安徽省六安市霍邱县2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份安徽省六安市霍邱县2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，四象限等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 用两块完全相同的长方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】从物体正面看，左边1列、右边1列上下各一个正方形，且左右正方形中间是虚线，故选C.
2. 如图，是由边长为个单位长度的小正方形组成的的网格，其中有一“心形”图案．数学小组为了探究“心形”图案的面积，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
根据表中的数据，估计“心形”图案的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在附近，
∴估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为，
∴估计“心形”图案的面积为，
故选：．
3. 已知反比例函数，则下列结论不正确的是（ ）
A. 反比例函数的图象分别位于第二、四象限
B. 图象关于原点成中心对称
C. 若、为函数图象上两点，且则
D. 图象关于直线成轴对称
【答案】C
【解析】、∵反比例函数，
∴反比例函数的图象分别位于第二、四象限，原选项正确，不符合题意；
、图象关于原点成中心对称，原选项正确，不符合题意；
、若、为函数图象上两点，当，则，当，则；当，则，原选项不正确，符合题意；
、图象关于直线成轴对称，原选项正确，不符合题意；
故选：．
4. 如图，格点的顶点放置在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，连接，
由网格可知，，，
∴，∴，
∴，
故选：．
5. 如图，是的直径，C，D是上的两点，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，连接，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∴，
故选A．

6. 关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ）
A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】B
【解析】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴△=，
解得：sin α=，
∵α为锐角，
∴α=30°．
故选B．
7. 如图，在中，点在边上，，连接交于点，则与的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，设，，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，即，
∴，
∴，
故选：．
8. 如图，在菱形中，，，点从点出发，沿运动，过点作直线的垂线，垂足为点，设点运动的路程为，的面积为，则下列图象能正确反映与之间的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴当点到点时，；当到点时，；当到点时，，
当点在上，即时，如下图所示
此时，
∴，，
∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分；
当点在上，即时，如下图所示，过点作于，
此时，，
∴四边形为矩形，
在中，，，
∴，，
∴，
∴，此时图象为逐渐上升的一条线段；
当点在上，即时，如下图所示，
此时，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分；
综上：符合题意的图象为，
故选：．
9. 二次函数的图象如图所示，则下列结论中：
；；当时，；对于任意实数m，则有，正确的个数是（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】D
【解析】∵抛物线开口方向向上，
∴，
∵抛物线对称轴位于轴右侧，
∴、异号，即，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，故正确；
∵抛物线对称轴为直线，
∴，即，故正确；
由得抛物线对称轴为直线，
根据图象可知：抛物线与轴的一个交点为，
∴抛物线与轴的一个交点为，
∴当时，，故正确；
∵抛物线对称轴为直线，
∴函数的最小值为，
∴当为任意实数时，有，故正确；
综上所述，正确的有，共个，
故选：．
10. 如图，矩形中，，E为的中点，F为上一动点，P为中点，连接，则的最小值是（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】如图：
当点F与点C重合时，点P在处，
当点F与点E重合时，点P在处，
且，
当点F在上除点C、E的位置处时，有，
由中位线定理可知：且，
∴点P的运动轨迹是线段，
∴当时，取得最小值，
∵矩形中，，E为的中点，
为等腰直角三角形，，
，，
，
，
即，
∴的最小值为的长，
在等腰直角中，，
，
∴的最小值是，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若，则=______
【答案】
【解析】，即，即，即．
12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，，顶点的坐标为．反比例数的图象与菱形对角线交于点，连结，当轴时，的值是_________
【答案】
【解析】如图，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵点的坐标为，
∴，
在中，，
则，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵轴，
∴，则为直角三角形，
则，
∴，
∴点的坐标为，
∵点在反比例数的图象上，
∴，
故答案为：．
13. 如图，是直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是_______．

【答案】2
【解析】∵，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∵是的直径，
∴，，
∴，
故答案为：2．
14. 已知与是抛物线上的两点，且．
（1）若，则与的大小关系是_____________；
（2）当与恰好是直线与抛物线两个交点时，若，则a的取值范围是_____________．
【答案】 且
【解析】（1）∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
∴，
故答案为：；
（2）联立得，
解得或，
∴，
∵，
∴，
∴且，
故答案为：且．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
解：
．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的图形；
（2）以点为位似中心，在原点的异侧画出与位似，且位似比为的位似图形，并写出点的坐标；
（3）若点为边上的一点，写出经过第（），（）两题的变换后对应点的坐标．
解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求，；
（3）经过（）题变换后点的对应点的坐标为，经过（）题变换后的对应点坐标为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在中，延长至点，使，连接，，．若平分，求证：四边形为菱形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
18. 如图为某地下停车库的出入口坡道示意图，其中，，．为张贴限高标志以确保车辆安全驶入，请你根据该图提供的数据计算．（参考数据：，，，答案精确到）
解：∵，，
∴，，
∴中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴的长为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至处，水沿射线方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与直线交于，两点，与直线交于，两点，恰有，连接，．求证：
（1）；
（2）为的切线．
证明：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，连接，延长交于点，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线．
20. 年春节联欢晚会吉祥物“已升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红．
（1）据统计某“已升升”电商平台年月份的销售量是万件，年月份的销售量是万件，若月平均增长率相同，求月平均增长率；
（2）某实体店“已升升”的进价为每件元，若售价定为每件元，则每天能销售件．经市场调查发现，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利元，则售价应降低多少元？
解：（1）设月平均增长率为，
由题意得，，
解得：，（不合题意，舍去），
答：月平均增长率为；
（2）设售价应降低元，
由题意得，，
整理得：，
解得：，，
∵尽量减少库存，
∴，
答：售价应降低元．
六、（本大题共1小题，每小题10分，满分10分）
21. 为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图．
（1）若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______；
（2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为______度；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率．
解：（1）将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第3和第4的为162和162，
该组数据的中位数是．
该组数据中出现次数最多的为162，
该组数据的众数为162．
故答案为：162；162．
（2）全校的男生人数为（人，
选择项目的男生共有（人．
扇形统计图中项目所占圆的圆心角为．
故答案为：175；108．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
甲和乙同学同时被选中的概率为．
七、（本大题共1小题，每小题10分，满分10分）
22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为，轴，垂足为点．
（1）求出点，，的坐标；
（2）若点是反比例函数图象上的一个动点且位于点右侧，连接，过点作轴，垂足为点．是否存在这样的点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，
∴当时，；当时，；当时，；
∴，，；
（2）∵在反比例函数的图象上，
∴，∴反比例函数解析式为，
∵，∴，
当时，
设，∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，
当时，∴，
解得：， （不符合题意，舍去），
∴，∴，
综上：或．
八、（本大题共1小题，每小题10分，满分10分）
23. 如图，直线与轴、轴分别交于点与点，抛物线经过点，在线段上有一动点，点不与点，重合，过点作轴的垂线分别交直线于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当点是的中点时，求的值；
（3）过点作，垂足为点，当点坐标为多少时，线段的长最大，最大值为多少？
解：（1）由得，当时，，当时，，
∴，，
∵抛物线经过点，
∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）如图，当时，，，
∴，，
∵点是的中点时，
∴，
∴，整理得：，
解得：，，
∵点不与点，重合，
∴；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（）知，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，
此时，
∴．试验总次数
落在“心形线”内部的次数
落在“心形线”内部的频率