北京市理工大学附中2024-2025学年第二学期高二数学期中试卷

这是一份北京市理工大学附中2024-2025学年第二学期高二数学期中试卷，共12页。试卷主要包含了解答题，共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。
出题人:高二数学备课组，审题人：高二数学备课组，审核人：金永涛，考试时间：120分钟
一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.在等差数列中，，，则
A．10B．17C．21D．35
2.若，则的值可以是
A．10B．12C．13D．15
3.设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是
A．1B．3C．6D．9
4.已知等比数列的通项公式，则数列的公比为
A．3B．2C．D．
5.某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有
A．24种B．10种C．9种D．15种
6.已知函数，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是
A．
B．
C．
D．
7.已知x，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8.已知函数，若函数在上单调递减，则实数的最小值为
A. 0B. 3C. D.
9.已知在数列中，，则的前项中的最大项为
A. B. C. D.
10.已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是
A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增
B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增
C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得
D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值
二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分。
11.在的展开式中，的系数为_______.
12.若函数的图象在点处的切线垂直于轴，则_______.
13.在数列中，已知，则的前10项和为_______.
14.已知函数，若，则不等式的解集为_______；若恰有两个零点，则的取值范围为_______.
15.已知数列满足，该数列的前项和为，则下列论断中正确的有_______.
①②③非零常数，使得
④ ，都有
三、解答题，共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题13分）
已知函数（，）的图象过点，且．
(1)求，的值；
(2)求曲线过点的切线方程．
17．（本小题13分）
设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
18．（本小题14分）
已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若在上的最大值是，求的值．
19．（本小题15分）
已知函数的极值点构成数列()．
(1)求；
(2)求证：数列是等差数列；
(3)求数列的前项和．
20．（本小题15分）
已知函数．
(1)若在处有极值，求的值；
(2)当时总是在轴上方，求的取值范围；
(3)写出的零点个数（结论不要求证明）．
21．（本小题15分）
对于无穷数列、，，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中、分别表示中的最大项和最小项．已知数列的前项和为，数列是数列的“收缩数列”．
(1)写出数列的“收缩数列”；
(2)证明：数列的“收缩数列”仍是；
(3)若,求所有满足该条件的数列．
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.【解析】B设等差数列的公差为，则，
所以.
故选：B
2.【解析】A
由可得或，解得或，
故选：A
3.【解析】B
依题意，，则，
所以曲线在点处的切线的斜率是3
故选：B
4.【解析】A
因为为等比数列且通项公式为，
所以公比，
故选：A.
5.【解析】D
依题意可知，有两类衣服可选，
第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择；
第二类：选择连衣裙，共有中选择；
所以共有种选择.
故选：D
6.【解析】A
依次作出在处的切线，
如图所示．根据图形中切线的斜率可知．
故选：A．

7.【解析】A
设，则，
令，所以函数在上单调递增.
当时，则，即，充分性成立；
当时，有，得，
所以不一定成立，即必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
8.【解析】C ，令，得，
令，
若函数在上单调递减，则，
当时，，
则，
所以.
故选：C
9.【解析】B.因为，所以，所以，即，
因此在数列中，最小，所以最大。
故选：B.
10.【解析】D.
函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率；所以
对于A：因为是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增，
所以设，则，此时为常数，即任意两点的割线的斜率为常数，故A错误；
对于B：设，
由图象可知，
当时，随增大，点与点连线的割线斜率越来越大，即单调递增，但在不是单调函数，故B错误；
对于C：因为对于任意实数存在实数，使得，说明为有界函数，但割线的斜率不一定有界
当时，趋于正无穷，故C错误；
对于D：因为函数满足：当时，，
即，
因为，，所以；
同理，当时，，
即，
因为，，所以；
所以为的最小值，故D正确；
故选：D.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 【解析】24.
由题设，二项式展开式通项为，，
令，则，即的系数等于24.
故答案为：24.
12.【解析】
由，可得，
由题意得：，解得：，
故答案为：
13.【解析】2046.
因为，所以，
，，
，，
则的前10项和为.
故答案为：2046.
14.【解析】 ①. ； ②.
第一空：若，则，当时，由解得，则；
当时，由，解得，则；综上可得不等式的解集为；
第二空：恰有两个零点等价于和的实数根的个数为2.
当时，显然无解；解得（舍去），也无解，不合题意；
当时，显然无解；的判别式，设的两根为，
则，显然两根一正一负，即有1个实根，不合题意；
当时，令的对称轴为，则在单减，则，则无解；
，显然时不成立，则，令，则，显然在上单减，在单增，
则，又，，则时，有2个根，即恰有两个零点；
综上：.
故答案为：；.
15.【解析】①②④①：因为，所以，故①正确；
②：因为，
所以，故②正确；
③：由可得，
由可得，
由可得，而，
设存在非零常数，使得，
当时，由于，可得或3或4等等，不是常数，
所以不存在非零常数，使得，故③错误；
④：当时，，
因为，即时，有相邻两项的和为零，即有接下来个项和为零；
，
即时，有相邻2项的和与相邻4项和为零，
即有接下来个项和为零；
总结发现规律为：当时，即有接下来的项和为零，
所以，故④正确；
故选：①②④.
解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.【解析】( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)因为函数的图象过点，所以①．
又，，所以②，
由①②解得，．
( = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II)由（1）知，
设所求切线在曲线上的切点为，则，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，
可得，
，
，解得，
所以切点为，切线方程为．
故曲线过点的切线方程为．
17．【解析】 ( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且．
依题意得，解得，所以或．
又因为，所以，所以，
故，．
( = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II)
=
（18）【解析】( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)依题意，函数的定义域为，
∴，．
当时，在上恒成立，
即函数在上单调递增；
当时，令，则；
令，则；令，则，
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，函数单调递增区间为，无单调递减区间
当时，函数单调递增区间为；单调递减区间．
( = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II)若，由（1）可知，函数在上单调递增，不存在最大值，与题意不符，
∴，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴若要使得函数在上存在最大值，则，即，
且此时最大值为．
令，解得，
∴的值为．
19.【解析】( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)所以，时，
所以
( = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II)因为，则，则，
又，
所以是以为首项，1为公差的等差数列.
( = 3 \* ROMAN \* MERGEFORMAT III)由( = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II)可得，
所以，
所以，
则，
所以
，
所以.
20.【解析】（Ⅰ）
所以. 经检验知时在处取得极小值.
（Ⅱ）由，
当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；
当时，令，则，
若，则，在上递减；
若，则，在上递增；
要使对恒成立，
所以，只需，
令且，则，即递减，
所以，故在上不存在；
综上，当时总是在轴上方时，.
（Ⅲ）当时,1个
当时，2个
21．【解析】：（Ⅰ）由可得为递增数列，所以，
所以．
（Ⅱ）因为，
，所以，
所以．
又因为，所以，
所以的“收缩数列”仍是．
（Ⅲ）由可得
当时，；
当时，，即，所以；
当时，，即（*），
若，则，所以由（*）可得，与矛盾；
若，则，所以由（*）可得，
所以与同号，这与矛盾；
若，则，由（*）可得.
猜想：满足的数列是：
．．
经验证，左式，
右式.
下面证明其它数列都不满足题设条件.
由上述时的情况可知，时，是成立的.
假设是首次不符合的项，则，
由题设条件可得（*），
若，则由（*）式化简可得与矛盾；
若，则，所以由（*）可得
所以与同号，这与矛盾；
所以，则，所以由（*）化简可得.
这与假设矛盾.
所以，所有满足该条件的数列的通项公式为，．