广东省江门市鹤山市第一中学附属中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广东省江门市鹤山市第一中学附属中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A B. C. D.
2. 函数中自变量x取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列线段的长不能构成直角三角形的是（ ）
A. 5，12，13B. 2，3，C. 4，7，5D. 1，，
5. 一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形的踏板．这样做最直接的道理是（ ）
A. 有一个角是直角的四边形是矩形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 两组对边分别相等的四边形是矩形
6. 如图，矩形的对角线，相交于点，若，，则的周长为（ ）
A 12B. 14C. 16D. 18
7. 黄金矩形在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，比如古希腊的帕特农神庙，其外观就采用了黄金矩形，展现出独特的美感．宽与长的比是黄金分割数（ ）的矩形叫做黄金矩形．
A. B. C. D.
8. 如图所示，的对角线相交于点，以下说法正确的是（ ）
A. 若，则是正方形
B. 若，则是菱形
C. 若，则是矩形
D. 若，则是矩形
9. 如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ）
A. B. C. 1D.
10. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分．）
11. 化简：________．
12. 已知最简二次根式与二次根式可以合并，则的值是___________．
13. 已知，，则两点间的距离为__________．
14. 如图，在中，，的平分线交于E，则的长为______．
15. 如图，、分别是正方形边，上的点，且，，相交于点，下列结论①；②；③；④中，正确结论的是 ______ 填序号．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分．）
16. 计算：
（1）；
（2）．
17. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地点出发，沿北偏东方向走了到达点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地点，求两点间的距离．
18. 如图，平行四边形中，过的中点，与边、分别相交于点、．试说明四边形是平行四边形．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分．）
19. 已知x＝+ ，y＝﹣，求x2﹣y2的值．
20. 如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，且，由于某种原因，从取水点到的路现在已经不通，决定在河边新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得：，，．
（1）是否是村庄到河边最近的路？请说明理由；
（2）求原来路线的长．
21. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，，点E是延长线上一点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的面积．
五、解答题（三）（本大题2小题，第22题10分，第23题15分，共25分．）
22. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
因为，所以
所以，即．所以．
所以．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：______；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
23. 如图，在直角梯形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．

（1）当时，求的面积；
（2）当t为何值时，以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？
（3）（2）中的平行四边形会不会是菱形？若能，请说明理由，若不能，当Q速度不变，求出P点速度？
2024-2025学年八年级第二学期数学综合测试
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．）
1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义，即可进行解答．
【详解】解：A、不最简二次根式，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、不是最简二次根式，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的特征：根号下不含有可开方是因数，根号下不含有分母．
2. 函数中自变量x的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组得到答案．
【详解】解：由题意得：x-1≥0且x≠0，
解得：x≥1，
故选：A．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】A、不是同类二次根式不能合并计算，本选项计算错误；
B、，本选项计算错误；
C、，本选项计算错误；
D、，本选项计算正确，
故选D
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．
4. 下列线段的长不能构成直角三角形的是（ ）
A. 5，12，13B. 2，3，C. 4，7，5D. 1，，
【答案】C
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、∵52+122=132，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
B、∵22+()2=32，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵42+52≠72，∴不能构成直角三角形，故本选项正确；
D、∵12+=，∴能构成直角三角形，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
5. 一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形的踏板．这样做最直接的道理是（ ）
A. 有一个角是直角的四边形是矩形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 两组对边分别相等的四边形是矩形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形和矩形判定，掌握平行四边形和矩形的判定是解题的关键．
根据平行四边形和矩形判定即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴这样做最直接道理是有一个角是直角的平行四边形是矩形，
故选：．
6. 如图，矩形的对角线，相交于点，若，，则的周长为（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理的应用，根据矩形的性质和勾股定理可以求出，，进而求出结果．
【详解】解：∵是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：C．
7. 黄金矩形在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，比如古希腊的帕特农神庙，其外观就采用了黄金矩形，展现出独特的美感．宽与长的比是黄金分割数（ ）的矩形叫做黄金矩形．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查黄金分割点定义，利用黄金分割数解答即可．
【详解】解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，
故选：A．
8. 如图所示，的对角线相交于点，以下说法正确的是（ ）
A. 若，则是正方形
B. 若，则是菱形
C. 若，则是矩形
D. 若，则矩形
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查矩形、菱形、正方形的判定定理，熟悉了解三者之间的关系及判定定理是解题关键．根据矩形、菱形、正方形的判定定理依次进行判断即可．
【详解】解：A、 若，则是矩形，原说法错误；
B、若，则不一定是菱形，原说法错误；
C、若，则是菱形，原说法错误；
D、 若，则是矩形，说法正确；
故选：D．
9. 如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，理解折叠的性质，掌握勾股定理的运用是解题的关键．
根据折叠的性质可证，得，设，则，在中运用勾股定理得到，由此列式求解即可．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，，
∵折叠，点与点重合，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
故选：D ．
10. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形的斜边上的中线性质和菱形的面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
由菱形的性质得，根据题意得，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的面积，
故选：．
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分．）
11. 化简：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，运用二次根式的乘方运算即可解题．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 已知最简二次根式与二次根式可以合并，则的值是___________．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的定义，掌握二次根式的性质化简，同类二次根式的定义是解题的关键．
根据二次根据的性质化简得到最简二次根式，在根据根指数相同，被开方数也相同进行判定即可求解．
【详解】解：，
∵最简二次根式与二次根式可以合并，
∴最简二次根式与二次根式是同类二次根式，
∴，
解得，，
故答案为：0 ．
13. 已知，，则两点间的距离为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了两点间的距离公式．熟记公式是解题的关键，比较简单．
根据两点间的距离公式进行解答即可．
【详解】解：，
故答案是：5．
14. 如图，在中，，的平分线交于E，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质，可得，即可得，由角平分线的定义可得，进而可得，结合已知条件根据即可求得．
【详解】如图，
四边形是平行四边形，
，，
，
是的角平分线，
，
，
，
．
故答案为：．
15. 如图，、分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论①；②；③；④中，正确结论的是 ______ 填序号．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查了正方形四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出和全等是解题的关键，也是本题的突破口．
根据正方形的性质可得，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而判定出正确；再根据全等三角形对应角相等可得，然后证明，再得到，从而得出，判断正确；假设，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，再根据直角三角形斜边大于直角边可得，即，从而判断错误；根据全等三角形的面积相等可得，然后都减去的面积，即可得解，从而判断正确．
【详解】解：在正方形中，，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，故正确；
，
，
，
在中，，
，故正确；
假设，
已证，
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
在中，，
，这与正方形的边长相矛盾，
所以，假设不成立，，故错误；
，
，
，
即，故正确；
综上所述，正确的有．
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分．）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
（1）先运算二次根式的乘法，化简二次根式，然后合并解题即可；
（2）先化简二次根式，运算零指数幂和负整数幂，去绝对值，然后合并解题即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地点出发，沿北偏东方向走了到达点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地点，求两点间的距离．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
根据平行线的性质，平角的定义得到为直角三角形，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：
为直角三角形
，
．
答：两点间的距离是．
18. 如图，平行四边形中，过的中点，与边、分别相交于点、．试说明四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．先根据平行四边形的性质得出，则，，再通过证明得出，即可求证．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵点O为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分．）
19. 已知x＝+ ，y＝﹣，求x2﹣y2的值．
【答案】4
【解析】
【分析】先求出x+y和x﹣y的值，再根据平方差公式分解后代入求出即可．
【详解】∵x＝+，y＝﹣，
∴x+y＝2，x﹣y＝2，
∴x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝2×2
＝4．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握乘法公式是解题关键．
20. 如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，且，由于某种原因，从取水点到的路现在已经不通，决定在河边新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得：，，．
（1）是否是村庄到河边最近的路？请说明理由；
（2）求原来的路线的长．
【答案】（1）是村庄到河边最近的路，见解析；
（2）原来的路线的长为．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，垂线段最短，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（）利用勾股定理的逆定理证明，根据垂线段最短，即可得出结论；
（）先求出，再利用勾股定理列出方程，解方程即可求出的长度．
【小问1详解】
解：是村庄到河边最近的路，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵垂线段最短，
∴是村庄到河边最近的路；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
答：原来的路线的长为．
21. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，，点E是延长线上一点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）24
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识点；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，再证即可证明结论；
（2）由菱形的性质可得，再根据勾股定理得，则，再证四边形是平行四边形得，然后由三角形面积求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形．
【小问2详解】
解：∵平行四边形是菱形
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴的面积．
五、解答题（三）（本大题2小题，第22题10分，第23题15分，共25分．）
22. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
因，所以
所以，即．所以．
所以．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：______；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）9 （3）5
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）分子，分母都乘以即可化简；
（2）先分母有理化，再算加减即可；
（3）小根据例子求出，得到，再变形计算代数式的值即可．
【小问1详解】
．
故答案为：；
【小问2详解】
【小问3详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
23. 如图，在直角梯形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．

（1）当时，求的面积；
（2）当t为何值时，以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？
（3）（2）中的平行四边形会不会是菱形？若能，请说明理由，若不能，当Q速度不变，求出P点速度？
【答案】（1）48 （2）当秒或秒
（3）（2）中的平行四边形不会是菱形；当速度不变，点速度为每秒个单位长
【解析】
【分析】（1）若过点作于，则四边形为矩形，得出，由，由三角形面积公式得出的面积；
（2）由题意得出，分两种情况，由题意得出方程，解方程即可得出答案；
（3）作于，则四边形是矩形，得出，由勾股定理得出，由，则5；由，则；得出（2）中的平行四边形不会是菱形；当速度不变，设点速度为每秒个单位长，则，解得即可．
【小问1详解】
解：过点作于，如图1所示：则四边形为矩形．

∴，
∵，
∴的面积．
把代入得：的面积；
【小问2详解】
∵，
当时，以，为顶点的四边形为平行四边形时，当点在点右侧时，
解得：，
当点在点左侧时，，
∴，
解得：；
综上所述，当秒或秒时，以为顶点的四边形为平行四边形；
【小问3详解】
（2）中的平行四边形不会是菱形；
理由如下：
作于，如图2所示：
则四边形是矩形，
当时，（2）中的平行四边形是菱形，
由，则；
由，则；
∴（2）中的平行四边形不会是菱形；
当速度不变，设点速度为每秒个单位长，
则，
解得：，
即当速度不变，点速度为每秒个单位长时，（2）中的平行四边形是菱形．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了梯形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定及勾股定理的应用等知识；熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定是解题的关键．