【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练：42　空间直线、平面的平行（含答案）

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1.若a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,且a⊂α,b⊂β,α∥β,则a与b的关系不可能是( )
A.相交B.平行
C.异面D.垂直
2.(2024·江苏扬州模拟)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E为线段AD上靠近A的三等分点,F为线段PC上一点,当PA∥平面EBF时,PFPC=( )
A.3B.4
C.13D.14
3.(2024·湖南株洲模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C与平面DD1C1C的交线为l,则( )
A.l∥A1DB.l∥B1D
C.l∥C1DD.l∥D1C
4.(多选题)如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,Q为PA的中点,O为AC与BD的交点,下列说法正确的是( )
A.OQ∥平面PCDB.PC∥平面BDQ
C.AQ∥平面PCDD.CD∥平面PAB
5.(多选题)(2024·浙江温州模拟)下列四个正方体中,A,B,C为所在棱的中点,D,E,F为正方体的三个顶点,则不能得出平面ABC∥平面DEF的是( )
6.如图所示,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,且AB∥平面α,AD,BC与平面α分别交于点M,N,且点M是AD的中点,AB=4,CD=6,则MN= .
7.(13分)(2024·山东临沂模拟)如图,四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证:
(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.
综合提升练
8.如图,平面α∥平面β,直线AB∥平面α,过点A的直线m分别交α,β于点C,E,过点B的直线n分别交α,β于点D,F.若AC=3,CE=5,BF=9,则DF=( )
A.234B.6C.458D.5
9.(多选题)(2025·湖南衡阳模拟)如图是四棱锥的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PB,PC,PD的中点,在此几何体中,下列结论正确的是( )
A.平面EFGH∥平面ABCD
B.平面PAD∥BC
C.平面PCD∥AB
D.平面PAD∥平面PAB
10.(多选题)(2024·河南新乡模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别在棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1上,且平面AMN∥平面EFDB,下列结论正确的是( )
A.MN∥EFB.EF∥BD
C.AN∥DFD.BE∥平面AMN
11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH的边上及其内部运动,则M满足 时,有MN∥平面B1BDD1.
12.(13分)如图,在正三棱台ABC-A1B1C1中,BC=3B1C1,TB=2TC,E,F分别是BB1,CC1的中点,M为AC上一点.
(1)若M是AC的中点,求证:ME∥平面AB1C1;
(2)若AB1∥平面TMF,求点M的位置,并说明理由.
13.(15分)(2024·浙江A9协作体联考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线A1D,CD1上各有一个动点M,N,使得直线MN∥平面A1ACC1.
(1)T为CD的中点,当M,N为对角线A1D,CD1的中点时,证明:平面MNT∥平面A1ACC1;
(2)当正方体棱长为2时,求线段MN长度的最小值.
创新应用练
14.(2024·浙江东阳模拟)三棱锥A-BCD的所有棱长均为2,E,F分别为线段BC与AD的中点,M,N分别为线段AE与CF上的动点,若MN∥平面ABD,则线段MN长度的最小值为 .
答案：
1.A 解析 a⊂α,b⊂β,α∥β,则a与b没有公共点,a与b可能平行,可能异面,异面时可以互相垂直,不可能相交.
2.D 解析 如图,连接AC交BE于点G,连接FG.
因为PA∥平面BEF,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BEF=FG,所以PA∥FG,所以PFPC=AGAC,
因为AD∥BC,E为AD的三等分点,
则AGGC=AEBC=13,AGAC=14,即PFPC=14.
3.C 解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AA1B1B∥平面DD1C1C,
平面AB1C∩平面DD1C1C=l,平面AB1C∩平面AA1B1B=AB1,所以l∥AB1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=B1C1且AD∥B1C1,所以四边形ADC1B1为平行四边形,
则有AB1∥C1D,所以l∥C1D,故选C.
4.ABD 解析 因为O为平行四边形ABCD对角线的交点,所以O为AC的中点,又Q为PA的中点,所以OQ∥PC,又PC⊂平面PCD,OQ⊄平面PCD,所以OQ∥平面PCD,故A正确;因为OQ∥PC,OQ⊂平面BDQ,PC⊄平面BDQ,所以PC∥平面BDQ,故B正确;由四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD,又AB⊂平面PAB,CD⊄平面PAB,故CD∥平面PAB,故D正确;又AQ与平面PCD相交于点P,故C错误.故选ABD.
5.ACD 解析 对于A选项,若平面ABC∥平面DEF,BC⊂平面ABC,则BC∥平面DEF,由图可知BC与平面DEF相交,故平面ABC与平面DEF不平行,A不满足条件;
对于B选项,如右图所示,连接NG,
∵A,C分别为PN,PG的中点,则AC∥NG,在正方体EHDG-MFNP中,FN∥EG,且FN=EG,故四边形EFNG为平行四边形,
∴NG∥EF,
∴AC∥EF,
∵AC⊄平面DEF,EF⊂平面DEF,
∴AC∥平面DEF,
同理可证BC∥平面DEF,
∵AC∩BC=C,
∴平面ABC∥平面DEF,B满足条件;
对于C选项,如右图所示,在正方体PHDG-MNFE中,若平面ABC∥平面DEF,且平面DEF∥平面MNHP,则平面ABC∥平面MNHP,但这与平面ABC与平面MNHP相交矛盾,因此平面ABC与平面DEF不平行,C不满足条件;
对于D选项,在正方体PDHG-FNEM中,连接PH,PM,MH,如下图所示,
∵DH∥FM,且DH=FM,
∴四边形DHMF为平行四边形,
∴DF∥MH,
∵DF⊄平面PHM,MH⊂平面PHM,
∴DF∥平面PHM,同理可证EF∥平面PHM,
∵DF∩EF=F,
∴平面DEF∥平面PHM,若平面ABC∥平面DEF,则平面ABC∥平面PHM,这与平面ABC与平面PHM相交矛盾,故平面ABC与平面DEF不平行,D不满足条件.故选ACD.
6.5 解析 因为AB∥平面α,AB⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面α=MN,所以AB∥MN,又点M是AD的中点,AB∥CD,所以MN是梯形ABCD的中位线,所以MN=12×(4+6)=5.
7.证明 (1)如图,连接AE,因为四边形ADEF为平行四边形,则AE必过DF与GN的交点O,所以O为AE的中点,连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,
又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥NG,又DE⊄平面MNG,NG⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG,因为M为AB的中点,N为AD的中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN,又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD∥平面MNG,又DE∩BD=D,DE,BD⊂平面BDE,所以平面BDE∥平面MNG.
8.C 解析 ①当直线m,n共面时,因为平面α∥平面β,直线AB∥平面α,平面ABCD∩平面α=CD,平面ABEF∩平面β=EF,CD⊂平面α,EF⊂平面β,所以AB∥CD∥EF.根据平行线分割线段成比例可得ACCE=BDDF,即35=BDDF,
又BD+DF=9,解得DF=458.
②当m,n为异面直线时,连接AF,如图.
由①证明可知,AB∥GD,CG∥EF,所以ACCE=AGGF=BDDF,则35=BDDF,
又BD+DF=9,解得DF=458.
9.ABC 解析 如图所示,把平面展开图还原为四棱锥.
由EF∥AB,EF⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,得EF∥平面ABCD.又EH∥AD,同理可证EH∥平面ABCD,又EF∩EH=E,EF,EH⊂平面EFGH,所以平面EFGH∥平面ABCD,故A正确;因为BC∥AD,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以平面PAD∥BC,故B正确;因为AB∥CD,AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以平面PCD∥AB,故C正确;因为平面PAD与平面PAB有公共点P,所以平面PAD与平面PAB不平行,故D不正确.故选ABC.
10.ABD 解析 因为平面AMN∥平面EFDB,平面A1B1C1D1∩平面EFDB=EF,平面A1B1C1D1∩平面AMN=MN,所以MN∥EF,故A正确;
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1B1C1D1∥平面ABCD,又平面EFDB∩平面ABCD=BD,平面EFDB∩平面A1B1C1D1=EF,所以EF∥BD,故B正确;
如图,连接MF,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面DCC1D1.
又平面ADFM∩平面ABB1A1=AM,平面ADFM∩平面DCC1D1=DF,所以DF∥AM,因为AM∩AN=A,所以AN与DF不平行,故C错误;
如图,连接NE,由长方体性质得平面BCC1B1∥平面AA1D1D,因为平面ABEN∩平面BCC1B1=BE,平面ABEN∩平面AA1D1D=AN,所以BE∥AN,又因为AN⊂平面AMN,BE⊄平面AMN,所以BE∥平面AMN,故D正确.故选ABD.
11.M在线段FH上 解析 连接HN,FH,FN,BD,B1D1.
由题易知,HN∥DB,HN⊄平面B1BDD1,DB⊂平面B1BDD1,
∴HN∥平面B1BDD1.
又FH∥D1D,
同理可证FH∥平面B1BDD1,
又HN∩HF=H,HN,HF⊂平面FHN,
∴平面FHN∥平面B1BDD1.
∵点M在四边形EFGH的边上及其内部运动,平面FHN∩平面EFGH=FH,∴M∈FH.
故答案为M在线段FH上.
12.(1)证明 取AB的中点N,连接MN,NE,
因为M是AC的中点,N是AB的中点,所以MN∥BC,
又BC∥B1C1,所以MN∥B1C1,
又MN⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,故MN∥平面AB1C1,又N,E分别是AB,BB1的中点,所以NE∥AB1,
又NE⊄平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,故NE∥平面AB1C1,又MN∩NE=N,MN⊂平面MNE,NE⊂平面MNE,
所以平面MNE∥平面AB1C1,又ME⊂平面MNE,所以ME∥平面AB1C1.
(2)解 在等腰梯形BCC1B1中,BC=3B1C1,TB=2TC,所以FT∥B1B,又B1B⊄平面TMF,FT⊂平面TMF,故B1B∥平面TMF,又AB1∥平面TMF,AB1∩B1B=B1,B1B,AB1⊂平面AB1B,所以平面AB1B∥平面TMF,因为平面AB1B∩平面ABC=AB,平面TMF∩平面ABC=MT,所以AB∥MT,在△ABC中,TB=2TC,所以MA=2MC,即M在AC上靠近C的三等分点处.
13.(1)证明 如图,连接MT,NT,因为N,T分别是线段CD1,CD的中点,所以NT∥DD1.
又DD1∥AA1,从而NT∥AA1.
因为NT∥AA1,AA1⊂平面A1ACC1,NT⊄平面A1ACC1,所以NT∥平面A1ACC1.
因为NT∥平面A1ACC1,MN∥平面A1ACC1,NT∩MN=N,NT,MN⊂平面MNT,所以平面MNT∥平面A1ACC1.
(2)解 如图,过点M作AD的垂线,垂足为P,过点N作DC的垂线,垂足为Q,连接PQ.
因为MP∥AA1,AA1⊂平面A1ACC1,MP⊄平面A1ACC1,所以MP∥平面A1ACC1,
又MN∥平面A1ACC1,MP∩MN=M,MP,MN⊂平面MNQP,所以平面MNQP∥平面A1ACC1.
因为平面MNQP∩平面ABCD=PQ,平面A1ACC1∩平面ABCD=AC,所以PQ∥AC.
设PD=x,0≤x