2025年高考数学二轮热点题型归纳与演练(上海专用)专题04三角函数与解三角形(十二大题型)(原卷版+解析)特训

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 题型01 任意角和弧度制2
\l "_Tc22731" 题型02 任意角的三角函数2
\l "_Tc394" 题型03 同角三角函数的基本关系3
\l "_Tc1766" 题型04 三角函数的诱导公式3
\l "_Tc8506" 题型05 三角恒等变换3
\l "_Tc6010" 题型06 三角函数的有关概念4
\l "_Tc22452" 题型07 三角函数图像的变换4
\l "_Tc5641" 题型08 三角函数的求参问题5
\l "_Tc22452" 题型09 解三角形5
\l "_Tc5641" 题型10 解三角形—面积问题、解的个数等问题5
\l "_Tc22452" 题型11 解三角形与平面向量、数列等6
\l "_Tc5641" 题型12 三角函数与解三角形的实际应用6
【解题规律·提分快招】
题型01 任意角和弧度制
【典例1-1】．已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是 .
【典例1-2】．母线长为、底面半径为的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为 ．
【变式1-1】．若扇形的半径为2，弧长为3，则扇形的面积为 .
【变式1-2】．设是第一象限的角，则所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第三象限
C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限
【变式1-3】．折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则､d和所满足的恒等关系为（ ）
A．B．
C．D．
题型02 任意角的三角函数
【典例2-1】．若角的终边过点，则 ．
【典例2-2】．“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【变式2-1】．已知点是角终边上一点，若，则 .
【变式2-2】．下面有四个命题：
①若点为角的终边上一点，则；
②同时满足，的角有且只有一个；
③如果角满足，那么角是第二象限的角；
④满足条件的角的集合为.
其中真命题的序号为 .
【变式2-3】．已知锐角的顶点为原点，始边为x轴的正半轴，将的终边绕原点逆时针旋转后交单位圆于点，则的值为 ．
题型03 同角三角函数的基本关系
【典例3-1】．已知，则 .
【典例3-2】．设为第二象限角，若，则 .
【变式3-1】．若，则 的值为 .
【变式3-2】．已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-3】．若，那么 ．
题型04 三角函数的诱导公式
【典例4-1】．已知，则 .
【典例4-2】．已知，则 ．
【变式4-1】．已知，则 ．
【变式4-2】．已知等差数列的前项和为，若，则 .
【变式4-3】．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则 .
题型05 三角恒等变换
【典例5-1】．若，则 ．
【典例5-2】．已知，则 ．
【变式5-1】．若，且，则tanα＝ ．
【变式5-2】．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】．函数的值域为 .
题型06 三角函数的有关概念
【典例6-1】．函数的最小正周期为 ．
【典例6-2】．函数的单调递增区间是 .
【变式6-1】．已知函数，的部分图象如图所示，则 ．
【变式6-2】．函数，设为的最小正周期，若，则 .
【变式6-3】．函数的值域为 ．
题型07 三角函数图像的变换
【典例7-1】．把关于的函数的图像向左平移，可得函数的图像，则的值为 .
【典例7-2】．函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则 ．
【变式7-1】．将函数的图像向左平行移动个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到的函数图像的解析式是
【变式7-2】．若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 .
【变式7-3】．已知，函数，的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的值是 ．
题型08 三角函数的求参问题
【典例8-1】．若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为 .
【典例8-2】．函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是 .
【变式8-1】．已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为 ．
【变式8-2】．关于的不等式对任意恒成立，则实数的最大值为 .
【变式8-3】．设函数在区间上恰有三个极值点，则的取值范围为 ．
题型09 解三角形
【典例9-1】．在中，若，则 .
【典例9-2】．在中，已知，则的值为 .
【变式9-1】．在中，角对应边为，其中.若，且，则边长为 .
【变式9-2】．中，，则 .
【变式9-3】．在中，已知角所对的边分别为，若，则 .
题型10 解三角形—面积问题、解的个数等问题
【典例10-1】．在中，已知，若，则的面积为 .
【典例10-2】．在中，，则 .
【变式10-1】．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为钝角，．则的取值范围是 ．
【变式10-2】．在中，，，，若满足条件的有两个，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-3】．在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．D．
题型11 解三角形与平面向量、数列等
【典例11-1】．在中，是边的中点.若，，，则 .
【典例11-2】．已知等边的边长为，点是其外接圆上的一个动点，则的取值范围是 .
【变式11-1】．锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的取值范围是
【变式11-2】．如图，是以为直径的半圆 （不含端点）上一动点，，且．若，则的取值范围是 ．
【变式11-3】．已知平面向量，的夹角为，与的夹角为，，和在上的投影为x，y，则的取值范围是 ．
题型12 三角函数与解三角形的实际应用
【典例12-1】．一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为 cm．（结果精确到0.1cm）

【典例12-2】．下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：，，则两点间距离为 cm.（精确到1cm）
【变式12-1】．如图，是款电动自行车用“遮阳神器”的结构示意图，它由三叉形的支架和覆盖在支架上的遮阳布组成.
已知，，且；为保障行车安全，要求遮阳布的最宽处；若希望遮阳效果最好（即的面积最大），则的大小约为 .（结果四舍五入精确到）
【变式12-2】．某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m)
【变式12-3】．随着市民健康意识的提升，越来越多的人开始运动，身边的健身步道成了市民首选的运动场所．如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为5，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM，ON分别是由OA，OB延伸而成的两条健身步道．为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与弧相切于点F，且与OM，ON分别交于点C，D，另两条分别是和湖岸OA，OB垂直的FG，FH（垂足均不与O重合）．在区域内，扇形人工湖OAB以外的空地铺上草坪，则下列说法正确的是 ．（填序号）
①的取值范围是；
②新增步道CD的长度可以为20；
③新增步道FG，FH长度之和可以为7；
④当点F为弧的中点时，草坪的面积为．
一、填空题
1．（2024·上海徐汇·二模）在中，，，，则的外接圆半径为 .
2．（2024·上海·三模）若函数的一个零点是，则函数的最大值为
3．（2024·上海静安·一模）如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 .
4．（2024·上海·三模）设，已知函数的两个不同的零点、，满足，若将该函数图象向右平移个单位后得到一个偶函数的图象，则 ．
5．（2024·上海崇明·二模）已知实数满足：，则的最大值是 ．
6．（2024·上海·三模）空间中两点间的距离为，设的面积为，令，若，则的取值范围为 ．
二、单选题
7．（2024·上海奉贤·一模）函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数是偶函数B．函数定义域是
C．函数最大值D．函数的最小正周期为
8．（2024·上海长宁·一模）已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1、利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
2、判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
3、诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法：
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
6、解三角形问题的技巧
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
7、判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
8、平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．