为12，线段AB的中点到y轴的距离是4．
(1)求抛物线E的方程；
(2)当时，设线段AB的中点为M，在x轴上是否存在点N，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，说明理由．
【正确答案】(1)；
(2)存在，定值为.
【分析】（1）由题可得AB的中点到的距离为6，进而，即得；
（2）利用韦达定理法结合向量线性运算可得条件可得，然后利用向量数量积的坐标表示结合条件即得.
【详解】（1）因为直线过焦点F时，A，B到E的准线的距离之和为12，
所以此时AB的中点到的距离为6，
又AB的中点到x轴的距离为4，所以y轴与间的距离为2，即，
所以，
所以抛物线E的方程为；
（2）设，，，
联立方程，得消去并整理得．
，
则．
因为M为线段AB的中点，
所以
．
所以当，是定值．
所以在x轴上存在点，使得为定值．
22．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.
【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；
（2）根据题意分析可得对任意实数，都有恒成立，构建，根据恒成立问题结合导数分析运算.
【详解】（1）∵，则，
若时，则，，
即切点坐标为，切线斜率，
∴切线方程为，即.
（2）∵，即，
整理得，
故原题意等价于对任意实数，都有恒成立，
构建，则，
注意到，则，
构建，则在上单调递增，且，
故在内存在唯一的零点，
可得当，则；当，则；
即当，则；当，则；
故在上单调递减，上单调递增，则，
又∵为的零点，则，可得且，
∴，
即在上的最小值为0，
故实数的取值范围.
方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题
(1)分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
(2)函数思想法
第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
t
1
2
3
4
5
y
1.5
3.2
4
5.3
6