四川省绵阳市2023-2024学年高二下学期期末教学质量测试数学试题（解析版）

这是一份四川省绵阳市2023-2024学年高二下学期期末教学质量测试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了考试结束后将答题卡收回等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案;非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.考试结束后将答题卡收回.
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知首项为的数列，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意，又，
所以，
所以，，
故选：A.
2. 已知，则（ ）
A. 32B. 64C. 127D. 128
【答案】D
【解析】因为，
令可得.
故选：D
3. 现有名学生，每人从四大名著《水浒传》，《三国演义》，《西游记》，《红楼梦》中选择一种进行阅读，每人选择互不影响，则不同的选择方式有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】B
【解析】每人从四大名著《水浒传》，《三国演义》，《西游记》，《红楼梦》中选择一种进行阅读有种选择，
根据分步计数原理可知，名学生进行选择，共有种选择方式，
故选：B.
4. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A. 32B. 64
C. 84D. 108
【答案】C
【解析】因为，
又，即，解得，
所以
故选：C
5. 已知为函数fx的导函数，如图所示，则的大致图象为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以单调递增，B选项错误；
又因为f'x在单调递减，可以得出的切线斜率逐渐变小，A,C选项错误；D选项正确.
故选：D.
6. 某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】赞成栽种乙树木的人数设为X，则.
根据二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙树木的概率为.
故选：D.
7. 某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有（ ）
A. 48种B. 36种C. 24种D. 18种
【答案】B
【解析】因为甲乙两名同学要求同时去同一家公司实习，先安排甲乙，从三家公司中选一家公司共有3种选法；
剩下3人分两类：第一类三个人去三个公司，一家公司一个人，共有种安排方法；第二类三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，必有两个人去一家公司，所以共有种安排方法；
所以共有不同的安排方案有种，
故选：B.
8. 已知函数，图象与x轴至少有一个公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】当时，若，显然，否则若，就有，矛盾，
所以，而函数的值域为，
所以若方程有解，则的范围为，
当时，若，则，
设，则，
当时，，当时，，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，，当时，，
而，
从而的值域为，
而至少有一个零点，所以所求范围即.故选：C.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 庚续绵延鱼水情，军民携手谱新篇，绵阳市开展双拥百日宣传活动.某中学向全校学生征集“拥军优属，拥政爱民”主题作文，共收到500篇作品，由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于分为优秀，若征文得分（单位:分）近似服从正态分布，且及格率为，则下列说法正确的是（ ）
A. 随机取1篇征文，则评分在内的概率为
B. 已知优秀率为，则
C. 越大，的值越小.
D. 越小，评分在的概率越大
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意可知，，由对称性可知，
，故A正确；
对于B，由题意可知，，
因为，所以，故B正确；
对于C，因为是该正态分布图象的对称轴，所以，
不会随的变化而变化，故C错误；
对于D，由对正态分布图象的影响可知，越小，图象越“瘦高”，
因此在区间对应图象的面积变大，所以评分在的概率越大，
故D正确；
故选：ABD.
10. 已知、分别为随机事件、的对立事件，，， 则下列结论一定成立的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D.
【答案】CD
【解析】对于A：因为，，
若，则，所以，则，
但是不一定为，即不一定为，所以A错误；
对于B：，
故B错误；
对于C：因为，所以，
所以，故C正确；
对于D：因为，，所以，
所以，即，故D正确；
故选：CD
11. 已知数列an的前项和为，首项， 且满足
， 下列结论正确的（ ）
A. B. 数列是等比数列
C. D.
【答案】ABC
【解析】因为，
所以当为偶数时，，
当为奇数时，，
对于选项A，因为，所以，，
故选项A正确，
对于选项B，当，因为
，
得到，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故选项B正确，
对于选项C，由选项B可得，即，
所以，故选项C正确，
对于选项D，因为，由选项C知，
得到，所以选项D错误，
故选：ABC.
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 展开式中的常数项为_______.
【答案】
【解析】展开式的通项公式为
，
令，，
故答案为：.
13. 已知随机变量的分布列如表:
若，则___
【答案】
【解析】依题意，解得，
所以，
所以，则.
故答案为：
14. 若存在非负实数满足 （e为自然对数的底数），则的值为_________.
【答案】4
【解析】由题意，，两边同时取以为底的对数，
得，可得，
因为都是非负实数，
所以，
当且仅当时取等号，所以，
所以，，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即，
又，所以，
此时，又，可得，
所以.
故答案为：.
四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 2024年7月将在法国巴黎举行第33届夏季奥林匹克运动会，首次把霹雳舞、冲浪、滑板和竞技攀岩列入比赛项目，其中霹虏舞是一种节奏感强烈、动作炫酷的舞蹈.已知某校高一年级有2名女生1名男生、高二年级有1名女生3名男生擅长霹雳舞，实力相当，学校随机从中选取4人组建校队参加市级比赛、设校队中女生人数为X.
（1）求校队中至少有2名高二年级同学的选法有多少种?
（2）求X的分布列及均值.
解：（1）高二年级至少2名同学入选校队包括以下情况：
高二年级仅2名同学入选校队有种；
高二年级仅3名同学入选校队有种；
高二年级4名同学入选校队有种；
高二年级至少2名同学入选校队共有18+12+1=31种选法．
（2）由题意可知，随机变量X的取值为0，1，2，3，
校队由0个女生4个男生组成时，，
校队由1个女生3个男生组成时，，
校队由2个女生2个男生组成时，，
校队由3个女生1个男生组成时，，
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的均值为：．
16. 已知函数.
（1）讨论fx的极值点；
（2）当时，是否存在实数a，使得fx在区间的最小值为0，且最大值为1?若存在，求出a的所有值；若不存在，请说明理由.
解：（1），
令，
则x1=a3，，
①当a=0时，，
所以为增函数，故无极值点；
②当a>0时，当x变化时，及变化如下表：
由此表可知的极值小点为，其极大值点−a；
③当a0时，的极值小点为，极大值点
−a；当a1时，
∴0,1上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
∴的最大值为，且当趋于时趋于，
依题意与无交点，所以，
∴要使在定义域上无零点，则．
（3）因为，
所以问题转化为在区间有解，
令，即，
则
①当时，，∴时，，在上单调递减，
此时，，不符合题意；
②当时，
∴时，，在上单调递减，
∴，即时，，符合题意；
③当时，
∴时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减，
∴，，符合题意；
综上所述，．
19. 已知新同学小王每天中午会在自己学校提供的A、B两家餐厅中选择就餐，小王第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐、如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如此往复.
（1）求小王第2天中午去A餐厅用餐的概率;
（2）求小王第i天中午去B餐厅用餐的概率；
（3）已知:若随机变量服从两点分布，且，则.记前n次（即从第1次到第n次午餐）中小王去B餐厅用午餐的次数为Y，求.
解：（1）设事件：第天中午去A餐厅用餐，
事件：第i天中午去B餐厅用餐，其中，
则小王第2天中午去A餐厅用餐的概率为：.
（2）设，依题可知，，，
∵如果小王第1天中午去A餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.8，
即，而，
∴，
∵如果第1天中午去B餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.4，
∴.
由全概率公式可知，即，
∴，而，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，即；
（3）设王某第天去B餐厅的次数为，则的所有可能取值为0，1，
当时表示王某第天没去B餐厅，当时表示王某第i天去B餐厅，
∵，，
∴，
∵，，
∴当 时，，
故.
1
2
X
0
1
2
3
P
x
−a
+
0
−
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
x
−a
+
0
−
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增