宁夏银川市第六中学2024-2025学年高一下学期月考一数学试题（原卷版+解析版）

这是一份宁夏银川市第六中学2024-2025学年高一下学期月考一数学试题（原卷版+解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知是第一象限角，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
3. 函数 的最大值为（ ）
A. 2B. C. D. 1
4. （ ）
A B. C. D.
5. 中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物，如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“马”“帅”“炮”“兵”分别位于A，B，C，D四点，则（ ）
A. B. C. D. 3
6. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各式计算结果为的是（ ）
A. B.
C. D.
10. （多选）已知向量，，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为，在的仿射坐标系中，，，则下列结论中正确的是（ ）
A B.
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 向量在向量上的投影向量的坐标为________．
13. 将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则的最小值为___________．
14. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若，___________.
四、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，第二象限角．
（1）求的值；
（2）求的值．
16 设向量，，.
（1）求；
（2）若，，求的值；
（3）若，，，求证：A，，三点共线.
17. 已知，.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
18. 如图，在直角三角形中，．点分别是线段上点，满足．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 在平行四边形中，，为中点．
（1）若，且满足，求的长；
（2）若，求的最大值．
银川六中2024-2025学年第二学期高一年级月考一
数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两角差的正弦公式可得.
【详解】，
故选：B
2. 已知是第一象限角，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知先确定是第三象限角，进而利用正余弦的平方关系求得，利用二倍角的正弦公式可求.
【详解】因为是第一象限角，所以，
所以，
当时，，所以是第三象限角；
当时，，所以是第一象限角；
又，所以是第三象限角，所以，
所以.
故选：D.
3. 函数 的最大值为（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】整理可得，结合正弦函数最值分析求解.
【详解】因为，
当，即时，函数取到最大值2.
故选：A.
4. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量加减运算法则得到答案.
【详解】．
故选：B
5. 中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物，如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“马”“帅”“炮”“兵”分别位于A，B，C，D四点，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】化简，再利用数量积公式计算即可.
【详解】由题得．
故选：A．
6. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平面向量共线定理解方程组即可得.
【详解】依题意可得存在实数满足，
即，又，不共线，
可得，解得.
故选：D
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式化原式为，根据结合，解出，再由降幂公式求出即可求解.
【详解】，
因为，即，，
解得，又，，
所以.
故选：A．
8. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解.
【详解】取中点为，连接，显然，
所以
.
故选：A
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各式计算结果为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二倍角公式计算可判断A，B，C，利用两角和的正切公式可判断D.
【详解】对A：，故A满足；
对B：，故B不满足；
对C：，故C满足；
对D：，故D满足.
故选：ACD
10. （多选）已知向量，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】分别计算出，然后判断选项即可;
【详解】因为，，
所以，
选项A，因为，所以与不垂直，所以A错误，
选项B，因为，，所以，所以，所以B正确，
选项C，因为，所以，所以，所以C错误，
选项D，因为，所以，所以，所以D正确.
故选：BD
11. 如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为，在的仿射坐标系中，，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用题意以及向量模，数量积的定义对各个选项逐个求解即可．
【详解】，，故A正确，
，故B正确，
，故C错误，
，故D错误，
故选：AB
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 向量在向量上的投影向量的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义求解.
【详解】向量在向量上的投影向量为．
故答案为：.
13. 将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，得到方程，求出，得到最小值.
【详解】的图象向左平移个单位后，得到，
从而，解得，
又，故当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：
14. 公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若，___________.
【答案】2
【解析】
【分析】由平方关系结合倍角公式得出答案.
【详解】因为，，所以，
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，为第二象限角．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数结合已知得出，即可根据二倍角的正弦公式代入数值得出答案；
（2）根据两角和差余弦公式代入数值得出答案.
【小问1详解】
，为第二象限角，
，
则；
【小问2详解】
.
16. 设向量，，.
（1）求；
（2）若，，求的值；
（3）若，，，求证：A，，三点共线.
【答案】（1）1 （2）2
（3）证明见解析
【解析】
分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.
【小问1详解】
，；
【小问2详解】
，所以，解得：，所以；
小问3详解】
因为，所以，所以A，，三点共线.
17. 已知，.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由两角差公式可得，根据齐次式问题运算求解；
（2）根据题意可得，根据两角和差公式分析运算即可.
【小问1详解】
因为，解得，
所以.
【小问2详解】
因为，则，
则，可得，
所以，
则，
又因为，则，
所以.
18. 如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由题意得，结合即可得解；
（2）由，求解即可.
【小问1详解】
在直角三角形中，．
∴，，
，
∵，∴．
【小问2详解】
令，得或（舍）.
∴存在实数，使得．
19. 在平行四边形中，，为中点．
（1）若，且满足，求的长；
（2）若，求最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）将作为基底，把用基底表示出来，然后利用列方程可求出的长；
（2）将作为基底，然后将中的向量用基底表示，化简可求出结果
【详解】解：（1）因为为中点，
因为四边形为平行四边形，
所以，
因为,
因为，，
所以，
，
解得，
所以，
（2）因为，
所以,
，
所以,
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，
所以的最大值为