高一数学第三次月考卷（上海专用，测试范围：沪教版2020必修第二册第六~八章）-2024-2025学年高中下学期第三次月考

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一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）
1． 2． 3． 4． 5． / 6． /
7． / 8． 9． /0.4 10． 11． 12．
二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正
确选项)
13 14 15 16
A C C A
三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、21 题每题 18 分.)
17．（1）由正弦定理和 ，可得 ，不妨设 ，则 ，
由余弦定理， ， (4 分)
故 ，则 . (6 分)
（2）因 ， ，且 的面积为 ，
由 ，可得 ，
因 ，故 或 . (8 分)
当 时，由余弦定理， ； (11 分)
当 时，由余弦定理， .
故 的值为 或 . (14 分)
18．（1）函数
函数 的最小正周期为 ， (3 分)
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因为 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，
所以函数 的最小值为 ，
所以 ，解得 ，
所以 . (6 分)
（2）由 ，知 ，
因为 ，所以 ，
由于 在区间 上恰有两个不同解，所以 ，即 . (14 分)
19．（1）在 中， ， ，
， ，其中 .
在 中， ， ，
， ，
.
∴矩形 的面积为
. (4 分)
当 时， ，
即矩形 的面积 为 . (6 分)
（2）由（1）知：矩形 的面积为 ，其中 .
， (8 分)
∴当 ，即 时， 取得最大值，最大值为 . (14 分)
20．（1） ， (4 分)
（2） ，理由如下：
由（1）可知 ，又 ， ，
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所以 ，
因为点 是 重心，
所以 ，
而 ， 不共线，所以 ，解得 ，
所以 ； (10 分)
（3） ，
由（2）知 ，
所以 ，
由点 、 分别是边 、 上的动点， 为重心且 、 、 三点共线，
所以 ， ，则 ，
设 ，则 ， ，
因为当 时，函数单调递减，当 时，函数单调递增，
当 时，即 ， ， 有最小值，最小值为 ，
时，即 ， ， ，当 时，即 ， ， ，
所以 的最大值为 ，
所以 . (18 分)
21．（1）令 ， ，则 ，
所以 是“2 级周天函数”；
，不对任意 x 都成立，
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所以 不是“2 级周天函数”； (4 分)
（2）令 ， ， ，则
所以 是“3 级周天函数”； (10 分)
（3）对其进行分类讨论：
1°若 ，则 ，此时取 ，则 ；
2°若 ，采用反证法，若不存在 ，使得 ，则 恒成立，
由（2）可知 是“3 级周天函数”，
所以 ，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
再由 恒成立，
所以 ，
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进而可得 ，这与 b，c，d 是不全为 0 矛盾，
故存在 ，使得 ；
3°若 ，由 ， ，
得 ，
所以存在 ，使得 ，
所以命题成立. (18 分)
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