广东省深圳市红岭教育集团2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷

这是一份广东省深圳市红岭教育集团2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷，共13页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列各式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．y2﹣2y+9＝y（y﹣2）+9
B．3（x+y）＝3x+3y
C．4x2+4x+1＝（2x+1）2
D．（5x+1）（5x﹣1）＝25x2﹣1
3．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则代数式m2﹣m+2022的值等于（ ）
A．2024B．2022C．2023D．2021
4．（3分）“5•12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修x米，所列方程正确的是（ ）
A．+4＝B．＝﹣4
C．＝﹣4D．﹣4＝
5．（3分）如图，OE平分∠AOB，∠AOE＝15°，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为点C．若EC＝3，则OD的长度为（ ）
A．4B．C．D．6
6．（3分）下列判断中，错误的是（ ）
A．若a＞b，则﹣4a＜﹣4bB．若2a＞3a，则a＜0
C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b
7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（ ）
A．1B．C．D．2
8．（3分）如图，E、F是正方形ABCD边AD上的两个动点且AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形ABCD的边长为2，则线段DH长度的最小值为（ ）
A．﹣1B．C．D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）分解因式：2b2﹣8＝ ．
10．（3分）若关于x的方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
11．（3分）若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是 ．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝6cm，AB＝8cm，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，则DE的长是 cm．
13．（3分）如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°，延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM＝5，则FD的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分61分）
14．（4分）解一元二次方程：x2﹣9x+8＝0．
15．（4分）解分式方程：．
16．（7分）化简求值：，其中x＝．
17．（7分）解不等式组：并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），请直接写出顶点A1，B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，请直接写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，请在坐标系中画出△A3B3C3．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求OE和CE的长．
20．（11分）根据如表所示素材，探索完成任务．
21．（12分）综合与实践
【问题情境】
在数学课上，老师让同学们探究旋转中的数学问题，如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为线段BC上一动点，连接AD．若将线段AD绕点A沿逆时针的方向旋转90°得到AM，连接CM，易证CM与BD的数量关系为： ，位置关系为： ．
【变式探究】
“创新”小组提出：当点D在如图2所示位置时，若将线段AD绕点D沿顺时针的方向旋转90°，得到DE，过点D作DF垂直于BC交AB于点F，连接EF、EC，试探究∠BCE的度数．
①“善思”小组经过研究发现线段AC与EF的关系为：AC∥EF，AC＝EF，请你帮“善思”小组写出此结论的证明过程．
②从而“明辨”小组得出∠BCE＝ °．
【问题拓展】
同学们提出当点D在BC上继续向右运动时，∠BCE的度数会发生变化，那么当点D运动到如图3所示的位置时，∠BCE＝ °，（请你直接写出答案）此时“变通”小组发现AF、DF、EF之间存在某种数量关系，请你写出AF、DF、EF三条线段之间的数量关系 ．
广东省深圳市红岭教育集团2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
2．（3分）下列各式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．y2﹣2y+9＝y（y﹣2）+9
B．3（x+y）＝3x+3y
C．4x2+4x+1＝（2x+1）2
D．（5x+1）（5x﹣1）＝25x2﹣1
【答案】C
3．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则代数式m2﹣m+2022的值等于（ ）
A．2024B．2022C．2023D．2021
【答案】A
4．（3分）“5•12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修x米，所列方程正确的是（ ）
A．+4＝B．＝﹣4
C．＝﹣4D．﹣4＝
【答案】B
5．（3分）如图，OE平分∠AOB，∠AOE＝15°，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为点C．若EC＝3，则OD的长度为（ ）
A．4B．C．D．6
【答案】D
6．（3分）下列判断中，错误的是（ ）
A．若a＞b，则﹣4a＜﹣4bB．若2a＞3a，则a＜0
C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b
【答案】C
7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
8．（3分）如图，E、F是正方形ABCD边AD上的两个动点且AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形ABCD的边长为2，则线段DH长度的最小值为（ ）
A．﹣1B．C．D．
【答案】A
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）分解因式：2b2﹣8＝ 2（b+2）（b﹣2） ．
【答案】2（b+2）（b﹣2）．
10．（3分）若关于x的方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤ ．
【答案】k≤．
11．（3分）若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是 m＜﹣1且m≠﹣2 ．
【答案】m＜﹣1且m≠﹣2．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝6cm，AB＝8cm，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，则DE的长是 cm．
【答案】．
13．（3分）如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°，延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM＝5，则FD的长为 ．
【答案】见试题解答内容
三．解答题（共8小题，满分61分）
14．（4分）解一元二次方程：x2﹣9x+8＝0．
【答案】x1＝8，x2＝1．
15．（4分）解分式方程：．
【答案】见试题解答内容
16．（7分）化简求值：，其中x＝．
【答案】见试题解答内容
17．（7分）解不等式组：并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】﹣1≤x＜2．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），请直接写出顶点A1，B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，请直接写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，请在坐标系中画出△A3B3C3．
【答案】（1）A1（2，2），B1（3，﹣2）；
（2）A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；
（3）见解析．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求OE和CE的长．
【答案】（1）见详解；
（2）OE＝2，．
20．（11分）根据如表所示素材，探索完成任务．
【答案】（1）A种图书标价27元，B种图书标价18元；
（2）21种；
（3）购进A种图书60本、B种图书40本才能获得最大利润．
21．（12分）综合与实践
【问题情境】
在数学课上，老师让同学们探究旋转中的数学问题，如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为线段BC上一动点，连接AD．若将线段AD绕点A沿逆时针的方向旋转90°得到AM，连接CM，易证CM与BD的数量关系为： CM＝BD ，位置关系为： CM⊥BD ．
【变式探究】
“创新”小组提出：当点D在如图2所示位置时，若将线段AD绕点D沿顺时针的方向旋转90°，得到DE，过点D作DF垂直于BC交AB于点F，连接EF、EC，试探究∠BCE的度数．
①“善思”小组经过研究发现线段AC与EF的关系为：AC∥EF，AC＝EF，请你帮“善思”小组写出此结论的证明过程．
②从而“明辨”小组得出∠BCE＝ 45 °．
【问题拓展】
同学们提出当点D在BC上继续向右运动时，∠BCE的度数会发生变化，那么当点D运动到如图3所示的位置时，∠BCE＝ 135 °，（请你直接写出答案）此时“变通”小组发现AF、DF、EF之间存在某种数量关系，请你写出AF、DF、EF三条线段之间的数量关系 ．
【答案】【问题情境】CM＝BD，CM⊥BD；
【变式探究】①见解析，
②45；
【问题拓展】135；．如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润
素材1
南山书城为了迎接“读书节”决定购进A，B两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元．
素材2
已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本．
素材3
南山书城准备用不超过1680元购进A，B两种图书共100本，且A种图书不少于60本，经市场调查后调整销售方案为：A种图书按照标价的8折销售，B种图书按标价销售．
问题解决
任务1
探求图书的标价
请运用适当方法，求出A，B两种图书的标价．
任务2
探究进货方案
A，B两种图书进货方案一共有多少种？
任务3
确定如何获得最大利润
南山书城应怎样进货才能获得最大利润？
如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润
素材1
南山书城为了迎接“读书节”决定购进A，B两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元．
素材2
已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本．
素材3
南山书城准备用不超过1680元购进A，B两种图书共100本，且A种图书不少于60本，经市场调查后调整销售方案为：A种图书按照标价的8折销售，B种图书按标价销售．
问题解决
任务1
探求图书的标价
请运用适当方法，求出A，B两种图书的标价．
任务2
探究进货方案
A，B两种图书进货方案一共有多少种？
任务3
确定如何获得最大利润
南山书城应怎样进货才能获得最大利润？