江苏省连云港市赣榆区2024-2025学年高一下学期4月期中学业水平质量监测数学试题（A）（原卷版+解析版）

这是一份江苏省连云港市赣榆区2024-2025学年高一下学期4月期中学业水平质量监测数学试题（A）（原卷版+解析版），共18页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 已知向量，，若，则， 已知复数， 已知向量，，等内容，欢迎下载使用。
（本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）
1. 设，若向量，，且，则m的值为（ ）
A. B. C. 4D. 9
2. 设复数，（）.若为实数，则（ ）
A. B. 2C. D. 4
3. 在中，若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等边三角形
4. 在中，C是AB上一点，且，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
5 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，若该船没有触礁危险，则，满足的条件为（ ）
①②③
④
A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）
9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A. z的虚部为
B. 复数z在复平面内对应的点位于第三象限
C. z的共轭复数
D
10. 已知，，是三个非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B 若，则
C. 若，，则
D. 不与垂直
11. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则为直角三角形
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则
D. 若是锐角三角形，则
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 在中，已知，，，则＝__________．
13. 已知，则__________.
14. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，的面积，若且，则______.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知向量，，.
（1）求；
（2）求与夹角.
16. 已知复数（）
（1）若，求实数m的值；
（2）若z为虚数，求实数m的取值范围；
（3）若复数z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
17. 定义向量的“伴随函数”为，函数的“伴随向量”为.
（1）写出向量的伴随函数，并直接写出的最大值M；
（2）求函数的伴随向量的模.
18. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求证：；
（2）若D为BC的中点，，，求AD的长.
19. 非直角三角形ABC中，边长a，b，c满足（，且）
（1）若，且，求的值；
（2）求证：；
（3）是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明，若不存在，请给出一个理由.
2024-2025学年度第二学期期中学业水平质量监测
高一年级数学试题（A）
（本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）
1. 设，若向量，，且，则m的值为（ ）
A. B. C. 4D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量平行得到方程，求出答案.
【详解】由题意得，解得.
故选：D
2. 设复数，（）.若为实数，则（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数除法法则化简，得到，解得.
【详解】，
为实数，故，解得.
故选：B
3. 在中，若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理把已知的等式化边为角，结合两角和的正弦化简，求出，进一步求得，即可得解．
【详解】解：由，结合正弦定理可得：，
，可得：，
，则的形状为等腰三角形．
故选：．
4. 在中，C是AB上一点，且，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】变形得到，故，得到答案.
【详解】，
所以，故.
故选：D
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由余弦和差公式得到方程，求出，利用同角三角函数关系得到答案.
【详解】，
，
联立可得，
所以.
故选：B
6. 已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用投影向量的公式得到方程，求出，从而利用向量数量积运算法则得到答案.
【详解】在向量上的投影向量为，故，
所以，
又，所以，
所以.
故选：C
7. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由求得，再用倍角公式求即可.
【详解】因为，，，
所以，即，
所以，解得或（舍），
所以，
故选：B
8. 一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，若该船没有触礁危险，则，满足的条件为（ ）
①②③
④
A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，过M作于C，结合正弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】
由题意可知，，，过M作于C，
设，根据正弦定理可得，，
又因为x=BM⋅csβ=mcsαcsβsinα-β>n时没有触礁危险，
即，故（1）正确，
mn>sinα-βcsαcsβ=tanα-tanβ，（4）正确，
故选：C
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）
9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A. z的虚部为
B. 复数z在复平面内对应的点位于第三象限
C. z的共轭复数
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，利用复数的乘除运算和乘方运算得到，A正确；B选项，写出z在复平面内对应的点坐标，得到所在象限；C选项，根据共轭复数的定义得到C错误；D选项，利用模长公式得到D正确.
【详解】A选项，，
故虚部为-2，A正确；
B选项，z在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限，B错误；
C选项，z的共轭复数，C错误；
D选项，，D正确.
故选：AD
10. 已知，，是三个非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 不与垂直
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，利用向量数量积公式得到，所以同向共线，A正确；B选项，只能得到，B错误；C选项，得到，，C正确；D选项，计算出，故D错误.
【详解】A选项，，又，，是非零向量，
所以，所以同向共线，A正确；
B选项，若，则，
非零向量，故，故不一定相等，B错误；
C选项，若，，设，
故，，C正确；
D选项，，
与垂直，D错误.
故选：AC
11. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则为直角三角形
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则
D. 若是锐角三角形，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，由正弦定理得到，从而，得到A正确；B选项，由同角三角函数关系，正弦定理和二倍角公式得到，所以或，B错误；C选项，由大角对大边得到，由正弦定理得到；D选项，根据锐角三角形得到，结合正弦函数单调性和诱导公式比较出大小
【详解】A选项，由正弦定理得，
故，
故
，
所以，即，
则为直角三角形，A正确；
B选项，若，则，
由正弦定理得，
又，故，
所以，即，，
所以或，所以或，
为等腰三角形或直角三角形，B错误；
C选项，若，则，
由正弦定理得，又，，
故，C正确；
D选项，若是锐角三角形，则，则，
其中，，
又在上单调递增，
故，故D正确.
故选：ACD
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 在中，已知，，，则＝__________．
【答案】或.
【解析】
【分析】利用正弦定理计算即可.
【详解】由，且根据正弦定理可知，
因为，所以或.
故答案为：或.
13. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
分析】由得到，由两角和差余弦公式展开化简即可求解；
【详解】由，
得：，
，
，
所以，
故答案为：
14. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，的面积，若且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理和化简得到，求出，由三角形面积公式得到，由余弦定理得到方程，求出，舍去不合要求 的解，由正弦定理得到
【详解】，故，
又，
故，
所以，
因为，所以，故，，
因为，所以，
由三角形面积公式得，
又，故，所以，
由余弦定理得，
即，所以，
方程两边同除以得，
解得，
又，故，
所以满足要求，舍去，
故.
故答案为：
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知向量，，.
（1）求；
（2）求与的夹角.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）求出，利用向量数量积运算法则得到，故，求出模长；
（2）利用向量夹角余弦公式得到，得到.
小问1详解】
，
故，
故，解得，
故，
所以；
【小问2详解】
，
又，故.
16. 已知复数（）
（1）若，求实数m的值；
（2）若z为虚数，求实数m的取值范围；
（3）若复数z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
【答案】（1）-1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据得到为实数，从而得到方程和不等式，求出答案；
（2）由求出答案；
（3）根据第四象限的坐标特征得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
，故为实数，
，解得；
【小问2详解】
z为虚数，故，所以；
【小问3详解】
由题意得，解得
17. 定义向量的“伴随函数”为，函数的“伴随向量”为.
（1）写出向量的伴随函数，并直接写出的最大值M；
（2）求函数的伴随向量的模.
【答案】（1），，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先得到伴随函数，由辅助角公式得到最大值；
（2）利用三角恒等变换得到，得到伴随向量，利用模长公式得到答案.
【小问1详解】
向量的伴随函数为，
，当，
即时，取得最大值，最大值；
【小问2详解】
，
故伴随向量，故.
18. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求证：；
（2）若D为BC的中点，，，求AD的长.
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理得到方程，计算出；
（2）作出辅助线，得到三角形全等，，由余弦定理得到方程，求出，进而求出答案.
【小问1详解】
由正弦定理得，
所以，即，
又，故，所以；
【小问2详解】
由（1）知，，故，
延长至点，使得，连接，
因为D为BC的中点，所以，
又，所以≌，
所以，
在中，，
由余弦定理得，
即，解得，
所以.
19. 在非直角三角形ABC中，边长a，b，c满足（，且）
（1）若，且，求的值；
（2）求证：；
（3）是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明，若不存在，请给出一个理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）存在，
【解析】
【分析】（1）先由正弦定理的边角互化化简可得，然后结合条件由余弦定理代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，化边为角，再进行三角式的变形，即可证明；
（3）根据题意，运用结构特征构造函数，即可得到结果.
【小问1详解】
由正弦定理可得，即，即，
又，即，
由余弦定理可得.
【小问2详解】
因为，所以，
即.
则.
故 ，
即.
故.
【小问3详解】
存在.下面给出证明.
因，所以，.
展开整理可得，
即,
故.
因此，.
所以，存函数.