陕西省部分学校2024-2025学年高一上学期1月期末考试检测数学试卷（解析版）

这是一份陕西省部分学校2024-2025学年高一上学期1月期末考试检测数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 是（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角
C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】C
【解析】依题意，，由于，位于第三象限，
所以是第三象限角．
故选：C．
2. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A. 4B. 8C. 10D. 16
【答案】D
【解析】由题意，，故其子集的个数为.
故选：D
3. 已知，则（ ）
A. B. C. 1D. 7
【答案】B
【解析】由题意，得，则，
故.
故选：B.
4. 已知函数，则（ ）
A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递
C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减
【答案】D
【解析】
，
对于AB，当时，，而正弦函数在上先递增后递减，
因此函数在区间上不单调，AB错误；
对于CD，当时，，而正弦函数在上单调递减，
因此在区间上单调递减，C错误，D正确.
故选：D.
5. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
由是减函数得，即，
因为，所以，所以．
故选：B．
6. 如图是杭州第19届亚运会的会徽“潮涌”，将其视为一扇面，若的长为的长为，则扇面的面积为（ ）
A. 190B. 192C. 380D. 384
【答案】D
【解析】如图，设，由题意可知解得，扇面的面积为.
故选：D.
7. 已知某种蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（为常数，为自然对数底数），若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为（ ）
A. 小时B. 小时C. 小时D. 小时
【答案】C
【解析】由题意得：，两式相除得，
则．
即该品种蔬菜的保鲜时间大约为小时.
故选：C.
8. 当时，函数的零点个数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】由，得，
在同一坐标系内作出，，的图象，
由图知，两函数的图象的交点有4个，
所以当时，函数的零点个数为4.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知角和的终边关于轴对称，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因为角和的终边关于x轴对称，可得.
对于A，由，A正确；
对于B，由，B错误；
对于C，由，C正确；
对于D，由，D错误.
故选：AC.
10. 若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】对于A，因为，，
所以，得，
则，
当且仅当，即时取等号，所以，故A正确；
对于B，由及，
得，
解得，当且仅当时取等号，故B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，故C错误；
对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：AD.
11. 已知函数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，
，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，，
，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则_____．
【答案】
【解析】由三角函数的定义可知，，
所以，解得.
13. ______.
【答案】
【解析】由题意得，
，
∵，∴，
解得或（舍去）.
14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】由二次函数，一次函数，分段函数的单调性可知，解得，
故实数的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，．
（1）若成立一个必要条件是，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）因为集合，．
若成立的一个必要条件是，所以，则，所以，
故实数的取值范围.
（2）若，则或，所以或，
故实数的取值范围.
16. 已知.
（1）化简；
（2）若均为锐角，，求的值.
解：（1）原式.
（2）由（1）得，所以，
因为均为锐角，所以，
又，所以，
由，得，
所以
，
又为锐角，故.
17. 已知幂函数的图象过点．
（1）求实数的值；
（2）设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增．
解：（1）由是幂函数，得，解得，
当时，的图象不过点，不满足题意；
当时，的图象过点，所以.
（2）由（1）知，，则，
任取，且，
则
，
由，得，则，
，，
，
因此，即，所以在上单调递增.
18. 函数在一个周期内的图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，设，证明：为奇函数.
解：（1）由最值得，
由相邻两零点距离得，则，即，
此时，
因为，则该函数一个最高点为，
代入点得：，
则，即，
又因为，所以，故.
（2）由题意得，
则，
因为
，且其定义域为，关于原点对称，
所以hx为奇函数.
19. 已知函数.
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数的最大值是，求的值；
（3）已知，，且在区间上的值域为，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，而，
所以，故的值域是．
（2）因为函数的最大值是，
由对数函数的单调性质知的最大值为，
令，，
若，则为开口向上的二次函数，没有最大值，不满足题意；
由（1）知也不满足题意；
所以，此时，在处取得最大值，
，解得（舍去正值）．
（3）令，，
令，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以方程有两个不等正实根，
即有两个不等正实根，
即有两个大于1的不等实根，
所以，解得，
即实数的取值范围为．