上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了填空题，选择题等内容，欢迎下载使用。
（说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．）
一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）
1. 若复数，其中是虚数单位，则______.
2. 函数（常数且）的图像必定经过点________．
3. 已知，．若，则的值是________．
4. 物体受到三个力的作用，，，合力，则第三个力的大小为________（单位：牛顿）.
5. 已知，，则在方向上投影向量为________．（用坐标表示）
6. 函数的频率为________．
7. 函数，值域为________．
8. 已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为________．
9. 已知、，若不等式解集为，则（为虚数单位）的取值范围是________．
10. 已知关于的方程的两个根分别是、，若，则实数的值为________．
11. 平面直角坐标系中，将函数，的图像绕原点逆时针旋转后，仍是某个函数的图像．则的取值范围是________．
12. 已知集合，．若对任意向量，均存在、满足，使得，则的最小值为________．
二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项）
13. 设、，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
14. 复数，在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
15. 已知，，若，则点的坐标为（ ）
A B. C. D.
16. 设，函数在区间上最小值为，在上的最小值为，当a变化时，以下不可能的情形是（ ）
A. 且B. 且C. 且D. 且
三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤．
17. 已知平面上的两个向量（），.
（1）求证：向量与垂直；
（2）当向量与的模相等时，求的大小.
18. 已知（，，），函数的部分图象如图所示.
（1）求，，，的值；
（2）求函数的值域.
19. 如图，在一条景观道的一端有一个半径为米的圆形摩天轮O，逆时针分钟转一圈，从处进入摩天轮的座舱，垂直于地面，在距离处米处设置了一个望远镜.
（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜中仔细观看.问望远镜的仰角应调整为多少度？（精确到1度）
（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带，发现取景的视角恰为，求绿化带的长度（精确到1米）
20. 已知，为虚数单位．定义，．
（1）计算，；
（2）求集合在复平面上对应的区域的面积；
（3）若，求的最大值，并求当取得最大值时的值．
21. 已知函数的定义域为．满足条件“存在非零实数，只要（、且），都有”的的全体记作集合．若，称函数具有性质．
（1）下列三个函数中哪些函数具有性质？并写出对应的集合（无需证明）；
①；②；③（表示不超过的最大整数）．
（2）已知定义域为的函数具有性质．求证：“函数是周期函数”的一个充分非必要条件是“为偶函数”．
（3）已知函数具有性质且，且满足：当时；当时．若方程恰有4个解，试求的取值范围．
2024-2025学年度第二学期
高一数学期中试卷
（说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．）
一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）
1. 若复数，其中是虚数单位，则______.
【答案】5
【解析】
【分析】求得，由此求得.
【详解】由于，所以，所以.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查共轭复数，考查复数乘法运算，属于基础题.
2. 函数（常数且）的图像必定经过点________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数的性质计算可得.
【详解】对于函数（常数且），
令，解得，此时，
即函数（常数且）的图像必定经过点.
故答案：
3. 已知，．若，则的值是________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据向量共线得到方程，解出即可.
【详解】因为，则，解得.
故答案为：6.
4. 物体受到三个力作用，，，合力，则第三个力的大小为________（单位：牛顿）.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意设第三个力为,根据向量的加法列等式,求出,即得向量,
再根据求模公式算出力的大小.
【详解】解：因为物体受到三个力的作用.
,,合力.
设第三个力为
即
故答案为：
【点睛】本题考查向量的加法运算和向量求模,属于简单题.
5. 已知，，则在方向上的投影向量为________．（用坐标表示）
【答案】
【解析】
【分析】首先求出，，再由在方向上的投影向量为计算可得.
【详解】因为，，
所以，，
所以在方向上的投影向量为.
故答案为：
6. 函数的频率为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数频率的定义，即可求解.
【详解】由题意有，所以，
故答案为：.
7. 函数，的值域为________．
【答案】
【解析】
【分析】由的范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为，所以，所以，
所以函数，的值域为.
故答案为：
8. 已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到，即可求解.
【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数，
由，得到，整理得到，解得，
故答案为：.
9. 已知、，若不等式的解集为，则（为虚数单位）的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据不等式的解集得到、的关系，再根据复数模的计算公式求解的取值范围．
【详解】根据题意，已知、，若不等式的解集为，
则在上，函数图像上的点要在函数上面.
分情况讨论，
当时，在上，时，，而，则直线上的点不可能一直在曲线上方，不合题意.
当，不等式的解集不为，不合题意，
所以若不等式的解集为，必有.
根据图像知道，在1处刚好取等即可，则，
可得．
令，这是一个二次函数，函数图象开口向上．
当时，．
所以，
综上所得， 的取值范围是．
故答案为：．

10. 已知关于的方程的两个根分别是、，若，则实数的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据韦达定理即可得到方程，解出即可.
【详解】由题意得，，
则，即，
即，解得.
故答案为：.
11. 平面直角坐标系中，将函数，的图像绕原点逆时针旋转后，仍是某个函数的图像．则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件知，的图像与至多有一个交点，进而转化成与只有一个交点，利用二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】由题知，的图像与至多有一个交点，
由，消得到，所以至多一个解，
令，则与至多有一个交点，
又的对称轴为，所以，
故答案为：.
12. 已知集合，．若对任意向量，均存在、满足，使得，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】先分析方程表示的曲线，设，可知三点共线，根据题意可知的最小值即为的最大值，结合圆的性质分析求解即可.
【详解】设方程表示的曲线为，
用代换方程不变，可知曲线关于y轴对称；
用代换方程不变，可知曲线关于x轴对称；
当时，方程可化为，
据此可知曲线为边长为的正方形，
且方程表示圆心为，半径的圆，
显然曲线在圆内，
设，即点在曲线上，点在圆上，
则，
因为，即，可知三点共线，
即过曲线上任一点作圆的弦，
由圆的性质可知的最小值，
因为存在点，使得，则，
结合点的任意性可知的最小值即为的最大值，
若取到最大值，即取到最小值，
可知的最小值即为正方形的内切圆半径，即，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项）
13. 设、，则“”是“”的（ ）
A 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数相等的定义以及充分必要条件的定义判断即可
【详解】若，则，故充分性成立；
设1，，符合，但不成立，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A
14. 复数，在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算先求复数，由复数的几何意义即可求解.
【详解】由，所以复数在复平面对应的点，所以点在第三象限，
故选：C.
15. 已知，，若，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设点，由得即可求解.
【详解】设点，由得，
所以.
故选：D.
16. 设，函数在区间上的最小值为，在上的最小值为，当a变化时，以下不可能的情形是（ ）
A. 且B. 且C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，举例说明，排除不可能的选项作答.
【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可，
当时，，，而，，
因此在上的最小值，在上的最小值，A可能；
当时，，，
因此在上的最小值，在上的最小值，B可能；
当时，，，
因此在上的最小值，在上的最小值，C可能；
对于D，若，则，
若，则区间的长度，并且且，
即且与矛盾，所以D不可能.
故选：D
三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤．
17. 已知平面上的两个向量（），.
（1）求证：向量与垂直；
（2）当向量与的模相等时，求的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据已知计算即可得证明.
（2）由，两边平方求解.
【小问1详解】
证明：因为，
所以与垂直.
【小问2详解】
由，
两边平方，得，
整理，得，
而，所以，
即.
即，
∴，即，.
又，∴或.
18. 已知（，，），函数的部分图象如图所示.
（1）求，，，的值；
（2）求函数值域.
【答案】（1），，，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象可知函数的最大值和最小值，代入解析式，解方程组可得和的值，根据图象代入点和，结合图中周期的范围及题中，的范围即可求解；
（2）由（1）可得函数的解析式，代入，利用诱导公式和二倍角公式化简可得，利用换元法，令，则，，根据二次函数性质即可求解.
【小问1详解】
由图可知：，解得，
.
又，∴.
∵，∴，∴.
∵，∴，
∴，解得.
由图可知函数周期，∴.
∵，∴，∴，.
综上，，，，.
【小问2详解】
由（1）知，
∴.
令，则，.
由二次函数性质可知函数的图象开口向上，对称轴为，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，函数取得最小值，最小值为；
当时，函数取得最大值，最大值为.
综上，函数的值域为.
【点睛】本题第（1）问的解题关键是根据函数图象可知周期求解的值；
本题第（2）问的解题关键是与的关系，利用诱导公式和二倍角公式化简可得后，利用换元法和二次函数的性质即可求解，注意新元的范围.
19. 如图，在一条景观道的一端有一个半径为米的圆形摩天轮O，逆时针分钟转一圈，从处进入摩天轮的座舱，垂直于地面，在距离处米处设置了一个望远镜.
（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜中仔细观看.问望远镜的仰角应调整为多少度？（精确到1度）
（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带，发现取景的视角恰为，求绿化带的长度（精确到1米）
【答案】（1）（2）94米.
【解析】
【分析】因为摩天轮做匀速转动，逆时针15分钟转一圈，可得5分钟转过，过点C作于点H，利用解三角形可得望远镜B的仰角由题意可求CD，利用正弦定理即可解得BD的长度．
【详解】（1）逆时针分钟转一圈，
分钟转过，
过点作于点，
则，

，
答：望远镜的仰角设置为
（2）在中，，
由正弦定理得：

答：绿化带的长度为94米.
【点睛】本题考查了已知三角函数模型应用问题，解答本题的关键是作出正确的示意图，然后再由三角形中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件，求解三角形的边与角，属于中档题．
20. 已知，为虚数单位．定义，．
（1）计算，；
（2）求集合在复平面上对应的区域的面积；
（3）若，求的最大值，并求当取得最大值时的值．
【答案】（1），
（2）
（3），此时
【解析】
【分析】（1）根据所给定义计算可得；
（2）设，即可得到，从而确定集合在复平面上对应的区域，即可求出相应的面积；
（3）设，即可得到，确定在复平面的轨迹，即可求出的最大值以及此时的.
【小问1详解】
因为，，
所以，；
【小问2详解】
设，则，
所以，，
由且，即，即，
所以集合在复平面上对应的区域如下图阴影部分所示（不包含、轴部分），
所以集合在复平面上对应的区域的面积.
【小问3详解】
设，则，
又，即，
所以当时，当时，当时，
当时，
所以复数在复平面内所对应的轨迹如下所示：
其中，，，，
所以当时取得最大值，且，此时
21. 已知函数的定义域为．满足条件“存在非零实数，只要（、且），都有”的的全体记作集合．若，称函数具有性质．
（1）下列三个函数中哪些函数具有性质？并写出对应的集合（无需证明）；
①；②；③（表示不超过的最大整数）．
（2）已知定义域为的函数具有性质．求证：“函数是周期函数”的一个充分非必要条件是“为偶函数”．
（3）已知函数具有性质且，且满足：当时；当时．若方程恰有4个解，试求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明过程见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）只需根据新定义来判断即可；
（2）证明不必要性只需举出例子即可，证明充分性只需结合新定义以及周期性的定义来证明即可；
（3）首先得出函数的一般的表达式，进一步画出函数图象，只需通过观察函数图象的交点个数并结合分类讨论即可求解.
【小问1详解】
对于①，，若，、，，则只能，
若，，则，
故函数不具有性质；
对于②，，
若，、，，
由可得，
故，
取，且，则，故，
若，则时，
或，（），
若，则恒成立，
若，则，
而，故也成立，
综上，，
对于③，，
若，
则对任意的非零整数总有，
若存在，
也满足恒成立，
取，则，
， ，
故不存在非整数，使得具有性质，
综上，.
【小问2详解】
若定义域为的函数具有性质，
则当且仅当使得当（、且）时，都有；
若为偶函数，因为为偶函数，故，
当时，则有，故，
故，故为周期函数，且周期为.
取，，则时，总有，
当为奇函数，
综上，“函数是周期函数”的一个充分非必要条件是“为偶函数”；
【小问3详解】
由题意当且时，若，则只能，
又函数具有性质且（事实上根据新定义可知，函数具有性质且），
从而，
又，所以，从而在上的图象关于直线对称，
当且时，若，则只能，
因为函数具有性质且，
所以，而，从而在上的图象关于直线对称，
当时，此时的图象关于直线对称；
当时，此时的图象关于直线对称；
依次类推可得的图象在时关于直线对称，
当时，，
依次类推当时，，
因为当时，，所以当时，，
……，
所以当时，，
由此可画出函数的图象，如下图所示：
显然当时，方程有无数多个解，故不符合题意，
当时，的图象与反比例函数的图象在第二象限的一支会有无数多个交点，故不符合题意，
现在我们来看的情形，此时方程的根只能是正根，
当时，结合二次函数性质可知，方程的根的情况如下：
（i）当时，方程有2个根；
（ii）当时，方程有1个根；
（iii）当时，方程有0个根；
若方程恰有4个解，
（i）当时，若方程上有2个根，
则需满足，但这不可能成立；
（ii）当时，若方程上有3个根，
则需满足，但这不可能成立；
（iii）当时，若方程上有4个根，
则需满足，解得；
综上所述，满足题意的实数的取值范围为.