福建省龙岩市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量检查数学试题（解析版）

这是一份福建省龙岩市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量检查数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了 已知，若，，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.
2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】由得，故，故选：B
2. 已知事件A，B满足：，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.故选：.
3. 在三棱锥中，D是的中点，E是的中点，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，.
故选：C
4. 若函数在上单调递减，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，在上单调递减，
所以在恒成立，
所以，解得，
故实数的取值范围为，
所以的最小值为.
故选：B.
5. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，则直线与平面所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】取中点为，连接，，，
又侧面底面，侧面底面，面，
底面，
，，，连接，则.
如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
，设平面的法向量为，则，
可取，
，
设直线与平面所成角为，，
，
直线与平面所成角的正切值为.
故选：.
6. 某观影平台对新近上映的某部影片的观众评价情况进行调查，得到如下数据（单位：人）：
附：，
则下列说法正确的是（ ）
A. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否作出观影评价与性别有关
B. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否作出观影评价与性别有关
C. 没有95%的把握认为是否作出观影评价与性别有关
D. 有99%的把握认为是否作出观影评价与性别有关
【答案】C
【解析】由题意知，
，
所以没有的把握认为是否作出观影评价与性别有关.
故选：C
7. 已知，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意，因为，
所以等式两边取对数化解得，
令，
所以，
当时，即，在单调递增；
当时，即，在单调递减；
因为，
且，
所以，
所以.
故选：D.
8. 已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在，
B. 对任意，
C. 存在，
D. 对任意，
【答案】D
【解析】由题意可得：，且，即，
对A、B：由题意可得：，
∵开口向下，对称轴，，
则，故，即，
不存在，，A错误；
例如，则，即存在，，，B错误；
对C：，
则，
故对任意，，则，C错误；
对D：令，
则图象开口向下，对称轴，且，
故，即，
对任意，，D正确.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知某校学生的数学测试成绩服从正态分布，则（ ）
A. 越大，测试成绩在概率越大
B. 无论取何值，测试成绩落在与落在的概率相等
C. 若随机变量满足，则
D. 若随机变量满足，且，则
【答案】BC
【解析】对于A：因为，则，越大，则数据越分散，
所以测试成绩在的概率越小，故A错误；
对于B：因为，，
所以根据正态曲线的对称性可知，无论取何值，测试成绩落在与落在的概率相等，故B正确；
对于C：因为，，则，
所以，故C正确；
对于D：因为，，则，
又，即，所以，即，
所以，故D错误.
故选：BC
10. 已知正方体棱长为1，动点M满足，则（ ）
A. 当，时，直线⊥平面
B. 当，，时，点M到直线的距离为
C. 当，，时，的值可能为
D. 当且时，点M的轨迹长度为
【答案】BD
【解析】A选项，当，，此时点为的中点，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
由于，，
故，
故与不垂直，故直线与平面不垂直，A错误；

B选项，当，，时，
，
设，则，解得，
故，，
又，故，
故点M到直线的距离为，B正确；
C选项，当，，时，
，
设，则，解得，
故，
其中，
故，
故
，
如图所示，，
显然当三点共线时，取得最小值，
最小值为，
则的最小值为，
当且仅当，即时，等号成立，
故的值不可能为，C错误；
D选项，当时，
，
故，即，
故点在平面上，
连接，交平面于点，则，
因为，
，
故⊥，且⊥，
又，平面，
所以⊥平面，
且，
又，故，
故点M的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
故轨迹长度为，D正确.
故选：BD
11. 已知函数有两个零点，，且，则（ ）
A. 当时，在处的切线与y轴垂直
B. 实数a的取值范围是
C.
D.
【答案】ABD
【解析】当时，，，所以A项正确；
由题意，函数，则，
当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意；
当时，令，解得，
令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为函数有两个零点且，
则，且，
所以，解得，所以B项正确；
由，得，，
则，设，
则由和解得，
故，由变形得，
令，可知，即在递增，
所以，即，所以C项不正确；
，
令，则，
即在(1,+∞)递减，所以，所以，即D项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在一个不透明的密封盒子中装有8只昆虫，其中蜜蜂和蝴蝶的数量各占一半.现在盒子上开一小孔，每次只能飞出一只昆虫，且任意一只昆虫都等可能地飞出.则“从盒子中任意飞出2只昆虫，至少有1只是蝴蝶”的概率是_______.
【答案】
【解析】“从盒子中任意飞出2只昆虫，至少有1只是蝴蝶”为事件A，
则.
故答案为：
13. 已知函数，则的最小值是_______.
【答案】
【解析】因为，则，
设，则，
所以在单调递增，又，
所以时，，即，则单调递减，
所以时，，即，则单调递增，
所以.
故答案为：
14. 已知直三棱柱，，，E为侧棱中点，过E作平面与平面垂直，当平面与该直三棱柱所成截面为三角形时，顶点与该截面构成的三棱锥体积的最小值为_______.
【答案】
【解析】分别以所在直线为轴，轴，轴
则
，
设平面的法向量，
则，得，
设平面，与平面交于点，
则，点，由，得，即，
当平面经过直线并绕着直线旋转时，
平面与平面的交线绕着点旋转，
当交线与线段，都相交时，与正方体所成截面为三角形，
令平面与平面的交线交于点，交于点，
设，， 则，
，
由三点共线，得，，
所以，因此，所以
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2019年至2023年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表：
（1）据上表数据，计算y与t的相关系数r，并说明y与t的线性相关性的强弱；（已知：，则认为y与t线性相关性很强；，则认为y与t线性相关性一般；，则认为y与t线性相关性较弱.）
（2）利用最小二乘法建立y关于t的线性回归方程，并预测2024年该平台的交易额.
参考数据：，，
参考公式：相关系数
线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，.
解：（1）依题意，，，
，
故，
所以线性相关性程度很强；
（2），，
则，
所以关于的线性回归方程为，
当时，，
所以预计2024年该平台的交易额为15.9百亿.
16. 如图，已知平行四边形，点E为的中点，，.将沿折起，使点D到达点P的位置，且与夹角的余弦值为.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
解：（1）取中点，连结，，
由于是中点，可知，
所以为等边三角形，即，
又因为与夹角的余弦值为，，
所以与的夹角就是，即，
由余弦定理得：，
所以，即，
因为，所以，
又因为平面，平面，，
所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）因为平面，所以，
因为四边形为平行四边形，且为等边三角形，所以．
因为为的中点，则，所以为等腰三角形，
可得，，即.
取的中点，则，所以，
以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，
可得，，
设是平面的一个法向量，
所以，即，取，
又因为是平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，
所以.
所以平面与平面所成角的余弦值为.
17 已知函数.
（1）求函数的极小值点；
（2）证明：.
解：（1）定义域为，，
其中，
当时，，故，
当时，，故
故在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值点是0.
（2）等价于，
即，
令，
则，
当时，，所以在上单调递增，又，
故当时，，当时，，
则恒成立，故.
18. 手机芯片（以下简称“芯片”）是手机中的核心组件之一，负责处理和控制手机的各种功能和任务.某大型企业准备把芯片的生产任务交给甲工厂或乙工厂，经过调研和抽样调查发现：甲工厂试生产的一批芯片的次品率为6%；乙工厂试生产的另一批芯片的次品率为2%；若将这两批芯片混合放在一起，则次品率为3%.
（1）从混合放在一起的芯片中随机抽取3颗，用频率估计概率，记这3颗芯片中来自甲工厂的颗数为X，求X的数学期望；
（2）为了获得芯片的生产订单，甲工厂通过采用最新的制造工艺，可以提高芯片的性能.记在甲工厂提高芯片性能的条件下，该大型企业把芯片交给甲工厂生产的概率为，在甲工厂不提高芯片性能的条件下，该大型企业把芯片交给甲工厂生产的概率为，已知.设事件 “甲工厂提高了芯片性能”，事件“该大型企业把芯片交给甲工厂生产”，其中，证明：.
解：（1）设事件“混合放在一起的芯片来自甲工厂”，事件“混合放在一起的芯片是次品”，
设，则，
所以，
计算得．的可能取值为0，1，2，3，，.
（2）依题意得：．即．
因为，，所以．
因为，，
所以．即得，
所以．
即．
又因为，，
所以．
因为，，
所以．
即得证．
19. 已知函数的定义域为，其导函数为.若存在实数a和函数，其中对任意都有，使得，则称函数具有优化特质.（参考数值：）
（1）设函数，其中b为实数.
①证明：函数具有优化特质；
②若，对任意，都成立，求实数b的取值范围；
（2）已知函数具有优化特质，给定，，对于两个大于1的实数，，且,,使得不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）①，当时，恒有，
根据定义得函数具有优化特质.
②，令得，，
当时，，此时，函数在上单调递增，又，
则不成立；
当时，，设，其对称轴大于1，，
若，即，则函数在上单调递减，又，则恒成立，符合题意；
若，即，则在上存在唯一零点，
函数在上单调递减，在上单调递增，
又，则只需满足，于是，从而得，
所以.
（2）由函数具有优化特质，得，
则函数在上单调递增，
当时，，
，即，同理：，
由函数单调性知：，，
从而不等式恒成立；
当时，，
，即，
由函数单调性知：，
得，与题设不符；
当时，同理得，由函数单调性知：，
得，与题设不符；
所以实数的取值范围是.作出评价
不作评价
男
30
15
女
45
10
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码（t）
1
2
3
4
5
交易额y（单位：百亿）
1.5
2
3.5
8
15