福建省泉州市鲤城区2023−2024学年高三下学期5月联考 数学试卷（含解析）

这是一份福建省泉州市鲤城区2023−2024学年高三下学期5月联考 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若全集是实数集，集合，，则如图阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．若（，2，3，…，n），则数据组和，（ ）
A．有相同的平均数B．有相同的中位数
C．有相同的方差D．有相同的众数
3．若复数z满足，则z的一个可能值是（ ）
A．B．C．D．
4．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．若平面向量，满足，且时，取得最小值，则（ ）
A．0B．C．D．
6．已知是圆锥的轴截面，点C在SA上，且.若过点C且平行于SB的平面恰过点，且该平面与圆锥底面所成的二面角等于，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．若函数，，则（ ）
A．函数，的图象关于直线对称
B．，使得
C．若，则
D．若，则
8．若坐标满足方程的点的轨迹为曲线C，则以下结论不成立的是（ ）
A．曲线C关于原点对称B．
C．D．曲线C上的点与原点之间距离的最大值为1
二、多选题（本大题共3小题）
9．若函数，则（ ）
A．若，则既是奇函数，也是偶函数
B．若为奇函数，则
C．若，则存在两个不同的零点
D．若的定义域为R，则
10．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（ ）
A．C的方程为
B．C的离心率为2
C．若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为
D．若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为
11．已知随机变量X的分布列如下：
若数列是等差数列，则（ ）
A．若n为奇数，则B．
C．若数列单调递增，则D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，则 .（用含n的式子表示）
13．若将正方体绕着棱AB旋转后，CD所在位置为的位置，则直线和平面所成的角为 .
14．若过抛物线C：的焦点F，且斜率为的直线交C于点和，交C的准线于点，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，棱柱中，侧棱底面，，E，F分别为和的中点.
(1)求证：平面；
(2)设，在平面上是否存在点P，使？若存在，指出P点的位置：若不存，请说明理由.
16．已知函数（且）.
(1)若，求a；
(2)若，且对于任意，在区间上总存在极值，求的取值范围.
17．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，.
(1)写出命题p：“已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，.若，则是直角三角形”的逆命题q，并判断逆命题q的真假；
(2)若外的点D满足，，求面积的最大值.
18．测试发现，某位惯用脚为右脚的足球球员甲在罚点球时，踢向球门左侧、中间和右侧的概率分别为0.5，0.1和0.4，并且，踢向左侧、中间和右侧时分别有0.1，0.2和0.2的概率踢飞或踢偏（没有射正）.守门员在扑点球一般会提前猜测方向.测试发现，某位守门员乙在扑点球时猜右侧（即足球运动员甲在罚点球时，踢向球门左侧）、中间和左侧（即足球运动员甲在罚点球时，踢向球门右侧）的概率分别为0.6，0.1和0.3.当他猜中方向为左侧或者右侧来时扑出点球的概率均为0.5，当他猜中方向为中间时，扑出点球的的概率为0.8.
(1)求球员甲面对守门员乙时，第1次罚点球罚丢的概率；
(2)若球员甲在上一轮罚丢点球，则下一轮面对球员甲罚点球时，守门员乙的信心将会激增，在猜中方向的前提下，所有方向扑出点球概率都会在原来的基础上增加0.1；若球员甲在上一轮罚进点球，守门员乙将会变得着急，会有0.2的概率提前移动，在守门员乙提前移动的情况下，若球员甲罚丢点球，则可获得重罚机会.已知守门员乙提前移动时扑出三个方向点球的概率均会增加0.1.假定因为守门员乙提前移动球员甲重罚点球仍属于第二轮，且重罚时守门员乙不再提前移动.
（i）求球员甲第二轮罚进点球的概率；
（ii）设为球员甲在第k轮罚进点球的概率，若满足对于，，直接写出符合题意的.（注：最终结果均保留两位小数.）
19．在相同的介质中，人们肉眼看到的光线总是呈直线运动的.由于光在不同的介质中的传播速度不同，因此在不同的介质中光会发生折射现象.在如图所示的平面直角坐标平面中，光在介质Ⅰ内点以入射角，速度在介质1内传播至轴上的点，而后以折射角，速度v在介质Ⅱ内传播至点.
(1)将光从点A传播到点B的所需的时间关于x的函数的解析式；
(2)费尔马认为：光总是沿着最节省时间的路线传播，设点B在x轴上的射影为C.根据费尔马的结论，解决以下问题：
（i）证明：.
（ii）若，，，求光线从点A传播到点B所经过路程的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【详解】∵全集是实数集，集合，
∴，
∴故图中阴影部分所表示的集合为集合去掉中的元素,即.
故选：A.
2．【答案】C
【详解】由（，4，3，…，n），得的平均数、中位数和众数
都相应地比数据组的平均数、中位数和众数大4，ABD错误；
数据组与数据组相对于各自平均数的波动大小不变，
因此两个数据组的方差相同，C正确.
故选：C
3．【答案】B
【详解】设，则，
由，得，即，整理得，
显然选项ACD不满足要求，B符合要求.
故选：B
4．【答案】D
【详解】由，得，
，整理得，
即，由，得，
所以.
故选：D
5．【答案】B
【详解】设，，则为直线OB上的点C与点A之间的距离，
由时，取得最小值，得C为线段OB的中点且，
由于，所以.
故选：B
6．【答案】C
【详解】

由过点C且平行于SB的平面恰过点O，知，根据二面角定义知，
因为O是AB的中点，
所以C是SA的中点，且，
因为，
所以是边长为的等边三角形，
所以圆锥的底面半径为，圆锥的高为
所以该圆锥的体积为.
故选：C.
7．【答案】C
【详解】对A：当时，，恒成立，所以在上单调递增，且增长速度比快，
即的图象在上方；同理的图象也在上方.
所以函数，的图象关于直线对称是不可能的，故A错；
对B：设（），则，（），
设（），则在上恒成立，
所以在单调递增，又，，
所以存在唯一的，使得，即.
当时，单调递减；当时，单调递增.
所以（因为，故不能取“”）.
所以在恒成立，故B错；
对C：因为，.
因为在上单调递增，所以，故C正确；
对D：由，由的单调性，只有一解，且，所以.
由，由的单调性，只有一解，且，所以.
所以.故D错.
8．【答案】D
【详解】对于A，曲线上任意点，显然成立，
即点在曲线C上，因此曲线C关于原点对称，A正确；
对于B，由，得，因此，即，B正确；
对于C，令，由消去得，
则有，解得，C正确；
对于D，令，得，解得或，显然点在曲线C上，
点到原点距离，D错误.
故选：D
9．【答案】BCD
【详解】对A：时，，由
可得定义域为，不关于原点对称，
故为非奇非偶函数，故A错误；
对B：若为奇函数，
则，对函数定义域中任意成立，
所以，而时，函数定义域为，故B正确；
对于C：当时，由可得，
解得或，故C正确；
对于D：若的定义域为R，则对任意成立，
于是，
当时，由知恒成立，
当时，需恒成立，即恒成立，所以，
综上时即对任意不等式组恒成立，故D正确.
故选：BCD
10．【答案】BC
【详解】对于A，双曲线C：的渐近线方程，则，
于是双曲线C的方程为，A错误；
对于B，双曲线C的离心率，B正确；
对于C，，
，当且仅当点为线段与双曲线上支的交点时取等号，C正确；
对于D，由点 在双曲线上支上，得，，
的周长，
设的内切圆半径为r，则，解得，
因此的内切圆面积为，D错误.
故选：BC
11．【答案】ACD
【详解】由数列是等差数列且，得，所以，
对于A，当n为奇数时，，故A正确；
对于B，由得，故选项B错误；
对于C，若数列单调递增，则可得，故，故选项C正确；
对于D：由，其中，
所以，
因为，，
所以
，故选项D正确.
故选：ACD
12．【答案】
【详解】依题意，，
所以.
故答案为：
13．【答案】/
【详解】如图，由对称性，不妨设点在正方形内，
则为顶角的等腰三角形，，
所以平面与平面的夹角为，旋转后显然与平面垂直，
所以直线和平面所成的角为.
故答案为：.
14．【答案】/
【详解】抛物线C：的焦点为，准线方程为，
设直线AB的方程为，由消去得，
显然，，而，
因此
，
当且仅当，即时取等号，
所以则的最小值为.
故答案为：
15．【答案】(1)证明见解析；
(2)当时，为棱的中点.
【详解】（1）由E，F分别为和的中点，得，
而平面，平面，
所以平面.
（2）棱柱中，侧棱底面，
取AB中点O，中点M，连接，
则，平面，而平面，则有，
又，则，即直线两两垂直，
以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，
则，
假设在平面上存在点P，使，设，
，
，即，显然，
由，得，因此，即，此时，
所以当时，存在唯一的点，即棱的中点，使.
16．【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）当时，，由得：（），所以.
当时，，由得：（），所以.
所以.
（2）时，.
所以，（）.
所以，（）
对于任意，在区间上总存在极值就是：
有两个不相等的实根，且必有一根在区间内.
因为函数是开口向上的二次函数，且，
所以必有：.
由，
设，则在上单调递减，所以，所以，
由.
综上可知：.
所以，所求的取值范围是：
17．【答案】(1)逆命题q见解析，假命题；
(2).
【详解】（1）逆命题q为：已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，
若是直角三角形，则.
命题q的为假命题，理由如下：
由为直角三角形，且，得或，而，
当时，，当时，，
因此逆命题q是假命题.
（2）由于外的点D满足，而，则四点共圆，
由，得，且，设，则，
在中，由正弦定理得外接圆直径，，
在中，，
在中，，
则的面积
，
显然，，因此当时，，
所以面积的最大值为.
18．【答案】(1)0.34；
(2)（i）0.67；（ii）.
【详解】（1）设球员甲罚点球时，踢向左侧、中间、右侧的事件分别为，
球员甲踢飞或踢偏（没有射正）的事件为D，守门员乙在扑点球时扑向右侧、中间、左侧的事件分别为，
守门员乙扑出点球的事件为E，
则，，
，
设球员甲第1次罚点球罚丢的事件为F，则为互斥事件，
则
.
（2）（i）当球员甲在上一轮罚丢点球时，守门员乙所有方向扑出点球的概率都增加0.1，
或者守门员乙提前移动时，所有方向扑出点球的也增加0.1，因此球员甲第二轮罚进点球包含以下4个互斥事件：
①第一轮罚进，第二轮守门员乙未提前移动且罚进，概率为；
②第一轮罚进，第二轮守门员乙提前移动且罚进，此时罚丢点球的概率为
，
此时罚进的点球的概率为；
③第一轮罚进，第二轮守门员乙提前移动未罚进，
此时罚进的概率为；
④第一轮未罚进，第二轮罚进，此时罚进的概率为，
所以第二轮球员甲罚进的概率为.
（ii）.
由（1）及（2）（i）知，，
则第三轮的情况如第二轮时情形，但第二轮罚进点球的概率增加了，
因此第三轮罚进点球的概率比第二轮时要高，从而随的增大而增大，
于是若满足对于，均有，则.
19．【答案】(1)，，
(2)（i）证明过程见解析；（ii）
【详解】（1）由勾股定理得，，
所以，，
（2）（i），
由于在上为增函数，在上为减函数，
故在上为增函数，
又，，
由零点存在性定理得，存在唯一的，使得，
且在上单调递减，在上单调递增，
据此，并运用费尔马的结论，当时，光线所经过的路程最短，
令得，，
故，
又，故；
（ii）当，，时，，
整理得，，
故点的轨迹为长轴长为4，短轴长为的椭圆在坐标轴第四象限的部分，
光线从运动到点所经过的路程为，
其中，代入得
；
故光线从点A传播到点B所经过路程的取值范围为.1
2
3
…
n
…