江苏省盐城市五校联盟2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版）

这是一份江苏省盐城市五校联盟2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由图可知，，不是空集，.
故选：C.
2. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
3. 要得到函数的图像，只要把函数图像（ ）
A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位
【答案】D
【解析】，
把函数图像向左平移个单位，
可得的图像，
所以要得到函数的图像，只要把函数图像向左平移个单位.
故选：D.
4. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
，
，
所以.
故选：A.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由函数可知定义域为，
且定义域关于原点对称.
因为，
所以函数为奇函数，故排除选项B；
因为，故排除选项A；
因为，故排除选项D.
故选：C.
6. 对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值等于（ ）
A. B. 12C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，在直角中，两直角边长为，斜边长为，
则.
因为，所以，即，
当且仅当时，等号成立，又，则，
所以直角的周长，
即这个直角三角形周长的最大值等于.
故选：C.
7. 已知，对都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
则，
设函数，则对都有成立，
所以函数在区间上单调递增，
所以，解得，则.
故选：B.
8. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（ ）
A. 0B. C. 2025D.
【答案】B
【解析】由题意知，函数的定义域为，
因为函数是偶函数，所以，
即，化简得，则；
所以，又，则，解得，则，
因为，
所以
.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（ ）
A. 2B. 3
C. 4D. 5
【答案】BCD
【解析】，
由“”是“”的充分不必要条件，可得是的真子集，所以.
故选：BCD.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 终边在轴上的角的集合为
B. 正切函数的对称中心是
C. 若，则
D. 已知，若，则
【答案】ACD
【解析】对于A选项，当为奇数时，的终边在轴的负半轴上，当为偶数时，的终边在轴的正半轴上，A正确.
正切函数的对称中心是，B错误.
因为所以，同理，
所以，C正确.
因为，所以，
所以，所以即，D正确.
故选：ACD.
11. 已知某周期函数一个周期的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，取最大值
B. 当时，取最小值
C. 当时，递增
D. 的单调减区间是
【答案】ACD
【解析】由图可知的最小正周期为，
由图可知在处取得最大值，因为的最小正周期为，
所以在处取得最大值，当，即时，取最大值，A正确；
因为当时，即时，取最大值，故B错误；
由图可知在上递增，因为的最小正周期为，所以在上递增，即当时，递增，C正确；
在图中一个周期内，的递减区间为，因为的最小正周期为，
所以的单调减区间是，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数定义域是________.
【答案】
【解析】因为，所以，解得或，即函数的定义域为．
13. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．当折扇打开后所在扇形的周长为8分米，面积是4平方分米，则折扇所在扇形的圆心角为______弧度．
【答案】2
【解析】设扇形的圆心角为，半径为，则，则.
14. 不等式恒成立，则______．
【答案】2
【解析】由对数的定义得.
①当时，，由恒成立，得恒成立，
即，此时，则；
②当时，，由恒成立，得恒成立，
即恒成立，则；
综上所述，不等式恒成立时，.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点．
（1）求的值；
（2）求的值
解：（1）因为角的终边过点，所以，
原式.
（2）原式.
16. 函数的一条对称轴是，相邻对称轴相距．
（1）求出的表达式；
（2）当时，求的单调增区间．
解：（1）因为相邻对称轴相距，所以周期，所以，
又因为是一条对称轴，
所以函数在取到最值，即，即，
因为，所以，所以.
（2）由得．
又因为，
取，得到增区间，取，得到增区间，
所以函数的增区间是和.
17. 已知函数．
（1）求在上的值域；
（2）设，若对，，使得．求实数的取值范围．
解：（1），
因为，所以，
所以当时，取最大值；
当或1时，取最小值1；
所以的值域是.
（2）由复合函数单调性可知在区间上单调递增，
所以当时，的值域为，
对，，使得，故的值域包含的值域，
其中，所以，解得.
18. 盐城卡迪乐园位于盐城市经济开发区内，是苏北地区较大型主题游乐园之一，放假期间同学小王来此游玩打卡．游乐园内竖立着一摩天轮，半径为20米，购票后可以乘坐一圈，每逆时针匀速旋转一圈要12分钟，摩天轮的最低点与地面相距1米，供游客上下摩天轮轿厢，若从小王进入的摩天轮轿厢开始计时，在运行过程中，轿厢与其中的游客看作是摩天圆环上一个点.
（1）求出小王同学距离地面的高度（单位：米）关于时间（单位：分钟）的函数．
（2）当小王同学距离地面高度为11米时候，突然发现小李同学也在摩天轮另一个轿厢里，此时正和他处于同一高度，小王同学记得自己是下午6:00进入摩天轮轿厢的，按此推算，小李大概是什么时候进入摩天轮轿厢的？
（3）当游客距离地面高度达到31米及以上时，可以俯看到卡迪乐园的全景，这段时间称为“美景期”，求摩天轮在旋转一周的过程中，小王同学处于“美景期”的时间有多长？
解：（1）方法一：设，
由题意知，最大值是41米，最小值是1米，
即，解得，
因为摩天轮速转一圈要12分钟，即，所以，
又因为从摩天轮位于最低点时开始计时，即时，代入表达式得到，
得，不妨取，
所以.
方法二：以摩天轮的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为摩天轮速转一圈要12分钟，即，即角速度，
设经过分钟后，小王同学在点的位置，则，
所以点的纵坐标，
所以.
（2）由题意知，得，
因为，所以或10，
所以两人之间相差8分钟，即小李大概是5:52或6:05分进入摩天轮轿厢的.
（3）由题意知，即，根据图像解得，
所以小王同学处于“美景期”的时间有4分钟.
19. 若函数满足①且不恒等于1；②对定义域内的任意三个数总有成立，则称函数为“LM”函数．
（1）判断，是否是“LM”函数，并说明理由；
（2）若函数在区间上是“LM”函数，求的取值范围；
（3）函数在区间上是“LM”函数，求的取值范围.
解：（1）对于函数，，
取，，，则，，，
显然，所以，不是“LM”函数.
（2）因为在区间上是“LM”函数，所以由条件①知，即，
由条件②知，，即，
解得或．
又因为，所以的取值范围是.
（3）①若，则函数在区间上单调递增，
所以，又，
则，又恒成立，则当时，是“LM”函数；
②若，则函数在区间上最小值，
所以，即，解得，
因为，所以的范围是，
综上所述，的取值范围是.