河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的展开式中的系数为（ ）
A. 40B. 200C. D.
2. 对于由1，3，5，7，9这五个数码构成的数，我们称1，9均各出现偶数次（均可以不出现）的数为“好数”.则10位数中“好数”的个数为（ ）
A. 226365B. 881112C. 1966165D. 2470931
3. 随着国潮的兴起，大众对汉服的接受度日渐提高.目前中国大众穿汉限的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、日常活动、婚庆典礼7类.某自媒体博主准备从图片网站上精选8张中国大众穿汉服的照片，每类场景至多选2张，则8张照片中恰有两类照片是2张的不同的选择方案种数为（ ）
A. 252B. 105C. 357D. 324
4. 在某项测量中，测量结果服从正态分布（），若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（ ）
A. 0.9B. 0.8C. 0.3D. 0.1
5. 若，，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
6. 为预测某种产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，若已知与之间存在线性相关关系，现取了8组观察值，计算知，，，，则关于的经验回归方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是（参考数据：）（ ）
①若的观测值满足，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；
②若的观测值满足，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病；
③从独立性检验可知，如果有99%把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病；
④从统计量中得知有99%把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误．
A. ②③B. ②③④C. ①②④D. ①④
8. 已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列命题中真命题是（ ）
A. 的展开式中含项的系数为
B. 随机变量，若方差，则
C. 若随机变量，且，则
D. 甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有45种
10. 下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ）
A. 线性回归方程至少经过点中一个点
B. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1
C. 若设直线回归方程为，则当变量增加1个单位时，平均增加2个单位
D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是.
11. 近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”．某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动．如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有（ ）

A. 站在第20拐角的学生是111号B. 站在第23拐角的学生是137号
C. 第133号同学站在拐角位置D. 站在拐角位置的同学共有79名
三、填空题
12. 已知数列是递增数列，则实数t的取值范围是_________．
13. 程大位（1533-1606）是明代珠算发明家，徽州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘（如图1）共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字5：梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位整数的个数为__________.
14. 在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下，西北某地光伏发电装机量急剧上升，现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查，根据散点图选择了两个模型进行拟合，并得到相应的经验回归方程．为判断模型的拟合效果，甲、乙、丙三位同学进行了如下分析：
（1）甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图，如图所示；
（2）乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175、模型②的残差平方和为1.5625；
（3）丙同学分别求出模型①的决定系数、模型②的决定系数为；
经检验，模型①拟合效果最佳，则甲、乙、丙三位同学中，运算结果肯定出错的同学是________．（填“甲”或“乙”或“丙”）
四、解答题
15 已知，
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求展开式中系数的最大值.
16. 据不完全统计，我国小学生的近视率已经达到惊人的45.7%，也就是说有将近一半的小学生已经早早的开始与眼镜为伴了．给孩子选一台合格的护眼仪是很有必要的．护眼仪的功能就是对眼部周围的穴位进行按摩以达到刺激穴位的目的，缓解学生们眼睛的疲劳，减轻用眼时间过长造成的眼睛干涩、充血等症状，可以用来预防近视，而绝对不可能治疗近视．某医学机构为了研究某护眼仪预防近视的效果，随机调查了200名小学生，数据如下：
（1）依据小概率值的独立性，分析预防眼睛近视是否与配有某护眼仪有关？
（2）在样本中，按分层抽样（按是否配有某护眼仪分层）的方法从眼睛近视的小学生中抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中没配有某护眼仪的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：参考公式，其中．
参考数据：
17. 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：
（1）求收益关于售出水量的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？
附：
（2）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201~500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生不获得奖学金.学生甲获一等奖学金的概率为，获二等奖学金的概率为，不获得奖学金的概率为.求在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率.
18. 为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏.
（1）求随机变量X的分布列；
（2）若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率.
19. 北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢?”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究.
（1）若a=3，b=4，求S₆的值;
（2）若由小球堆成上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数ab;
（3）三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，设第n层放mn个物体堆成的堆垛（如图2所示），利用上述材料，求从上往下n层三角垛的物体总数Tn.
新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期4月份月考数学试题
一、单选题
1. 的展开式中的系数为（ ）
A. 40B. 200C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式以及乘法的分配律来求得正确答案.
【详解】的展开式的通项公式为，
故的展开式中的系数为．
故选：D
2. 对于由1，3，5，7，9这五个数码构成的数，我们称1，9均各出现偶数次（均可以不出现）的数为“好数”.则10位数中“好数”的个数为（ ）
A. 226365B. 881112C. 1966165D. 2470931
【答案】D
【解析】
【分析】枚举 和 ： 和 的取值范围是0, 2, 4, 6, 8, 10,总共有 种组合.
计算每种组合的贡献：对于每一种 和 的组合，计算 ,将所有组合的结果相加，得到“好数”的总数.
这正好是,进而通过赋值方法求得其中 和 的次数均为偶数的项的系数之和,
【详解】我们需要计算由1、3、5、7、9组成的10位数中，1和9均出现偶数次（包括0次）的“好数”个数。
枚举 和 ： 和 的取值范围是0, 2, 4, 6, 8, 10,总共有 种组合.
计算每种组合的贡献：
对于每一种 和 的组合，计算 ,
将所有组合的结果相加，得到“好数”的总数.
这正好是.
我们需要提取其中 和 的次数均为偶数的项的系数之和,
是所有相的系数和，是所有为奇数的项的系数的相反数的和，
是所有为奇数时的项的系数的相反数的和，是所有都是奇数的项的和.
通过代入特定值并利用奇偶性分离系数：,
计算各点值
,
,
,
,
求平均值,
因此，10位数中“好数”的个数为 2470931，
故选： D.
3. 随着国潮的兴起，大众对汉服的接受度日渐提高.目前中国大众穿汉限的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、日常活动、婚庆典礼7类.某自媒体博主准备从图片网站上精选8张中国大众穿汉服的照片，每类场景至多选2张，则8张照片中恰有两类照片是2张的不同的选择方案种数为（ ）
A. 252B. 105C. 357D. 324
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得8张照片中，4张照片为相同的2类照片，另外4张为种类各不相同的，据此可得答案.
【详解】由题，先从7类照片中选2类，有种方法；
再选剩下4张，有种方法，则共有种方法.
故选：B
4. 在某项测量中，测量结果服从正态分布（），若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（ ）
A. 0.9B. 0.8C. 0.3D. 0.1
【答案】A
【解析】
【分析】由正态分布的性质可得.
【详解】
因为服从正态分布（），
所以正态分布曲线关于对称；
又因为在内取值的概率为0.8，
所以在内取值概率为0.4，
所以在内取值的概率为．
故选：A
5. 若，，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
【答案】B
【解析】
【分析】由即可求解
【详解】因为，
所以.
故选：B
6. 为预测某种产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，若已知与之间存在线性相关关系，现取了8组观察值，计算知，，，，则关于的经验回归方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据公式可求得结果.
【详解】由题可得，，
由，
，
所以所求经验回归方程为．
故选：A.
7. 在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是（参考数据：）（ ）
①若的观测值满足，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；
②若的观测值满足，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病；
③从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病；
④从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误．
A. ②③B. ②③④C. ①②④D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】由给出的数据，结合观测值的意义判定即可.
【详解】若的观测值满足，则我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系，
而得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，仍有的可能性使推断出现错误，
但不能说明个吸烟的人中约有人患有肺病，
也不能说明每个吸烟的人有的可能性会患肺病.
故①④正确、②③错误.
故选：D
8. 已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对通项公式化简变形后可求得当或时，，当时，，从而可求出取到最小值时的值.
【详解】，
由，得，解得或，
因为，所以当或时，，当时，，
所以当时，取得最小值.
故选：B
二、多选题
9. 下列命题中真命题是（ ）
A. 的展开式中含项的系数为
B. 随机变量，若方差，则
C. 若随机变量，且，则
D. 甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有45种
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用二项式展开式的通项公式可求得含项的系数判断A：利用二项分布的方差计算公式可求得，进而计算可判断B；利用正态分布的性质计算可判断C；求得恰有一项工作无人参加的方法数可判断D.
【详解】对于A项，展开式的通项公式为，，，…，，
所以展开式中含项的系数为，故A项正确；
对于B项，，解得，则，故B项正确；
对于C项，因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称，
由，得，
所以，故C项正确；
若恰有一项工作无人参加，则先选出无人参加的工作，然后计算出剩余两项工作都有人参加的方法数，
则不同的安排方法共有种，故D项错误.
故选：ABC.
10. 下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ）
A. 线性回归方程至少经过点中的一个点
B. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1
C. 若设直线回归方程为，则当变量增加1个单位时，平均增加2个单位
D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用回归直线的性质即可判断选项A，C，利用线性相关系数的性质即可判断选项B，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D.
【详解】对于A，直线由点拟合而成，可以不经过任何样本点，A错；
对于B，相关系数的绝对值越接近于，表示相关性越强，越接近于，相关性越弱，B正确；
对于C，回归直线方程为，变量x增加1个单位时，平均增加2个单位，故C正确；
对于D，样本点的中心为，所以，，
因为满足线性回归方程，所以，所以，D正确.
故选： BCD.
11. 近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”．某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动．如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有（ ）

A. 站在第20拐角的学生是111号B. 站在第23拐角的学生是137号
C. 第133号同学站在拐角位置D. 站在拐角位置的同学共有79名
【答案】ACD
【解析】
【分析】由前几个拐角的编号，找到规律，即可逐项判断；
【详解】观察给出的前几个拐角位置对应的编号：2，3，5，7，10，13，17，21，26
将奇数项的拐角即为，易得：;
偶数序号的拐角即为，由规律可得：
第20拐角的学生编号为：正确；
站在第23拐角的学生编号为：错误；
由，解得，也即第133号同学站在第22拐角位置；
由，可得，
由，可得，
所以拐角总序号可到第79个，所以站在拐角位置的同学共有79名，正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：由前几个拐角编号，找到规律；
三、填空题
12. 已知数列是递增数列，则实数t的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由递增数列得不等式，化简得，利用即可求得t的范围.
【详解】依题意，，即，整理得，
因，则，．
故答案为：.
13. 程大位（1533-1606）是明代珠算发明家，徽州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘（如图1）共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字5：梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位整数的个数为__________.
【答案】26
【解析】
【分析】分“百位”拨动3枚算珠、“百位”拨动2枚算珠、“百位”拨动1枚算珠三种情况罗列出可表示的数据即可得解.
【详解】由题“百位”拨动3枚算珠可以表示的不同的三位整数有：300、700；
“百位”拨动2枚算珠可以表示的不同的三位整数有：210、250、201、205，610、650、601、605；
“百位”拨动1枚算珠可以表示的不同的三位整数有：120、102、160、106、111、151、115、155；
520、502、506、560、511、551、515、555.
则符合条件的三位整数的个数为26.
故答案：26.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是理解题意，将问题拆分“百位”拨动3枚算珠、“百位”拨动2枚算珠、“百位”拨动1枚算珠三种简单情况进行分析再整合即可得解.
14. 在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下，西北某地光伏发电装机量急剧上升，现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查，根据散点图选择了两个模型进行拟合，并得到相应的经验回归方程．为判断模型的拟合效果，甲、乙、丙三位同学进行了如下分析：
（1）甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图，如图所示；
（2）乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175、模型②的残差平方和为1.5625；
（3）丙同学分别求出模型①的决定系数、模型②的决定系数为；
经检验，模型①拟合效果最佳，则甲、乙、丙三位同学中，运算结果肯定出错的同学是________．（填“甲”或“乙”或“丙”）
【答案】丙
【解析】
【分析】应用残差图，残差平方和，决定系数的性质判定即可.
【详解】甲的残差图中，模型①的残差点更均匀地分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，且水平带状区域更窄，说明模型①拟合效果更好；
残差平方和越大，即决定系数越小，说明数据点越离散，
所以乙计算结果显示模型①的拟合效果更好，而丙的计算结果显示模型②的拟合效果更好．
故答案为：丙.
四、解答题
15. 已知，
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求展开式中系数的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据二项式通项特征即可求解，
（2）利用赋值法即可求解，
（3）根据通项特征，即可列不等式求解.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
令得
令得
则；
【小问3详解】
的通项为，
令，①
②
代入得：解得，
解得，
解得，所以，
所以展开式中系数的最大值.
16. 据不完全统计，我国小学生的近视率已经达到惊人的45.7%，也就是说有将近一半的小学生已经早早的开始与眼镜为伴了．给孩子选一台合格的护眼仪是很有必要的．护眼仪的功能就是对眼部周围的穴位进行按摩以达到刺激穴位的目的，缓解学生们眼睛的疲劳，减轻用眼时间过长造成的眼睛干涩、充血等症状，可以用来预防近视，而绝对不可能治疗近视．某医学机构为了研究某护眼仪预防近视的效果，随机调查了200名小学生，数据如下：
（1）依据小概率值的独立性，分析预防眼睛近视是否与配有某护眼仪有关？
（2）在样本中，按分层抽样（按是否配有某护眼仪分层）的方法从眼睛近视的小学生中抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中没配有某护眼仪的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：参考公式，其中．
参考数据：
【答案】（1）答案见解析
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）提出零假设并计算，查表比较即可得出结论；
（2）求出X的所有取值并求得对应概率，即可得出分布列，继而求出期望值.
【小问1详解】
零假设为：分类变量X与Y相互独立，即认为预防眼睛近视与是否配有某护眼仪无关，
由列联表中数据得：
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，
即认为预防眼睛近视与是否配有某护眼仪无关；
【小问2详解】
由数据表中可得，这9人中，配有某护眼仪的有4人，没配有某护眼仪的有5人，
X的取值分别为0，1，2，3，
可得，，
，，
X的分布列为：
X的数学期望为．
17. 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：
（1）求收益关于售出水量的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？
附：
（2）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201~500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生不获得奖学金.学生甲获一等奖学金的概率为，获二等奖学金的概率为，不获得奖学金的概率为.求在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率.
【答案】（1），186元.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用公式求线性回归方程，代入数据即可得到结果.
（2）利用条件概率公式求解可得结果.
【小问1详解】
依题意可得，
，
，
当时，（元），
即每天售出8箱水的预计收益是186元.
【小问2详解】
设事件为“学生甲获得奖学金”，事件为“学生甲获得一等奖学金”，
则，，所以，
即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为.
18. 为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏.
（1）求随机变量X的分布列；
（2）若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率.
【答案】（1）分布列见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）写出X可能取值和对应的概率，得到分布列；
（2）在（1）基础上，记其前n轮的累计得分为，求出，，相加得到概率.
【小问1详解】
由题意得，随机变量X可取的值为2，3，4，
易知，，，
则随机变量X的分布列如下：
【小问2详解】由（1）可知，参与者每轮得2分，3分，4分的概率依次为，，，
记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为，
若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得3分，则；
若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，有“”，“”的情形，
则；
若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为9分，有“”，“”的情形，
则.
记“甲能够领取纪念品”为事件A，
则.
19. 北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢?”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究.
（1）若a=3，b=4，求S₆的值;
（2）若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数ab;
（3）三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，设第n层放mn个物体堆成的堆垛（如图2所示），利用上述材料，求从上往下n层三角垛的物体总数Tn.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用“隙积术”， 代入公式直接计算.
（2）用表示，再利用公式建立方程并求出正整数解即可.
（3）求出第所放物体数，再将各层物体数乘以2，利用“隙积术”求解即可.
【小问1详解】
依题意，，则，
所以.
【小问2详解】
依愿意，，
由给出的公式，得，
即，整理得，
而为正整数，又，则，
而，则是30的正约数，因此或，
或，所以.
小问3详解】
依题意，第所放物体个数为，
从上往下n层三角垛，将每层所放物体数乘以2，
从上往下各层物体数依次为：，物体总数为，
此时，项数为，
，
所以.
【点睛】关键点点睛：正确理解“隙积术”的意义，确定公式中的各量是求解的关键.
眼睛没有近视
眼睛近视
合计
配有某护眼仪
60
40
100
没配有某护眼仪
50
50
100
合计
110
90
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
售出水量（单位：箱）
7
6
6
5
6
收益（单位：元）
165
142
148
125
150
眼睛没有近视
眼睛近视
合计
配有某护眼仪
60
40
100
没配有某护眼仪
50
50
100
合计
110
90
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
售出水量（单位：箱）
7
6
6
5
6
收益（单位：元）
165
142
148
125
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X
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