湖南省常宁市第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖南省常宁市第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则的面积为（ ）．
A. B. C. D.
4. 在中，记，，点在直线上，且.若，则的值可能为（ ）
A. B. C. D. 2
5. 在中，若，则（ ）
A B. C. 2D.
6. 已知点，，．则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，且线段EF交AC于点P．若，，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 等腰三角形或直角三角形
C. 直角三角形D. 锐角三角形
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知复数，则下列选项正确的是（ ）
A. z的虚部为1
B
C. 为纯虚数
D. 在复平面内对应的点位于第一象限
10. 如图所示，为了测量A，B处岛屿距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. A、D之间的距离为海里
C. A、B两处岛屿间的距离为海里
D. B、D之间的距离为海里
（2023春·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）
11. 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为．在的斜坐标系中，，，则下列结论中，错误的是（ ）
A. B.
C. D. 在上投影向量为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）.
12. 已知复数满足，则________．
13. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则______.
14. 已知为坐标原点，向量，，，满足，，若，则的取值范围是_____________
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
（2023春·广东广州·高一广州市真光中学校考阶段练习）
15. 已知向量，（）．
（1）若，求t的值；
（2）若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围．
16. 在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小.
（2）若，，为中点，求的长.
17. 如图，在中，点在线段上，且满足，过点的直线分别交直线于不同的两点，若.
（1），求的值；
（2）求证：，并求的最小值.
18. 已知的内角的对边分别为 ，且.
（1）求角B；
（2）设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.
19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
（2）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
（3）记向量相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围.
常宁一中高一（下）第一次月考 数学
2025年3月
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的运算求复数的代数形式，再由复数的模的公式求.
【详解】因为，
所以，
故选：C.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的加法与减法化简即可得解.
【详解】，
故选：B
3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则的面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】.
故选：B
4. 在中，记，，点在直线上，且.若，则值可能为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】BC
【解析】
【分析】分点内分与外分线段讨论，再由向量的线性运算求解即可.
【详解】当点在线段上时，如图，
，
所以，
当点在线段的延长线上时，如图，
，
则，
故选：BC.
5. 在中，若，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理，将边用角表示，从而可得出答案.
【详解】因为，
所以，
所以，
则.
故选：C.
6. 已知点，，．则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的坐标公式，结合投影向量的定义进行求解即可.
【详解】因为，，．
所以，，
，
所以向量与的夹角为钝角，
因此量在上的投影向量与方向相反，
而，，
所以在上的投影向量为，
故选：C
7. 如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，且线段EF交AC于点P．若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】，将用表示，再根据E，F，P三点共线，求得，从而可的答案.
【详解】∵E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，
∴，，
设，
∵E，F，P三点共线，∴，解得，
于是．
故选：B.
8. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 等腰三角形或直角三角形
C. 直角三角形D. 锐角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理边角互化可得，进而由三角函数的性质求解.
【详解】由得,
由二倍角公式可得或，
由于在，,所以或,故为等腰三角形或直角三角形
故选：B
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知复数，则下列选项正确的是（ ）
A. z的虚部为1
B.
C. 为纯虚数
D. 在复平面内对应的点位于第一象限
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复数的运算法则进行化简后，再对选项一一验证即可.
【详解】，
则z的虚部为1，选项A正确；
，选项B错误；
为纯虚数，选项C正确；
在复平面内对应的点位于第四象限，选项D错误；
故选：AC．
10. 如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. A、D之间的距离为海里
C. A、B两处岛屿间的距离为海里
D. B、D之间的距离为海里
【答案】BC
【解析】
【分析】根据三角形的内角求得∠CAD,判定A；利用正弦定理求得AD,判定A；利用等腰直角三角形性质求得BD,判定D；利用余弦定理求得AB,判定C.
【详解】解：由题意可知，，，，，
所以，故A错误；
，
在中，由正弦定理得，得(海里)，故B正确；
在中，因为，，所以(海里)，故D错误；
在中，由余弦定理得，
(海里)，故C正确.
故选：BC.
（2023春·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）
11. 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为．在的斜坐标系中，，，则下列结论中，错误的是（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意写出，.然后根据向量的减法运算即可判断A项；根据数量积的运算律即可求出，判断B项；根据展开求解即可判断C项；根据在上的投影向量为求解，即可判断D项.
【详解】由题意得：，.
对于A项，，
由题意得：，故A正确；
对于B项，，故B项不正确；
对于C项，，
，故C不正确；
对于D项，在上的投影向量为：，
由C知，
又，
，故D正确.
故选：BC
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）.
12. 已知复数满足，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】通过方程解出，再求出即可求解.
【详解】因为，由求根公式可得，，
所以.
故答案为：3
13. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量线性运算、数量积运算求得正确答案.
【详解】由题可知，
所以
.
故答案为：
14. 已知为坐标原点，向量，，，满足，，若，则的取值范围是_____________
【答案】[11，13]
【解析】
【分析】依题意可得、、三点在以为圆心，1为半径圆上，且是圆的直径，所以，设、的夹角为，根据数量积的运算律及定义得到，再根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】解：因为，
所以、、三点在以为圆心，1为半径的圆上，
又，
所以，所以，
所以是圆的直径，
所以，
所以，
设、的夹角为，
则
，
因为，
所以，
所以，
所以，
即取值范围是.
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
（2023春·广东广州·高一广州市真光中学校考阶段练习）
15. 已知向量，（）．
（1）若，求t的值；
（2）若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量共线的坐标表示即可求t值；
（2）根据平面向量夹角的定义及其坐标表示即可求m的取值范围．
【小问1详解】
由题可知，
∵，
∴，∴．
【小问2详解】
若，则，，
∵与的夹角为锐角，
∴，且与不共线，
∴，解得且，
∴m的取值范围是．
16. 在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小.
（2）若，，为中点，求长.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用两角差的正弦公式、两角和的余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解.
（2）利用余弦定理及向量数量积的运算律求解.
【小问1详解】
在中，由，
得，
整理得，
则，而，于是，
又，所以.
【小问2详解】
由（1）知，由余弦定理得，
解得，由为中点，得，
所以.
17. 如图，在中，点在线段上，且满足，过点的直线分别交直线于不同的两点，若.
（1），求的值；
（2）求证：，并求的最小值.
【答案】（1）
（2）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）确定，得到答案.
（2）确定，得到，确定，展开利用均值不等式计算得到答案.
【小问1详解】
，
故，
【小问2详解】
，三点共线，故，
即，
，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
18. 已知的内角的对边分别为 ，且.
（1）求角B；
（2）设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简求值，可得答案.
（2）根据三角形的面积之间的关系，即，可得，结合基本不等式，即可求得答案.
【小问1详解】
由已知及正弦定理得：，
又在中，,
∴，
即，
又，∴,
又，∴，即角B的大小为.
【小问2详解】
∵.
是的角平分线，而，
∴，
即，∴.
∵，∴，
∵，∴，即,
当且仅当时取等号，则，
即的面积的最小值为.
19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
（2）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
（3）记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）
（2）存在，点
（3）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，利用辅助角公式将函数化简，即可得到，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得；
（2）依题意可得，即可求出的解析式，设，表示出，，则由平面向量数量积的坐标表示得到方程，即可得解；
（3）依题意当时恒成立，再对分三种情况讨论，参变分离结合对数函数的性质计算可得；
【小问1详解】
解：向量的相伴函数为，
所以
∵，
∴.
∵，∴，∴.
所以.
【小问2详解】
解：由为的相伴特征向量知：
所以.
设，∵，，∴，，
又∵，∴∴.
，∴
∵，∴，
∴.又∵，
∴当且仅当时，和同时等于，这时（*）式成立.
∴在图像上存在点，使得.
【小问3详解】
解：向量的相伴函数为
当时，，
即，恒成立.
所以①当，即时，，所以，
即，由于，所以的最小值为，所以；
②当，，不等式化为成立.
③当，时，，所以，
即，由于，所以的最大值为，所以.
综上所述，k取值范围是.