2024届福建省宁德市高三下学期5月质检（三模）数学试题（含答案）

这是一份2024届福建省宁德市高三下学期5月质检（三模）数学试题（含答案），共13页。试卷主要包含了记为等比数列的前项积，6B，函数等内容，欢迎下载使用。
1.答题前,学生务必在练习卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名。学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本练习卷上无效。
3.答题结束后,学生必须将练习卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.样本数据2,2,3,3,3,4,4,5,5,6的中位数和众数分别为
A.3和3B.3.5和3C.4和3D.3.5和2,3,4,5
2.已知集合.若,则的取值范围是
A.B.C.D.
3.设表示两条不同的直线,表示平面,则以下结论正确的是
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
4.记为等比数列的前项积.设命题命题,则是的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5. 2024海峓两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕.海峡两岸各民族同胞齐聚于此,与当地群众共同欢庆“三月三”,畅叙两岸情.在活动现场,为了解不同时段的入口游客人流量,从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量,以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据,其中为第次入口人流量数据(单位:百人),由此得到关于的回归方程.已知,根据回归方程(参考数据:),可顶测下午4点时入口游客的人流量为
A.9.6B.11.0C.11.4D.12.0
6.已知圆台的上底半径为3,下底半径为6,母线长为6,则以下结论错误的是
A.圆台侧面积为B.圆台外接球的半径为6
C.圆台的体积为D.圆台侧面上的点到下底圆心的最短距离为
7.已知抛物线的焦点为是抛物线上的两个动点.若,则的最大值为
A.B.C.D.
8.函数,若关于的不等式有且仅有三个整数解,则的取值范围是
A.B.C.D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知是两个复数,下列结论中正确的是
A.若,则B.若为实数,则
C.若均为纯虚数,则为实数D.若为实数,则均为纯虚数
10.函数.若存在,使得为奇函数,则实数的值可以是
A.B.C.D.
11.若定义在上的函数满足,且值域为,则以下结论正确的是
A.B.C.为偶函数D.的图象关于中心对称
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知是两个单位向量,若在上的投影向量为,则与的夹角为______________.
13.中国古代历法是中国劳动人民智慧的结晶,《尚书·尧典》记载“期三百有六旬有六日,以闰月定四时成岁”,指出闰年有366天.元代郭守敬创造了中国古代最精密的历法——《授时历》,规定一年为365.2425天,和现行公历格里高利历是一样的,但比它早了300多年.现行公历闰年是如下确定的:①能被4整除,但不能被100整除;②能被400整除,满足以上两个条件之一的年份均为闰年,则公元年,距上一个闰年的年数为_____.
14.已知曲线和圆有2个交点,则实数的取值范围是_____________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
在中,角的对边分别为.已知,且.
(1)若,垂足为,求BD的长;
(2)若,求的长.
16.(15分)
在平行四边形ABCD中,.将沿AC翻折到的位置,使得.
(1)证明;平面APC;
(2)在线段AD上是否存在点,使得二面角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
17.(15分)
已知函数的图象在处的切线过点.
(1)求在上的最小值;
(2)判断在内零点的个数,并说明理由.
18.(17分)
桌上有除颜色外其他没有任何区别的7个黑球和7个白球,现将3个黑球和4个白球装入不透明的袋中.第一次从袋中任取一个球,若取出的是黑球则放入一个白球,若取出的是白球则放入一个黑球,本次操作完成.第二次起每次取球、放球的规则和第一次相同.
(1)求第2次取出黑球的概率;
(2)记操作完成次后袋中黑球的个数为变量.
(i)求的概率分布列及数学期望;
(ii)求的数学期望.
19.(17分)
坐标平面上的点也可表示为,其中为轴非负半轴绕原点逆时针旋转到与OP重合的旋转角.将点绕原点逆时针旋转后得到点,这个过程称之为旋转变换.
(1)证明旋转变换公式:并利用该公式,求点绕原点逆时针旋转后的点的坐标;
(2)旋转变换建立了平面上的每个点到的对应关系.利用旋转变换,可将曲线通过旋转转化为我们熟悉的曲线进行研究.
(i)求将曲线绕原点顺时针旋转后得到的曲线方程,并求该曲线的离心率;
(ii)已知曲线,点,直线AB交曲线于,两点,作的外角平分线交直线AB于点,求|FM|的最小值.
2024届宁德市普通高中毕业班五月份质量检查
数学试题参考答案及评分标准
说明：
1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则．
2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4.解答题只给整数分数，填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分40分．
1．B2．D3．D4．B5．B6．C7．C8．A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．AC10．BD11．ABC
11.解法一：对于选项,令,得,所以或.
令,得,由的值域为,
所以当时,得,不合题意,所以.正确.
对于选项,令,得,所以或.
令,得,得，
因为的值域为,所以.
令,得,所以或.
因为值域为,所以正确.
对于选项,令,得,因为,
则,所以函数为偶函数,图像关于对称,正确.
对于选项,由值域和偶函数,错误.选.
解法二:由,则,
得,
设,得,可设(为正偶数),,
不妨设,可判断正确,错误.选.
三、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分20分.
12.13.514.
四、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15.本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性．满分13分．
解:(1)由及余弦定理,得
…………………………………………………………分
由及正弦定理,
得,.…………………………………………………………分
因为的面积
所以.…………………………………………………….6分
(2)由得①,.……………………………………………………7分
因为,
所以,②……………………………………………………………8分
由①②得,………………………………………………………9分
又,故,.………………………………………………………………10分
从而.……………………………………………………….11分
得,………………………………………………………………12分
所以.……………………………………………………………….13分
16.本小题主要考查空间解三角形、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,空间角的计算等基础知识,考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等,考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养,体现基础性与综合性.满分15分.
解:(1)证明:翻折前,因为四边形ABCD为平行四边形,,
在三角形ACD中,由正弦定理可得………………….1分
,又,故..……………………………………………………2分
所以,即,.…………………………………………………………………………3分
因为,所以,则有...………………………………5分
平面APC,所以平面APC,.…………………………………………6分
(2)由(1)CD⊥平面APC,且平面ADC,
所以平面平面APC.
在平行四边形ABCD中,,即,
故平面ADC...………………………………………………………………………………7分
以点为坐标原点,的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系,则,…………………………………………………8分
设，其中，
则,.……………9分
设平面MCP的法向量为,
则,取,则,
所以,,………………………………………………………11分
易知平面CPA的一个法向量为,………………………………………………12分
则,整理可得,
因为,解得,………………………………………………………………………14分
因此,线段PC上存在点,使二面角的余弦值为,且.…………15分
17.本小题主要考查导数及其应用、函数的零点和不等式等基础知识,考查逻辑推理能力、运算求解能力等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想,考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养,体现基础性与综合性.满分15分.
解法一:(1),..…………………………………………2分
又,所以切线方程为，..……………………………………3分
又切线过点,
得,所以..…………………………………………………………………………4分
所以,
当时,,所以在上单调递减,……………………………………6分
所以的最小值为.………………………………………………………7分
(2)判断在零点个数,等价于判断方程根的个数,
等价于判断方程根的个数. ………………………………………………………8分
令
,令,则,得..……………………10分
当时,在单调递增;
当时,在单调递减.……………………12分,
(或)
所以时,方程有2根,
所以在有2个零点. .……………………………….15分
解法二:(1)，……………………………….2分
所以切线方程为,………………………………………………………….3分
因此切点为,
得,所以,.………………………………………………………….4分
所以,
当时,,所以在上单调递减,…………………………6分
所以的最小值为…………………………………………………….7分
(2)由(1)得,………………………………….8分
令,则在上为减函数,…………………………….9分
,
所以在上必有一个零点,使得,…………………………10分
从而当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减..…………………………11分
又,…………………………12分
所以在上必有一个零点,使得.……………………………………………12分
当时,,即,此时单调递增;
当时,,即,此时单调递减..………………………………13分
又因为,
所以在上有一个零点,在上有一个零点.……………………….14分
综上,在有且只有2个零点.………………………………….15分
18.本小题主要考查全概率公式、概率的分布列及期望、递推数列及等比数列等基础知识,考查数学建模能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查或然与必然思想、化归与转化思想,考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析和数学运算等核心素养,体现基础性、综合性与创新性.满分17分.
(1)记第次取出的球是黑球为事件,
则,………………………………………………………………1分
根据全概率公式得
所以第2次取出黑球的概率为.
(2)(i)由题知得的可能取值为:1,3,5………………………………………………….5分
则;………………8分
故的分布列为:
所以.…………………………….9分
(ii)设第次完成操作后袋中黑球数为
则
……………………………………13分
(也可以按如下方法得出递推关系:
(若通过特殊性入手得出递推关系得２分)
即,由此得,………………………………15分
又因为,…………………………………………………………………16分
所以,即.…………………………………17分
19.本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、双曲线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查逻辑推理能力、运算求解能力和创新能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养,体现基础性、综合性与创新性,满分17分.
(1)证明：设,由题意可知
所以..……………………………………………………2分
故当,且时,
所以..………………………………………….4分
(2)(i)设曲线上的任一点绕原点顺时针旋转后得到的点为,可视为绕原点逆时针旋转后得到的点,
所以..…………………………………………6分
由点在曲线上,所以
整理得,.………………………………………………8分
即曲线绕原点顺时针旋转后得到的曲线方程为,
该曲线为双曲线,离心率为2. …………………………………………………………………….9分
(ii)由曲线,可知当点满足曲线方程时,点也满足该曲线方程,故曲线关于直线和对称,10分设曲线上任一点绕原点顺时针旋转后得到的点为,
则..………………………………………………11分
由点在曲线上,所以,
即旋转后得到的曲线方程为椭圆:,其右焦点坐标为,………………………12分
(1)可知,其为点绕原点顺时针旋转后得到的点,
故点为原椭圆的右焦点.
由FM为的外角平分线，
所以,故………………13分
设，
同理,…………………………………………………14分
设,显然在线段AB的延长线或反向延长线上,
所以,.………………………………………………………15分
所以,
,得………………………………………………16分
所以点的轨迹为直线,故到的最短距离为………………17分1
3
5