安徽省A10联盟2025届高三下学期4月质检考 数学试题（含解析）

这是一份安徽省A10联盟2025届高三下学期4月质检考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，若，则实数（ ）
A．1B．C．D．
3．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（ ）
A．120种B．150种C．180种D．300种
6．记为数列的前项和，若为等比数列，则（ ）
A．64B．32C．16D．8
7．已知是双曲线上的任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（ ）
A．-eB．-1C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．一组样本数据如下：47，48，49，50，50，51，52，53，则（ ）
A．该组数据的平均数为50B．该组数据的中位数为50
C．该组数据的方差为3D．该组数据的第80百分位数为51.5
10．已知为坐标原点，，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ）
A．B．当时，
C．可以为D．周长的最小值是11
11．由函数相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”．已知，其优生成函数记为，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．在区间上先增后减
C．的值域为D．在区间上有11个零点
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为 .
13．在棱长为2的正方体中，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
14．已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求周长的最大值．
16．如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值．
17．已知椭圆的短轴长为，且离心率为．
(1)求的方程；
(2)若分别是的左、右顶点，设直线与轴交于点，点是直线上不同于点的一点，直线BQ与交于另一点，直线AM与交于点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．
(1)求该运动员第二次投篮命中的概率；
(2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；
(3)设第次投篮命中的概率为，求证：．
19．已知曲线在点处切线方程为，其中为常数．
(1)①求的值；②证明：只有一个零点．
(2)若函数，且存在正实数，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意得，，所以．
故选B.
2．【答案】C
【详解】由题意得，，
因为，所以，
解得，
故选C.
3．【答案】D
【详解】设，
则，
则．
故选D.
4．【答案】A
【详解】对于A项，若，则或．
对于B，C，D项，显然成立，
故选A.
5．【答案】B
【详解】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2．
当各组人数为1,1,3时，共有种安排方法；
当各组人数为1,2,2时，共有种安排方法，
所以不同的安排方法有种．
故选B.
6．【答案】A
【详解】为等比数列，的首项为，第二项为，
第三项为，
的公比为当时，，
显然当时也符合，
．
故选A.
7．【答案】D
【详解】

如图，由题意，设，则，即．
因为渐近线方程为，所以，
因为，所以.
故选D.
8．【答案】C
【详解】因为，
所以，而，
故，又在定义域上单调递增，则，
于是．
设，则，
当时，，单调递减，
当时，单调递增，
所以．
故选C.
9．【答案】AB
【详解】对于A，平均数为，A正确；
对于B，中位数为，B正确；
对于C，方差为，C错误；
对于D，由，得第80百分位数为52，D错误.
故选AB.
10．【答案】ABD
【详解】设直线AB的解析式为，联立，消去得，
．
由抛物线定义知，，，
当且仅当时等号成立，故A正确；
设点到直线AB的距离为，则，，即，
解得或（负值舍去），
则．故B正确；，故C错误；
由抛物线的定义知，的最小值是点到抛物线准线的距离，的最小值为6，又周长的最小值是11，故D正确．
故选ABD.
11．【答案】ACD
【详解】易知“优生成函数”为，
因为，
所以关于直线对称，故A正确；
显然，
所以是函数的周期，
所以在区间上的单调性与在区间上的单调性相同，
设，则，
求导得，
故在区间上单调递增，故B错误；
由关于对称及是函数的周期知，
只需考查时的值域，
因为，在区间上单调递增，
故当时，．
当时，，
求导得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故当时，，故C正确；
易知在区间上，零点分别为，故D正确．
故选ACD.
12．【答案】
【详解】因为圆上存在两点关于直线对称，
所以直线过圆心，
从而，解得，
则圆的方程为，
故圆的半径为．
13．【答案】
【详解】如图，

为的中点，
平面，
平面平面
平面正方体的棱长为2，
，
，
的外接圆半径为
所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积．
设圆柱的外接球半径为，则
三棱锥的外接球的表面积为．
14．【答案】
【详解】函数的图象关于点中心对称，
不妨设直线AC的方程为，
由，得，
解得或或，
则，
同理可得，
由，得，
即，
即，
即，
令，则这两条直线的斜率之和为．
15．【答案】(1)
(2)9
【详解】（1）由正弦定理及，得，
，
，
．
（2）设的外接圆半径为，
由及正弦定理，
得，
．
由余弦定理得，，
，当且仅当时取等号，，
周长的最大值为9．
16．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）在四棱锥中，，，则，
，在中，，则，
即，于是，由平面，平面，
得，又平面，则平面，又平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知，平面，而平面，则，又，
因此是二面角的平面角，
在中，，则，由是的中点，
得，于是，
所以平面与平面的夹角的正弦值为.
17．【答案】(1)
(2)存在，或
【详解】（1）由题意得，，解得椭圆的方程为．
（2）假设存在点，使得，则．
设，则，
，直线BQ的方程为．
点在直线BQ上，，
点是直线上不同于点的一点，，解得
点在椭圆上，，解得或，
当时，，解得；
当时，，解得，
存在点，使得，点的坐标为或．
18．【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
(3)证明见解析
【详解】（1）设事件“第次投篮命中”，则“第次投篮未命中”，，
易知与是互斥事件，
所以由全概率公式得
该运动员第二次投篮命中的概率为．
（2）由题意得，，
的所有取值为0,1,2，
,
所以的分布列为
……
所以．
（3）由题意得，；
当时，
即，
变形为，所以数列是以为公比的等比数列，
又，于是，
即，所以．
19．【答案】(1)①，；②证明见解析
(2)
【详解】（1）①由题意得，，
则，解得．
易得，则，
因为点在直线上，
所以，解得．
②由①知，，
记，则，
所以在上单调递增，
又，
所以由零点存在定理知，存在唯一零点，使得，
故函数只有一个零点．
（2）因为存在正实数，使得成立，
所以存在正实数，使得成立，
即存在正实数，使得成立．
令，则，
由（1）②知，有唯一解在上单调递增，
所以当时，，当时，，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以．
由，得，即，
即，亦即．
易得在上单调递增，
由，得，所以，即，
所以，
故，即的取值范围为.
0
1
2