山东省烟台市栖霞市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省烟台市栖霞市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，，若，则（ ）
A. 1B. C. D.
2. 若，则
A. B. C. D.
3. 已知，，，则等于（ ）
A 12B. 28C. D.
4. 若 则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知角A、B是的内角，则“”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
6. 中，，，，则的面积等于（ ）
A. B. C. 或D. 或
7. 如图所示的矩形中，，满足，，G为EF的中点，若，则的值为（ ）
A. B. 3C. D. 2
8. 若非零向量与满足，且，则为（ ）
A. 三边均不等三角形B. 直角三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形D. 等边三角形
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9. 下列各式中，值为的是（ ）
A.
B. cs2－sin2
C. cs 15°sin 45°－sin 15°cs 45°
D.
10. 已知向量，，则（ ）
A. B. 向量,的夹角为
C. D. 在方向上的投影向量是
11. 的内角的对边分别为，下列说法正确的是（ ）
A. 若则外接圆的半径等于1
B. 若，则此三角形为直角三角形
C. 若，则解此三角形必有两解
D. 若是锐角三角形，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，均为锐角，则___ ．
13. 已知向量，，与夹角为钝角时，则取值范围为________
14. 已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量
（1）已知且，求
（2）已知，且，求向量与向量的夹角．
16. 已知向量，，.
（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
17. 在中，，，，为线段的中点.
（1）求长；
（2）求值.
18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求A；
（2）若，求周长的取值范围.
19. 如图，在边长为6的正方形中，，且，.

（1）求的值；
（2）若向量，点在的内部（不含边界），求的取值范围.
高一数学月考试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知，，若，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量的数量积的坐标运算求解．
【详解】，
由，得，
得，得，
故选：A
2. 若，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式化简并利用平方关系，然后将弦化切计算即可.
【详解】由
又
所以
故选：D
3 已知，，，则等于（ ）
A. 12B. 28C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积公式求出，从而得到.
【详解】
，
故.
故选：C
4. 若 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可代入求解.
【详解】
故选：C
5. 已知角A、B是的内角，则“”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】应用正弦定理结合充要条件判断即可.
【详解】因为中，，由正弦定理得，所以；
由，由正弦定理得，所以；
则“”是“”的充要条件.
故选：C.
6. 中，，，，则的面积等于（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由已知及正弦定理可求，结合范围，可得，利用三角形内角和定理可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【详解】解：∵，，，
∴由正弦定理可得，
∵，可得或120°，
∴或30°，
∴或．
故选：D．
7. 如图所示的矩形中，，满足，，G为EF的中点，若，则的值为（ ）
A. B. 3C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】以为基底，根据平面向量线性运算即可求解.
【详解】因为，，G为EF的中点，
所以
，
所以，所以.
故选：A
8. 若非零向量与满足，且，则为（ ）
A. 三边均不等的三角形B. 直角三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形D. 等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断.
【详解】解：，
的角平分线与BC垂直，
，
，
则是顶角为的等腰三角形，
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9. 下列各式中，值为的是（ ）
A.
B. cs2－sin2
C. cs 15°sin 45°－sin 15°cs 45°
D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由题意，根据二倍角的余弦、正切公式和两角差的正弦公式计算即可.
【详解】选项A：，故A符合题意；
选项B：，故B符合题意；
选项C：，故C不符合题意；
选项D：，故D不符合题意.
故选：AB.
10. 已知向量，，则（ ）
A. B. 向量,的夹角为
C. D. 在方向上的投影向量是
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于，，，，
，
，故A错误；
对于B，，
由于，则向量的夹角为，故B正确；
对于C，，
，故C错误；
对于D，在方向上的投影向量为，故D正确．
故选：BD．
11. 的内角的对边分别为，下列说法正确的是（ ）
A. 若则外接圆半径等于1
B. 若，则此三角形为直角三角形
C. 若，则解此三角形必有两解
D. 若是锐角三角形，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正弦定理，二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式，三角形个数的判断方法，以及和差化积公式和辅助角公式即可求解.
【详解】根据正弦定理，
，
所以，
则外接圆的半径等于1，
故选项A正确；
，
所以，
所以,
所以，
所以，
在三角形中，
所以，
所以，
则此三角形为直角三角形，
故选项B正确；
因为，
所以，
所以，
则解此三角形只有一解，
故选项C错误；
因为是锐角三角形，
所以，所以，所以，即，同理
则，故选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，均为锐角，则___ ．
【答案】
【解析】
【分析】由两角和的正弦公式结合同角三角函数的关系求解即可．
【详解】因为，均为锐角，所以，
则，
所以.
故答案： ．
13. 已知向量，，与夹角为钝角时，则的取值范围为________
【答案】
【解析】
【分析】根据向量夹角是钝角，得到数量积小于0，且两向量不共线，由此列出不等式求出实数的取值范围．
【详解】由题意，与夹角为钝角，则，且与不共线.
由可得，
若与共线，则有，解得，所以与不共线时，.
综上，的取值范围为且.
故答案为：.
14. 已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦定理及两角差的正弦公式可得，，再利用余弦定理可得，进而得到，再根据基本不等式求解即可.
【详解】由，
根据正弦定理得，，
即，所以．
又因为，，
所以，所以．
在中，，①
在中，，②
因为，所以，
①②可得，又因，所以，
即，所以，
令，则，即，解得，
又因为，所以，当且仅当时，等号成立，
则的最大值为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量
（1）已知且，求
（2）已知，且，求向量与向量的夹角．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）设，得到方程，解出即可；
（2）由题意得，利用向量数量积运算律及定义得，解出即可.
小问1详解】
由，所以设
又得，解得，
所以或.
【小问2详解】
由题知，，，，
所以，
所以
所以
所以
所以
因为
所以向量与向量的夹角为.
16. 已知向量，，.
（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调增区间为，；；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算,并利用两角和差的三角函数公式化简得到函数的解析式，有三角函数的性质求得周期，单调增区间；
（2）将不等式分离参数，根据不等式有解的意义得到；然后根据角的范围，利用三角函数的性质求得函数的最小值，进而求得的取值范围.
【详解】（1）因为
所以函数的最小正周期；
因为函数的单调增区间为，，
所以，，
解得，，
所以函数的单调增区间为，；
（2）不等式有解，即；
因为，所以，又，
故当，即时， 取得最小值，且最小值为，
所以.
17. 在中，，，，为线段的中点.
（1）求的长；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）（2）由余弦定理求解，
【小问1详解】
由余弦定理得，
即，得，
【小问2详解】
由题意得，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，故，得，
故
18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求A；
（2）若，求周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知结合正弦定理角化边，整理根据余弦定理即可得出，然后根据A的范围，即可得出答案；
（2）根据正弦定理得出，.设周长为，表示出周长.然后根据诱导公式以及辅助角公式化简可得出.然后根据的范围，即可得出答案.
【小问1详解】
在中，由已知结合正弦定理角化边可得，
整理可得，所以.
又，所以.
【小问2详解】
由（1）知，
所以，，
记的周长为，则，
由，，得，
所以.
又，所以，则，故
19. 如图，在边长为6的正方形中，，且，.

（1）求的值；
（2）若向量，点在的内部（不含边界），求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两角和的正切公式求得正确答案.
（2）先求得的取值范围，然后根据向量的数量积运算以及不等式的性质求得的取值范围.
【小问1详解】
由图可知，，
所以.
【小问2详解】
，则，
，则，
所以，
由于，
所以，即，
所以
,
由于，所以，
所以的取值范围是.
【点睛】已知三角函数值求角，主要是通过三角恒等变换的知识求得角的某个三角函数值，然后根据特殊角的三角函数值求得所求的角.求解向量数量积运算，可以转化为基底表示，然后利用数量积的运算律来求得正确答案.