山东省济宁市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份山东省济宁市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了1B， 若，则， 已知，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则的元素个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】，
.
故选：D.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】命题“”的否定是.
故选：B.
3. 已知随机变量，若，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
【答案】C
【解析】.
故选：C.
4. 用5种不同的颜色对如图所示的四个区域进行涂色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A. 60种B. 120种C. 180种D. 240种
【答案】C
【解析】先对区域涂色有5种选择，
再对涂色有4种选择，
继续对涂色有3种选择，
最后对涂色还是有3种选择，
由乘法原理可知，总共有种涂色方法.
故选：C.
5.已知定义在上的偶函数,若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为对于任意不等实数都满足，
即当时，；时，
故在区间上单调递增.
因为是定义在上的偶函数，则，
所以不等式，
又，由在区间上单调递增.
则，即，解得，或，
故选：D.
6. 已知两个变是和之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组样本数据，利用最小二乘法求得的回归方程是，其相关系数是.由于某种原因，其中一个数据丢失，将其记为，具体数据如下表所示：
若去掉数据后，剩下的数据也成线性相关关系，其相关系数是，则（ ）
A. B.
C. D. 的大小关系无法确定
【答案】A
【解析】由表中数据可得，
由样本中心点在回归直线上，
得，解得，
故去掉的一组数据恰为样本中心点，
故新样本数据的平均值没有变化，即仍然成立，
由相关系数公式可知，则
故选：A.
7. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题函数在上单调递减且的对称轴为，
所以；
因为函数在上单调递减且的导函数为，
所以,
即在上恒成立；
所以，，则，
所以当时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故；
将代入得，代入得，
所以若函数在上是减函数，则有，
解得.
故选：D.
8. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，，得，
，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，即.
设，，则，得，
当，，单调递减，当，，单调递减，
所以当时，函数取得最小值0，
所以，
即（当且仅当时等号成立）
所以，所以，所以
所以.
故选：A
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则的最小值为9
D. 若，则的最大值为
【答案】BD
【解析】对于A，如果，则，故A错误；
对于B，作差比较大小，,由于，
则，则,即，故B正确.
对于C, ，
当且仅当,即取等号，故C错误.
对于D, 由于，则，
即，
则,即，，，当且仅当取等号，故D正确.
故选：BD.
10. 已知函数的定义域为，满足.当时，，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 是奇函数
C. 在上单调递减
D.
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，所以的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，因为，所以，
且注意到函数的定义域为，所以是偶函数；
对于C，因为时，所以，，
所以
，
所以在上单调递减，故C正确；
对于D，因为，所以函数的周期是4，
而
，
所以，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 移动6次后质点位于原点O的概率最大
【答案】ABD
【解析】设随机变量表示“移动次后质点向右移动的次数”，
则，
由题意知，即.
对于A：，A正确；
对于B：，B正确；
对于C：，C错误；
对于D：的所有可能取值有，
，
当时，最大，最大，D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数为幂函数，且在区间上单调递减，则实
__________.
【答案】
【解析】由题意得，，
解得，
故答案为：-1
13. 现有6位同学报名参加学校的足球､篮球等5个不同的社团活动，每位同学只能参加一个社团，且每个社团都要有同学参加，在小华报名参加足球社团的条件下，有两名同学参加足球社团的概率为__________.
【答案】
【解析】设事件为小华报名参加足球社团，事件为两名同学参加足球社团，
则.
故答案：
14. 已知分别是函数和图象上的动点，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】当函数在点处的切线与的图象平行时，则此时的最小值为点到直线的距离，
，令，则，
所以单调递增，而，，
所以存在唯一的，，且使得，
所以，即，，
所以，
点到直线的距离为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 为了解高二､1班学生数学建模能力的总体水平，王老师组织该班的50名学生（其中男生24人，女生26人）参加数学建模能力竞赛活动.
（1）若将成绩在80分以上的学生定义为“有潜力的学生”，统计得到如下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该班学生的数学建模能力与性别有关联？
（2）现从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人作进一步的调研，记随机变量为这3人中男生的人数，求的分布列和数学期望.
附：.
解：（1）零假设为：该班学生的数学建模能力与性别无关，
因为，
所以，依据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明推断不成立，
因此可以认为成立，即该班学生的数学建模能力与性别无关.
（2）从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，其中男生有3人女生有2人，
则随机变量服从超几何分布，可能取.
，
，
.
则的分布列为
所以.
16. 在的展开式中，第3项与第10项的二项式系数相等.
（1）求的展开式中的常数项；
（2）若，求.
解：（1）因为，所以.
所以
所以的展开式中的常数项为
.
（2）因为，令得.
二项式两边求导，得到
令得.
所以.
17. 已知定义在上的函数满足，且当时，.
（1）求在上的解析式；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，
所以，
所以当时，，
又当时，，
所以；
（2）因为，
所以在上为增函数，
又，所以，即，
设，
则，
令得；令得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
故，
所以，即实数的取值范围为.
18. 已知甲､乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答形式进行，共有7道题，抢到并回答正确者得1分，答错则对方得1分，当其中一人得分领先另一人3分或7道题全部答完时比赛结束.甲､乙两人抢到每道题的概率都是，甲正确回答每道题的概率均为，乙正确回答每道题的概率均为，且两人每道题是否回答正确均相互独立.
（1）求答完前两道题后两人各得1分的概率；
（2）设随机变量为比赛结束时两人的答题总个数，求的分布列和数学期望.
解：（1）由题意可知，每道题都要抢题与答题，每人得分有两种情况，“本人抢到且答对”与“对方抢到且答错”.
设“第道题甲得1分”，
“第道题乙得1分”，
“答完前两道题后两人各得1分”，则,
则事件与为对立事件，与相互独立，与与互斥，
所以，
，
.
（2）随机变量的取值为.
，
，
.
所以随机变量的分布列为
所以.
19. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的值；
（3）在（2）的条件下，证明：.
解：（1）函数的定义域为，又，
①当时，在上单调递增.
②当时，令得；令得
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）①当时，在上单调递增，又，
所以当时，，所以不恒成立.
②当时，在上单调递减，在上单调递增.
所以的最小值为，
因为恒成立，所以只要，
设，则，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即（当且仅当时等号成立），所以当且仅当时，，
所以.
（3）由（2）可知，，
设，下面证明，
所以，令，则，
所以即在上单调递增，
又，，
所以，使得，即，
所以当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
所以，
因为，又在上单调递减，当时，
所以，，
所以，
所以成立.1
2
3
4
5
0.5
0.6
1.4
1.5
没有潜力
有潜力
合计
男生
6
18
24
女生
14
12
26
合计
20
30
50
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
2
3
3
5
7