广西壮族自治区柳州市高中2024-2025学年高一下学期4月联考数学试题（解析版）

这是一份广西壮族自治区柳州市高中2024-2025学年高一下学期4月联考数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，则，
因，则.
故选：C.
2. 已知，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，
故选：A
3. 四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（ ）
A. 矩形B. 菱形
C. 正方形D. 平行四边形
【答案】D
【解析】因为，则，即，
可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形，
但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确.
故选：D.
4. 函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵f(x)定义域为R，且f(x)在R上单调递增，
又∵f(1)＝－10＜0，f(2)＝19＞0，
∴f(x)在(1，2)上存在唯一零点.
故选：B.
5. “”是“二次函数在区间上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】二次函数在区间上单调递增可得，
解得，
又是的充分不必要条件.
故选：A
6. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为、,则:=（ ）.
A. 1:1B. 2:1C. 3:2D. 4:1
【答案】C
【解析】假设球的半径为.则圆柱的底面半径为.高为2.所以圆柱的表面积为.球的表面积为.所以.故选C.
考点：1.圆柱的表面积.2.球的表面积.3.方程的思想.
7. 在 中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，在中，因为且，可得，
则向量在向量上的投影向量为.
故选：D.
8. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，，初始时污染物的含量为，若在前5h内消除了10%的污染物，则再过滤10h后污染物含量还剩余初始时的（ ）
A. 70%B. 85%C. 81%D. 72.9%
【答案】D
【解析】当时，；
当时，，即；
当时，，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】对于A，由幂函数的性质可得既是奇函数又在上单调递增，故A正确；
对于B，由指数函数的性质可得不是奇函数，故B错误；
对于C，当时，；当时，，所以函数在上不是单调递增，故C错误；
对于D，定义域为，关于原点对称，又，所以为奇函数，
由复合函数的单调性可得在上单调递增，故D正确.故选：AD
10. 已知，下列不等关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，结合不等式性质可知，故A正确；
对于B，由于，故，故B正确；
对于C，，则幂函数在上单调递减，
故，故C错误；
对于D，由于，故，故D正确；
故选：ABD
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 的图象向左平移个单位后可以得到函数的图象
C. 是函数图象的一个对称中心
D. 函数在区间的最小值为
【答案】ABC
【解析】
，
对于A选项，函数的最小正周期为，A对；
对于B选项，的图象向左平移个单位后可以得到的图象，B对；
对于C选项，因为，所以是函数图象的一个对称中心，C对；
对于D选项，当时，，所以，D错.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数 ，则 _____.
【答案】
【解析】由，可知，
所以.
故答案为：.
13. 函数的最小值为______．
【答案】3
【解析】令，则，可得，
由对勾函数的性质，易知函数在上单调递减，则，
所以函数的最小值为3.
故答案为：3.
14. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为______.
【答案】
【解析】如图，过A1作下底面的投影，垂足为M，
上底面对角线长，下底面对角线长，则，可得正四棱台的高，
所以正四棱台的体积.故答案为：.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为．
（1）若，求；
（2）若复数为纯虚数，求实数值；
（3）若复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，则，
所以，.
（2）因为为纯虚数，
所以，解得.
（3），
因为复数在复平面内所对应的点位于第二象限，所以2-a20，解得，
因此，实数的取值范围是.
16. 已知函数．
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并给予证明；
（3）求关于的不等式的解集．
解：（1）由题意知函数满足，解得，
即函数的定义域为；
（2）为奇函数，证明如下：
函数的定义域为，关于原点对称，
，故为奇函数；
（3）即，
当时，在上单调递增，有，解得；
当时，在上单调递减，有，解得；
故当时，关于的不等式的解集为；
当时，关于的不等式的解集为.
17. 如图，中，，，D为中点，E为上一点，且，设，．
（1）请用，来表示，；
（2）若，求的值；
（3）当时，求与夹角的余弦值．
解：（1）由题意知点D是的中点，故，
则；．
（2）由题意，，
当时，
，∴，．
（3）时，，
，
．
18. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角B；
（2）设的垂心为H，若．
（i）求的值；
（ii）求的值．
解：（1）因为，
由正弦定理可得，
又，
则，可得，
因，则，可得，
又因为，所以．
（2）（i）因点为的垂心，则，
则，
得；
（ii）因，则由余弦定理得，
将代入上式可得，
则由余弦定理得．
19. 设函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，求的取值范围；
（3）若存在，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）当时，
．
令，得，
所以，函数的单调递增区间为，
令，得，
所以，函数的单调递减区间为.
（2）当时，
，
因为，所以，．
（3）当时，即恒成立时的取值集合为，
则a的取值范围为．
①当时，，
令，
则对恒成立，
所以，
解得，即；
②当时，，
令，
则对恒成立，所以，
解得，即；
③当时，易知，
若，即
则
即，所以.
综上所述，取值范围为．