重庆市复旦中学2024-2025学年九年级下册3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份重庆市复旦中学2024-2025学年九年级下册3月月考数学试卷（原卷版+解析版），共41页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱．
本试卷分为试题卷和答题卷，考试时间120分钟，满分150分．请将答案工整地书写在答题卡上．
参考公式：抛物线的顶点公式为，对称轴为．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列比较大小结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，从左面看到该几何体的形状图是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A. 调查某城区是否有新冠病毒感染者B. 对旅客上飞机前的安检
C. 教师对某班学生学习能力的调查D. 对某水域的水质情况进行调查
4. （原创题）实数在两个相邻的整数与之间，则整数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 2021年是农历我国“牛”年，为祝福我们伟大祖国更加繁荣昌盛，同时勉励新一届初三人在2021年更加“牛气冲天”，某同学制作了如下“牛气图”．请根据下图规律，计算第15个图案中一共有多少个“牛”字？（ ）
A. 119B. 120C. 121D. 5050
6. 《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为钱，乙持钱数为钱，列出关于、的二元一次方程组（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点和点，过点作轴于点，连结，，若的面积与的面积相等，则的值是（ ）

A. 2B. C. 1D. 4
8. 如图，为直径，点是的中点，过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（ ）
A. B. 4C. 5D.
9. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，D是BC的中点，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，若BE＝2，CF＝4，则EF的长为（ ）
A. B. C. 5D.
10. 对于代数式，下列说法正确的是（ ）
①如果存在两个实数，使得，则
②存三个实数，使得
③如果，则一定存在两个实数，使
④如果，则一定存在两个实数，使
A. ③B. ①③C. ②④D. ①③④
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卷中对应的横线上．
11. 在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形一条边与长方形的边重合，如图所示，则的大小是______度．
12. 在中，点在上，点在上，且，，．如图所示，若与相似，则的长是______．
13. 一条抛物线和的图象形状相同，且函数有最小值，顶点坐标是，则此抛物线的函数关系式为______________
14. 若关于的一元一次不等式组有解且至多有4个整数解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______．
15. 如图，正方形的边长为2，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径的圆相较于点，那么图中阴影部分①的周长为______，阴影部分①②的总面积为______．
16. 将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，所得新函数的图象与直线的图象恰有2个公共点时，则b的取值范围为___________．
三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上．
17 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18. 如图，在中，．
（1）求作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接．（要求：尺规作图，不写作法，保留作痕迹）
（2）若，求的度数，请根据以下的思路完成下列填空．
解：，
______（等边对等角），
又是的垂直平分线，
______（垂直平分线的性质），
，
，
______（等量代换）．
．
，
．
（三角形的内角和为）．
______．
由上述证明可得：在等腰三角形（腰长大于底边长）中，作一条腰的垂直平分线交另一腰于一点，当此点与此等腰三角形顶点的距离与底边长度相等时，则这个等腰三角形的顶角为______度，人们称具有此特征的等腰三角形为“黄金三角形”．
19. 西蜀图书室近日购进甲、乙两种图书，每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高20元，花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同．
(1)求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？
(2)西蜀图书室计划购进甲、乙两种图书共70本，总购书费用不超过4000元，则最多购进甲种图书多少本？
20. 为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图．

请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）参加本次问卷调查的学生共有______人．
（2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图．
（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．
21. 如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动．当点到达点时，、停止运动，连接、．设点运动的时间为，的面积为，
（1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（保留一位小数，误差不超过）．
22. 有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA=OC，h（cm）表示熨烫台的高度．
（1）如图2﹣1．若AB=CD=110cm，∠AOC=120°，求h的值；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图2﹣2）．求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到lcm）．
（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，sin53°≈0.8，cs53°≈0.6．）
23. 如图，抛物线与轴分别交于点，点（点在的左侧），与轴交于点，直线的图像过两点，．
（1）求抛物线解析式；
（2）点为直线上方抛物线上一点，点为直线上一动点，连接，，，当面积最大时，求点的坐标及的最小值；
（3）将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出新抛物线的表达式和点的坐标；若不存在，请说明理由．
24. 如图，Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为射线AC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，F是BD的中点．
(1)如图1，FE与FC有何关系，并说明理由；
(2)如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，使点D落在△ABC内部，判断(1)中结论是否还成立？如果不成立，请说明理由，如果成立，请证明；
(3)将△ADE绕点A顺时针旋转75°，若CA＝2，且CB⊥BD，连接CE，请直接写出△CEF的面积．
重庆复旦中学教育集团2024－2025学年度下期3月定时作业
初2025届数学试卷
尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱．
本试卷分为试题卷和答题卷，考试时间120分钟，满分150分．请将答案工整地书写在答题卡上．
参考公式：抛物线的顶点公式为，对称轴为．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列比较大小结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较法则“正实数大于0、负实数小于0、正实数大于负实数、负实数绝对值大的反而小”、无理数的估算、有理数的乘方、绝对值，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．根据无理数的估算、有理数的乘方、绝对值、实数的大小比较法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、因为，所以，则此项错误，不符合题意；
B、因为，，所以，则此项错误，不符合题意；
C、因为，所以，则此项正确，符合题意；
D、因为，，所以，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
2. 如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，从左面看到该几何体的形状图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左面看到该几何体的形状图是：
故选：A．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图象是左视图．
3. 下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A. 调查某城区是否有新冠病毒感染者B. 对旅客上飞机前的安检
C. 教师对某班学生学习能力的调查D. 对某水域的水质情况进行调查
【答案】D
【解析】
【分析】根据普查及抽样调查的适用范围（一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查）依次判断即可．
【详解】解：A、调查某城区是否有新冠病毒感染者，非常重要,故宜采用普查;
B、对旅客上飞机前的安检，非常重要，故宜采用普查;
C、教师对某班学生学习能力的调查,工作量较小，故宜采用普查;
D、对某水域的水质情况进行调查, 宜采用抽样调查;
故选D．
【点睛】题目主要考查抽样调查及普查的适用范围，理解抽样调查及普查的适用范围是解题关键．
4. （原创题）实数在两个相邻的整数与之间，则整数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的减法、无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．先计算二次根式可得，再根据无理数的估算即可得．
【详解】解：，
∵，
∴，
∵实数在两个相邻的整数与之间，
∴，
故选：C．
5. 2021年是农历我国“牛”年，为祝福我们伟大祖国更加繁荣昌盛，同时勉励新一届初三人在2021年更加“牛气冲天”，某同学制作了如下“牛气图”．请根据下图规律，计算第15个图案中一共有多少个“牛”字？（ ）
A. 119B. 120C. 121D. 5050
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．第①④个图案中“牛”字的个数依次为、、、，归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：由图可知，第①个图案中“牛”字的个数为（个 ），
第②个图案中“牛”字的个数为（个），
第③个图案中“牛”字个数为（个），
第④个图案中“牛”字的个数为（个），
归纳类推得：第个图案中“牛”字个数为个，其中为正整数，
则第15个图案中“牛”字的个数为，
故选：B．
6. 《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为钱，乙持钱数为钱，列出关于、的二元一次方程组（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．根据甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱可列方程为，根据乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱可列方程为，由此即可得．
【详解】解：由题意，可列二元一次方程组为，
故选：B．
7. 如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点和点，过点作轴于点，连结，，若的面积与的面积相等，则的值是（ ）

A. 2B. C. 1D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．过点作轴于点，先根据一次函数的解析式求出，再根据反比例函数可得的面积为1，利用三角形的面积公式可得，从而可得点的坐标，代入计算即可得．
【详解】解：如图，过点作轴于点，

对于一次函数，
当时，，即，
∵点位于反比例函数的图象上，且轴于点，
∴的面积为，
∵的面积与的面积相等，
∴，即，
∴，
将代入一次函数得：，
∴，
将点代入反比例函数得：，
故选：D．
8. 如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（ ）
A. B. 4C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据垂径定理和点C是弧的中点得从，而得出，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：连接，如图，设的半径为r，
∵，为的直径，
，，
点是的中点，
，
，
，
解得：
的半径长是，
故选C．
9. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，D是BC的中点，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，若BE＝2，CF＝4，则EF的长为（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，作EH⊥BG于H，易证△CDF≌△BDG，可得BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，可证明GH∥AC，得到∠HBE＝∠A＝60°，解直角三角形求得BH、EH，然后根据勾股定理求得GE，再根据等腰三角形底边三线合一性质可得EF＝EG，即可求得EF的长，即可解题．
【详解】解：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，作EH⊥BG于H，
在△CDF和△BDG中，
，
∴△CDF≌△BDG（SAS），
∴BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，
∴GH∥AC
∵∠A＝60°，
∴∠HBE＝∠A＝60°，
∵BE＝2，
∴BH＝BE＝1，HE＝BE＝，
∴GH＝BG+HB＝4+1＝5，
∴EG＝，
∵DE⊥FG，DF＝DG，
∴EF＝EG＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等，本题中求证△CDF≌△BDG是解题的关键．
10. 对于代数式，下列说法正确的是（ ）
①如果存在两个实数，使得，则
②存在三个实数，使得
③如果，则一定存在两个实数，使
④如果，则一定存在两个实数，使
A. ③B. ①③C. ②④D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，根的判别式一一判断即可；
【详解】解：①如果存在两个实数p≠q，使得ap2+bp+c=aq2+bq+c，则ax2+bx+c=a（x-p）（x-q），错误，理由：x=p或q时，ap2+bp+c与aq2+bq+c不一定=0，；
②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c，错误，
理由：最多存在两个实数m≠n，使得am2+bm+c=an2+bn+c；
③如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c，正确，
理由：∵ac＜0，则△＞0，抛物线与x轴有两个不同的交点，故一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c；
④如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c，错误，
理由：∵ac＞0，∴△不一定＞0，抛物线可能与x轴没有交点，结论不一定成立；
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卷中对应的横线上．
11. 在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与长方形的边重合，如图所示，则的大小是______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键．
根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 在中，点在上，点在上，且，，．如图所示，若与相似，则的长是______．
【答案】或6
【解析】
【分析】此题考查相似三角形的性质，题目只说两个三角形相似并没有说明对应角，应该分两种情况讨论．根据题意可得或，或，然后利用比例的性质求出即可．
【详解】解：∵与相似，
而，
若，
则，即，
解得；
若，
则，即，
解得；
综上所述，的长为或6．
故答案为或6．
13. 一条抛物线和的图象形状相同，且函数有最小值，顶点坐标是，则此抛物线的函数关系式为______________
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，关键是掌握抛物线的解析式为．
因为顶点坐标是，因此设抛物线的解析式为，由条件可以得出，代入解析式就可以求出结论．
【详解】解：∵图象顶点坐标为，
设函数解析式是．
∵形状与抛物线相同，且函数有最小值，
∴，因而解析式是：．
故答案为：．
14. 若关于的一元一次不等式组有解且至多有4个整数解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______．
【答案】21
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组，根据不等式组有解且至多有4个整数解可得，再解分式方程，根据分式方程的解是非负整数可得非负整数，且，，由此即可得．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于一元一次不等式组有解且至多有4个整数解，
∴，
解得，
，
方程两边同乘以得：，
解得，
∵关于的分式方程的解是非负整数，
∴非负整数，且，，
即非负整数，且，，
∴所有满足条件的整数的值为，
∴所有满足条件的整数的值之和为，
故答案为：21．
15. 如图，正方形的边长为2，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径的圆相较于点，那么图中阴影部分①的周长为______，阴影部分①②的总面积为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】连接、，作于，根据等边三角形的性质得到，解直角三角形求出、，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：连接、，作于，
，
为等边三角形，
，，
∴，
∴阴影部分①的周长
阴影部分①②的总面积
，，
故答案为：；．
【点睛】本题考查的是扇形面积、弧长的计算、等边三角形的判定和性质，正方形性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
16. 将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，所得新函数的图象与直线的图象恰有2个公共点时，则b的取值范围为___________．
【答案】-3＜b＜1或b＞
【解析】
【分析】求出翻折后的函数解析式，画出新图象示意图，根据示意图分类讨论即可；
分三段：如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有一个公共点；当直线y＝x+b过点A时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点；当直线y＝x+b与抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为y＝x2-2x-3，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
则抛物线y＝x2-2x-3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），
把抛物线y＝x2-2x-3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，
则翻折部分的抛物线解析式为y＝-x2+2x+3（﹣1≤x≤3），
如图，
当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有一个公共点，
∴3+b＝0，解得b＝﹣3；
当直线y＝x+b过点A时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴﹣1+b＝0，解得b＝1；
∴当﹣3＜b＜1时，抛所得新函数的图象与直线y＝x+b的图象恰有2个公共点时，
当直线y＝x+b与物线y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即﹣（x﹣1）2+4＝x+b有两个相等的实数解，整理得x2﹣x+b﹣3＝0，
∴Δ＝12﹣4（b﹣3）＝0，解得b＝，
当b＞时，抛所得新函数的图象与直线y＝x+b的图象恰有2个公共点时，
故答案为：-3＜b＜1或b＞．
【点睛】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上．
17. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）3 （2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的运算、负整数指数幂与零指数幂、完全平方公式、分式的混合运算等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先计算算术平方根、化简绝对值、特殊角的正切值，再计算加减法即可得；
（2）先计算负整数指数幂与零指数幂、乘方，再计算乘法、化简绝对值，最后计算加减法即可得；
（3）先计算多项式乘以多项式、完全平方公式，再计算整式的加减即可得；
（4）先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法即可得．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
【小问3详解】
解：原式
．
【小问4详解】
解：原式
．
18. 如图，在中，．
（1）求作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接．（要求：尺规作图，不写作法，保留作痕迹）
（2）若，求的度数，请根据以下的思路完成下列填空．
解：，
______（等边对等角），
又是的垂直平分线，
______（垂直平分线的性质），
，
，
______（等量代换）．
．
，
．
（三角形的内角和为）．
______．
由上述证明可得：在等腰三角形（腰长大于底边长）中，作一条腰的垂直平分线交另一腰于一点，当此点与此等腰三角形顶点的距离与底边长度相等时，则这个等腰三角形的顶角为______度，人们称具有此特征的等腰三角形为“黄金三角形”．
【答案】（1）图见解析
（2），，，，36
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质是解题关键．
（1）分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作直线，交于点，交于点，连接，由此即可得；
（2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，根据等量代换可得，根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，从而可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得．
【小问1详解】
解：作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接，如图所示：
．
【小问2详解】
解：，
∴（等边对等角），
又是的垂直平分线，
∴（垂直平分线的性质），
，
，
∴（等量代换）．
．
，
．
（三角形的内角和为）．
∴．
由上述证明可得：在等腰三角形（腰长大于底边长）中，作一条腰的垂直平分线交另一腰于一点，当此点与此等腰三角形顶点的距离与底边长度相等时，则这个等腰三角形的顶角为36度，人们称具有此特征的等腰三角形为“黄金三角形”．
故答案为：，，，，36．
19. 西蜀图书室近日购进甲、乙两种图书，每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高20元，花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同．
(1)求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？
(2)西蜀图书室计划购进甲、乙两种图书共70本，总购书费用不超过4000元，则最多购进甲种图书多少本？
【答案】（1）甲种图书每本的进价为65元，乙种图书每本的进价是45元；（2）最多购进甲种图书42本．
【解析】
【详解】解：（1）设乙种图书每本的进价为x元，则甲种图书每本的进价是（x＋20）元，
由题意得， ＝，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是原分式方程的解，且符合题意，
则x＋20＝65．
答：甲种图书每本的进价为65元，乙种图书每本的进价是45元；
（2）设购进甲种图书m本，则购进乙种图书为（70﹣m）本，
由题意得，65m＋45(70﹣m)≤4000，
解得：m≤42.5，
∵m为整数，且取最大值，
∴m＝42．
答：最多购进甲种图书42本．
20. 为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图．

请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）参加本次问卷调查的学生共有______人．
（2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图．
（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．
【答案】（1）
（2），作图见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或画树状图法求概率；
（1）根据组的人数除以占比得出总人数；
（2）根据总人数求得组的人数，进而求得占比，以及补全统计图；
（3）根据列表法或画树状图法求概率，即可求解．
【小问1详解】
解：参加本次问卷调查的学生共有（人）；
【小问2详解】
解：A组人数为人
A组所占的百分比为：
补全统计图如图所示，
【小问3详解】
画树状图法如下图

列表法如下图
由树状图法或列表法可以看出共有12种结果，它们出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是B和C的情况有两种．
∴P（选中的2个社团恰好是B和C）．
21. 如图，在中，，，，点从点出发，以速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动．当点到达点时，、停止运动，连接、．设点运动的时间为，的面积为，
（1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（保留一位小数，误差不超过）．
【答案】（1）
（2）见解析．函数的一条性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用、反比例函数的图象与性质等知识，熟练掌握函数图象法是解题关键．
（1）分两种情况：①和②，利用三角形的面积公式求解即可得；
（2）利用描点法画出两段函数的图象，再写出函数的增减性即可得；
（3）画出函数的图象，求出两个函数的交点的横坐标，结合函数图象即可得．
【小问1详解】
解：由题意可知，点从点出发运动到点所需时间为，从点出发运动到点所需时间为；点从点出发到点所需时间为，
∴．
当点与点相遇时，，解得，
则分以下两种情况：
①如图，当点在上，即时，，
则；
②如图，当点在上，即时，，
∴，
则，
综上，．
【小问2详解】
解：在平面直角坐标系中，画出函数的图象如下：
函数的一条性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
【小问3详解】
解：画出函数图象如下：
当时，联立，
解得（经检验，是方程组的解），
即此时函数与的交点的横坐标为；
当时，联立，
解得（经检验，是方程组的解）或（舍去），
即此时函数与的交点的横坐标为；
结合函数图象可知，在内，当函数时，的取值范围为或．
22. 有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA=OC，h（cm）表示熨烫台的高度．
（1）如图2﹣1．若AB=CD=110cm，∠AOC=120°，求h的值；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图2﹣2）．求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到lcm）．
（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，sin53°≈0.8，cs53°≈0.6．）
【答案】（1）55；（2）150cm．
【解析】
【分析】（1）作BE⊥AC于E，利用等腰三角形的性质求得∠OAC，然后解直角三角形即可求解；
（2）作BE⊥AC于E，利用等腰三角形的性质求得∠OAC，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）过点B作BE⊥AC于E，
∵OA=OC，∠AOC=120°，
∴∠OAC=∠OCA==30°，
∴h=BE=AB•sin30°=110×=55；
（2）过点B作BE⊥AC于E，
∵OA=OC，∠AOC=74°，
∴∠OAC=∠OCA==53°，
∴AB=BE÷sin53°=120÷0.8=150（cm），
即该熨烫台支撑杆AB的长度约为150cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形，弄清题中的数据是解本题的关键．
23. 如图，抛物线与轴分别交于点，点（点在的左侧），与轴交于点，直线的图像过两点，．
（1）求抛物线解析式；
（2）点为直线上方抛物线上一点，点为直线上一动点，连接，，，当面积最大时，求点的坐标及的最小值；
（3）将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出新抛物线的表达式和点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点的坐标为，的最小值为3
（3）存在，此时新抛物线的表达式为；点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）先求出，代入可得直线的解析式为，再求出，从而可得，然后根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得；
（2）过点作轴，交于点，先求出直线的解析式为，再设点的坐标为，则点的坐标为，根据的面积等于，利用二次函数的性质求最值即可得；过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两条平行线交于点，解直角三角形可得，从而可得，则当点共线时，的值最小，最小值为，由此即可得；
（3）根据二次函数图像的平移规律可得新抛物线的表达式，再过点作轴于点，解直角三角形可得，则，据此建立方程，解方程即可得．
【小问1详解】
解：将代入抛物线得：，
∴，
将点代入直线得：，
∴直线的解析式为，
将代入直线得：，解得，
∴，
∵，
∴，
又∵点在轴上，且点在点的左侧，
∴，
将点，代入抛物线得：，
解得，
所以抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：如图，过点作轴，交于点，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∵，，
∴的边上的高与的边上的高之和为，
∴的面积为，
由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积取得最大值，最大值为4，
此时，点的坐标为．
如图，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两条平行线交于点，
则，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
由垂线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
此时，
又∵，，轴，
∴，
∴，
即的最小值为3，
综上，当面积最大时，点的坐标为，的最小值为3．
【小问3详解】
解：∵，，
∴将抛物线沿射线方向平移后过点，即先将抛物线向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∴新抛物线的表达式为，即为．
如图，过点作轴于点，
设点的坐标为，则，
∵，，
∴，
在中，，
∴，且是锐角，
∴，且是锐角，
∴点一定在点的右侧，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
整理得：或，
解得或（舍去）或或（舍去），
当时，，此时点的坐标为；
当时，，此时点的坐标为；
综上，存在这样的点，此时新抛物线的表达式为；点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用、二次函数图像的平移、解直角三角形、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．
24. 如图，Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为射线AC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，F是BD的中点．
(1)如图1，FE与FC有何关系，并说明理由；
(2)如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，使点D落在△ABC内部，判断(1)中的结论是否还成立？如果不成立，请说明理由，如果成立，请证明；
(3)将△ADE绕点A顺时针旋转75°，若CA＝2，且CB⊥BD，连接CE，请直接写出△CEF的面积．
【答案】(1)相等且垂直，证明见解析；(2)成立，理由见解析；(3).
【解析】
【分析】(1)因为在Rt△DBC中， F是BD的中点，得BD,在Rt△DEB中，同理可得BD，再利用等量代换得到 FE=FC，同时可以得到点B，C，D，E在以F为圆心，FC为半径的圆上，弧CE所对圆周角∠ABC=45°所以弧CE所对圆心角∠EFC=2∠ABC=90°从而得到，FE=FC且FE⊥FC
（2）如图，取AB中点M，AD中点N，连接CM、FM、EN、NF，
利用中位线定理可得FM=0.5AD，EN=0.5AD，CM=NF=0.5AB，且可证∠CMF=∠ENF，
所以可得△CMF≌△FNE，从而得到CF=FE，再利用将∠EFC分解成∠NFE+∠DFN+∠DFC进行求解，∠EFC=∠NFE+∠DFN+∠DFC=∠FCM+∠FBM+∠FCB+∠CBF=90°，从而求出位置关系垂直.
(3) 如图，
取AB中点M，AD中点N，BD中点F，作DG⊥AB，连接CM、FM、EN、NF，可证FM=0.5AD，EN=0.5AD，CM=NF=0.5AB，且可证∠CMF=∠ENF，从而得△CMF≌△FNE，得到CF=FE.通过角与角的关系，求出∠EFC=90°，从而可得和（1）（2），一样的结论FE与FC相等且垂直．
【详解】(1)相等且垂直.
∵ ∠ACB＝90°，
在Rt△DBC中，
∵ F是BD的中点，
∴BD，
∵ DE⊥AB，
∴BD，
∴ FE=FC；
∴点B，C，D，E在以F为圆心，FC为半径的圆上．
∵CA=CB
∴∠BAC=∠ABC=45°
∵弧CE=弧CE
∴∠EFC=2∠ABC=90°
∴FE=FC且FE⊥FC
(2)成立；
如图，取AB中点M，AD中点N，连接CM、FM、EN、NF，
可证FM=0.5AD，EN=0.5AD，CM=NF=0.5AB，且可证∠CMF=∠ENF，
∴可得△CMF≌△FNE，
∴CF=FE.
∵△CMF≌△FNE
∴∠NFE=∠FCM
∵N、F分别是AD,BD中点
∴NF∥AB
∴∠DFN=∠FBM
又∵∠DFC=∠FCB+∠CBF
∴∠EFC=∠NFE+∠DFN+∠DFC=∠FCM+∠FBM+∠FCB+∠CBF=90°
（直角三角形，锐角相加等于90°）
∴FE=FC且FE⊥FC
∴FE与FC相等且垂直，（1）中判断正确．
(3) 如图，
取AB中点M，AD中点N，BD中点F，作DG⊥AB，连接CM、FM、EN、NF，可证FM=0.5AD，EN=0.5AD，CM=NF=0.5AB，且可证∠CMF=∠ENF，从而得△CMF≌△FNE，得到CF=FE.通过角与角的关系，求出∠EFC=90°，从而可得和（1）（2），一样的结论FE与FC相等且垂直．
设BD=x,则BD=x，AG=x,
BD+ AG =AB代入得x+x=2，
解得：x=
BF=x=
CF2=BF2+CB2=8-2
所以S= CF2=4-.
【点睛】本题考查了中位线以及圆中圆心角与圆周角的关系，勾股定理、等腰直角三角形的应用，本题关键是作出辅助线，利用中位线定理找到边与边的关系．合理利用中位线找到边与边的关系是解决本题的关键．
A
B
C
D
A
B
C
D