福建省部分优质高中2024~2025学年高一下学期期中质量检测数学试题（解析版）

这是一份福建省部分优质高中2024~2025学年高一下学期期中质量检测数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由向量，得.
故选：D
2. 已知为虚数单位，复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
则，
故选：C.
3. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，
底边长，高，
所以，
直角三角形的周长为．
故选：A．
4. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在上的投影向量.
故选：C.
5. 已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题设，与向量方向相反的单位向量是.
故选：D
6. 如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知线段上一点，
设，，
则，
又，则，
所以，
则，解得，
故选：D.
7. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为、，它的母线长为，则这个圆台的体积为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形，
过点、在平面内分别作，，垂足分别为、，
如下图所示：
在梯形内，，，，则，
故四边形为矩形，所以，，，
在、中，，，，
所以，，所以，，
所以，，
因此，该圆台的体积为.
故选：D.
8. 在体积为的三棱锥中，，，平面平面，， ，若点，，，都在球的表面上，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，取中点，连接，，
因为，，所以，
因此点就是三棱锥的外接球球心，
在平面内过点作，为垂足，
又平面平面，平面平面，
所以平面，
设球半径为，则，
又，则，
因为，，，
所以，
所以，
所以三棱锥的体积，
所以，所以球的体积为．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误.
B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确.
C选项，非零向量，，若，，则成立，所以C选项正确.
D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误.
故选：BC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若非零向量满足，，则
B.
C. 若为单位向量，则
D. 向量可以作为平面内的一个基底
【答案】AC
【解析】对于A：因为为非零向量，，所以存在非零实数，使得，
又，所以存在实数使得，
所以，所以，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：因为为单位向量，所以，
所以，
，
所以，故C正确；
对于D：因为，所以，即，
所以向量不可以作为平面内的一个基底，故D错误.
故选：AC
11. 如图，在平面四边形中，为等边三角形，，为的中点，将沿折起，点至点的位置，使得，将沿折起，点至点的位置，此时四面体恰好为正四面体，，分别为，的中点，则（ ）
A. 平面B. 为钝角
C. 平面D.
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，为中点，所以，
从而可得为，，又，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，因为四面体恰好为正四面体，所以，
所以，
所以，所以，所以，故B错误；
对于C，过点作平面于，连接，
因为，易得，所以，
因为，是的中点，所以，所以在直线上，
又，，又，平面，
所以平面，所以，所以过有唯一平面，
设正面体的棱长为，则可得，，
在中，由余弦定理可得，
又是的中点，所以，
在中，由余弦定理可得，
，
又易得，又，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，所以平面，故C正确；
对于D，又平面，所以平面平面，
又平面平面，由选项C可知，又平面，
所以平面，又平面，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于_______．
【答案】或
【解析】是实数，则，．
故答案为：.
13. 若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_________
【答案】
【解析】因为向量，，与的夹角为钝角，
所以且，即且，
即实数的取值范围是.故答案为：.
14. 如图所示，，分别在平面和平面内，在与的交线上取线段，，，，，，则二面角的大小为______.
【答案】
【解析】如下图，在平面内过作且，
由，易知为矩形，连接，
由，则，又，且都在面内，
所以面，面，则，
由，，则，
由，，易知为二面角的平面角，
又，，
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，且与的夹角为120°，求：
（1）；
（2）与的夹角．
解：(1)因为，，且与的夹角为，
所以，
所以，
所以.
（2）因，
，
所以，
所以与的夹角为.
16. 如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
证明：（1）因为，、分别是、的中点，则∥，
又因∥，则∥，
且平面，平面，所以∥平面.
（2）因为底面，底面，则，
又因为为矩形，则，
且，平面，所以平面.
17. 记的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的值；
（2）若为的中点，且，，求的面积.
解：（1）由正弦定理得，，
则由，得，
，
，

，
；
（2）为的中点，
，
又，
，①
由余弦定理得，，②
联立①②，解得，
，
的面积为.
18. 如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，，在平面中，，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：如图所示，取中点，连接，，
由四边形为菱形，且，
得，，
又，
，
，
，，
又，且，平面，
平面，
平面，
平面平面.
（2）如图所示，过点作，垂足，连接，
由（1）得平面平面，平面平面，，平面，
∴平面.
∵平面,
，.
又，平面，且，
平面.
∵平面，平面平面，
所以即为直线与平面所成角，
又，，
，即直线与平面所成角的正弦值为.
19. 在三棱锥中，，，，，的中点为，点在线段上，且满足.
（1）求证：；
（2）当平面平面时，
①求点到平面的距离；
②若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：连接，，
，为的中点，，
，为的中点，，
平面，
又平面，；
（2）解：①过点作于，连，，
平面平面，，
平面，令，
，
，，则，，，
平面，，
在中，由，得，，
，故点到平面的距离为；
②记平面与平面的夹角为，作交于点，连接，
，，
是的中位线，，
，，
，，
，，
，所以平面为平面与平面的公共垂面，
故，在中，，，
可求得，又，，则.