广东省河源市2024-2025学年下学期3月月考九年级数学检测试题（含答案）

这是一份广东省河源市2024-2025学年下学期3月月考九年级数学检测试题（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在一个不透明的盒子里装有3个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中、不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.25左右，则据此估计盒子中大约有白球( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
2.若a2=b3，则ab的值为( )
A. 6B. 16C. 32D. 23
3.关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有实数解，则a的取值范围是( )
A. a≥1B. a≤1C. a>1D. a0上，点B在双曲线y2=kxx0；②3a+b=0；③b2=4a(c−n)；④一元二次方程ax2+bx+c=n−1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的△DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是______．
12.如果x1，x2是方程x2−6x+5=0的两根，则x1+x2= ．
13.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离是 ．
14.一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 海里．
15.图，在正方形ABCD中，AB=2，F是BD边上的一个动点，连接AF，过点B作BE⊥AF于E，在点F变化的过程中，线段DE的最小值是 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：(1)|− 2|+(−2023)0−2sin45 ∘−(12)−1．
(2)解方程：(x+1)2−3(x+1)=0．
17.(本小题7分)
在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______(结果精确到0.1)．
(2)试估算口袋中黑球有______只，白球有______只.
(3)在(2)的结论下，请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的概率．
18.(本小题7分)
如图，身高1.5 m的人站在两棵树之间，距较高的树5 m，距较矮的树3 m.若此人观察的树梢所成的视线的夹角是90°，且较矮的树高4 m，则较高的树有多少米？
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交CE的延长线于点F．
(1)求证：FA=BD．
(2)连结BF，若AB=AC，求证：四边形ADBF是矩形．
20.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程x2−m+5x+5m=0．
(1)若此方程的一个根是x=2，求方程的另一根．
(2)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根．
(3)设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
21.(本小题9分)
如图，一次函数y=mx+nm≠0的图像与反比例函数y=kx(k≠0)的图像交于第二、四象限的点A−2,a和点Bb,−1，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，▵AOC的面积为4．
(1)分别求出a和b的值；
(2)结合图像直接写出mx+n>kx中x的取值范围；
(3)在y轴上取点P，使PB−PA取得最大值时，求出点P的坐标．
22.(本小题13分)
如图，抛物线y=ax2−34x+c与x轴相交于点A(−2,0)、B(4,0)，与y轴相交于点C，四边形OCEB为矩形，CE交抛物线于点D，点P在BC下方的抛物线上运动．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当▵PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)当△CPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．
23.(本小题14分)
如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AB=10，DC=4，求AC的长；
(3)若E是弧AC的中点，⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积．
答案和解析
1.【正确答案】C
略
2.【正确答案】D
解：∵a2=b3，
根据比例的性质可得：
ab=23，
故选：D．
直接根据比例的性质求解即可．
本题主要考查了比例的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
3.【正确答案】B
解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有实数解，
∴Δ=22−4×1×a≥0，即4−4a≥0，
解得a≤1．
故选：B．
由题意知，根的判别式Δ≥0，据此可以求得a的取值范围．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)中，当Δ>0时方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时方程有两个相等的实数根；当Δ0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，即b=−2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到4ac−b24a=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n−1有2个公共点，于是可对④进行判断．
【详解】∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(−2,0)和(−1,0)之间．
∴当x=−1时，y>0，
即a−b+c>0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，即b=−2a，
∴3a+b=3a−2a=a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，
∴4ac−b24a=n，
∴b2=4ac−4an=4a(c−n)，所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n−1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
11.【正确答案】27
解：设△DEF其余两边长为x，y，
则2x=3y=412，
解得：x=6，y=9，
所以△DEF的周长是6+9+12=27，
故27．
设△DEF其余两边长为x，y，得出比例式2x=3y=412，求出x、y的值，再求出答案即可．
本题考查了相似三角形的判定定理和性质定理，能熟记相似三角形的性质定理是解此题的关键，相似三角形的对应边成比例．
12.【正确答案】6
略
13.【正确答案】125
略
14.【正确答案】(6 3+6)
如图，过点C作CH⊥AB于点H．
∵∠DAC=60°，∠CBE=45°，
∴∠CAH=90°−∠CAD=30°，∠CBH=90°−∠CBE=45°，
∴∠BCH=90°−45°=45°=∠CBH，
∴BH=CH，
在Rt△ACH中，∠CAH=30°，AH=AB+BH=12+CH，tan30 ∘=CHAH，
∴CH= 33(12+CH)，
解得CH=6 3+6．
∴渔船与灯塔C的最短距离是(6 3+6)海里．
15.【正确答案】 5−1
略
16.【正确答案】解：原式= 2+1−2× 22−2= 2+1− 2−2=−1．
略
17.【正确答案】(1)0.6；
(2)2，3；
(3)列表得出：
从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的数量为：12种，总数为：20种，
故这两只球颜色不同的概率是：1220=35．
解：(1)当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
故0.6；
(2)由(1)摸到白球的概率为0.6，
所以可估计口袋中白球的个数=5×0.6=3(个)，黑球5−3=2(个)．
故2，3；
(3)列表得出：
从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的数量为：12种，总数为：20种，
故这两只球颜色不同的概率是：1220=35．
(1)根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
(2)根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算白球的个数，从而得出黑球的个数；
(3)列表求得所有等可能的结果与从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的情况，即可根据概率公式求解．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
18.【正确答案】解：过点E作EH⊥AB，EM⊥CD，H，M为垂足，则∠A+∠AEH=90°.∵∠AEC=90°，∴∠AEH+∠CEM=90°.∴∠A=∠CEM.∵∠AHE=∠CME=90°，∴△AHE∽△EMC.∴AHEM=HECM，即4−1.55=3CM，解得CM=6.∴CD=CM+DM=6+1.5=7.5(m).答：较高的树有7.5 m．
略
19.【正确答案】【小题1】
略
【小题2】
略
1.
提示：证明△AEF≌△DEC.
2. 略
20.【正确答案】【小题1】
解：设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得2+t=m+5，2t=5m，∴2t=5(t−3)，解得t=5，即方程的另一个根为5;
【小题2】
证明：∵Δ=−(m+5)2−4×5m=m2−10m+25=(m−5)2≥0，
∴这个一元二次方程一定有两个实数根;
【小题3】
解：解方程x2−(m+5)x+5m=0得x1=5，x2=m，即a=5，b=m或a=m，b=5，
∵2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，
∴22+m2=52或22+52=m2，
解方程22+m2=52得m1= 21，m2=− 21(舍)
解方程22+52=m2得m1= 29，m2=− 29(舍去)，
即m的值为 21或 29．
1. 略
2. 略
3. 略
21.【正确答案】【小题1】
解：∵▵AOC的面积为4，∴12k=4，解得k=−8或k=8(不符合题意，舍去)，∴反比例函数的关系式为y=−8x.将A−2,a，Bb,−1分别代入y=−8x，得a=4，b=8.
【小题2】
x