四川省达州市开江县2024年九年级中考模拟测试（二）数学试卷（解析版）

这是一份四川省达州市开江县2024年九年级中考模拟测试（二）数学试卷（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题，共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分共40分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确的项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 2024年4月25日搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭成功发射升空，叶光富、李聪、李广苏3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度下列航空航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选项A、B、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算正确，符合题意．
故选：D．
3. 下列说法正确是（ ）
A. 甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定
B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次
C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查
D. 是不等式的解，这是一个必然事件
【答案】D
【解析】A. 甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则甲的成绩更稳定，故该选项不正确，不符合题意；
B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，可能会中奖1次，故该选项不正确，不符合题意；
C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查
D.解：，，解得：，
∴是不等式的解，这是一个必然事件，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4. “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡图各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿.问鸡兔各有多少只?若设鸡有只，兔有只，则所列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设鸡有只，兔有只，则由题意可得，，
故选：C．
5. 将一副三角板按如图方式摆放，其中，，，若，与交于，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过作，
∵，
∴，
，，
，
，
．
故选：A．
6. 如图，在中，点D，E为边的三等分点，，点F，G在边上，，相交于点．若，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】∵点D，E为边的三等分点，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选：C．
7. 对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A. B. 且
C. 且D.
【答案】B
【解析】，
，即，
关于的方程，即有两个不相等的实数根，
，且，
解得，且．
故选：B．
8. 如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在弧上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】连接，交于，
沿过点的直线折叠，和重合，，
，，，，
，是等边三角形，，
，，
，，
阴影部分的面积，
故选：D．
9. 拋物线与轴的一个交点为，与轴交于点，点是拋物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下结论：①；②是抛物线上的两个点，若,且，则；③点为轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为；④若关于的方程无实数根，则的取值范围是．其中正确的结论有（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ②③④
【答案】B
【解析】∵抛物线开口向上，∴，
∵对称轴在y轴的左侧，∴，
∵交y轴的负半轴，∴，∴，故①正确．
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，
又，且，∴，∴．故②错误．
作点C关于x轴的对称点，连接与x轴交于点P，连接，
此时的值最小．
将代入二次函数解析式得，，
又∵，∴∴，即
又抛物线与y轴的交点坐标为，
∴点C坐标为，
∴点坐标为．
又∵当时，即．
设直线的函数表达式为
将点D坐标代入得，，解得，
∴直线的函数表达式为，
将代入得，．
∴点P的坐标为．故③正确．
将方程整理得，，
∵方程没有实数根，
∴抛物线与直线没有公共点，
∴，∴，解得，
又，所以．故④正确．所以正确的有①③④．
故选：B．
10. 如图，正方形的边长为6，点E，F分别在边上，且平分，连接DF，分别交于点G，M，P是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④的最小值为．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】为正方形，
，，
，
，
．
,
，
，
，
．
平分，
．
，
．
，
，
垂直平分，故①正确；
由①可知，，，
，，
，
由①可知，
．故③正确；
∵，
∴点在以为直径的上，当三点共线时，有最小值，最小值为，
∵为正方形，且边长为6，∴，，∴，∴的最小值为，故④正确；
由①可知，，，
关于线段的对称点为，过点作，交于，交于，
最小即为，如图所示，
∵，∴，即的最小会值为，
故②正确．
综上所述，正确的是①②③④．
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】3600亿，用科学记数法表示为．
12. 在数学文化节游园活动中，“智取九宫格”活动规则是：在九宫格的每一个方格中填入一个数，使每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和都相等．小明抽取到的题目如图所示，则_______．
【答案】6
【解析】设第二行第一个数为，
根据题意得：，
即，
解得：．
13. 如图，正方形与反比例函数在第一象限内的图象交于P，Q两点，上的点满足．若的面积为，则实数的值为_______．
【答案】3
【解析】过作于，则四边形是矩形，
，，
．
，
，
，
．
．，，
，，
，
，，解得：或（不合题意，舍去）
实数的值为3．
14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴交于A、B两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动的翻滚．第一次翻滚：将等边绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边绕点顺时针旋转，使点落在直线上，当等边翻滚2024次后点的对应点坐标是_______．
【答案】
【解析】把代入得：，把代入得：，
∵直线l：与两坐标轴交于、两点，∴，，
∴，，，∴，∴，
如图，等边经过第次翻转后，，
过点作轴于点，则，
∵，
∴，，
等边经过第次翻转后，，
等边经过第次翻转后，点仍在点处，
∴每经过次翻转，点向右平移个单位，向上平移个单位，
∵，第次与第次翻转后点处在同一个点，
∴点经过次翻转后，向右平移了个单位，向上平移了个单位，
∴等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是．
15. 如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________．

【答案】或或
【解析】由折叠的性质知，，
当时，，

由三角形的外角性质得，即，
此情况不存在；
当时，

，，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，

∴，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，

∴，
∴；
综上，的度数为或或．
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
解：（1）．
（2）原式
，
当时，原式．
17. 新高考“”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．请用树状图或表格，求出某同学恰好选择物理、化学和生物的概率．
解：设思想政治、地理、化学、生物学4门科目分别为A，B，C，D，
画树状图如图所示，
由图可知，共有24种等可能结果，其中该同学恰好选中物理，化学和生物三科的有2种结果，
∴该同学恰好选择物理、化学和生物的概率为．
答：该同学恰好选择物理、化学和生物的概率为．
18. 如图，在矩形中，平分交于点，连接．
（1）用尺规作图：过点F作的垂线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）问所作的图形中，求证：．
（1）解：如图，
为所作．
（2）证明：四边形是矩形，
，，，
，
平分，
，，，
，，
，，，
在中，，，
，
在和中，，
，．
19. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
解：（1）如图，作，垂足为点

在中，
∵，，
∴，
∴，
∵平行线间的距离处处相等，
∴，
答：车后盖最高点到地面的距离为．
（2）没有危险，理由如下：
过作，垂足为点，

∵，，∴，
∵，∴，
在中，，∴．
∵平行线间的距离处处相等，
∴到地面的距离为．
∵，∴没有危险．
20. 如图，矩形对角线与相交于点，过点作，过点作垂直平分，分别交，，于点F，G，E，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求的长．
（1）证明：四边形是菱形，理由如下，
∵矩形的对角线与相交于点O，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵ 由（1）得，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
21. 如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
（1）求的值并直接写出点的坐标；
（2）连接，求；
（3）是轴上一点，是平面内一点，是否存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点的坐标为代入直线中，得，
解得：，
，
，
反比例函数解析式为，
由，得或，
点的坐标为；
（2）如图1，作轴于点，轴于点，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（3）存在，当点在的正半轴上时，如图2，设点的坐标为，
过点作轴于点，
，，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
当点在的负轴上时，如图2，设点的坐标为，
过点作轴于点，
同理证得点的坐标为，
当四边形或是矩形四边形时，，
点的坐标为或，
综上所述，点的坐标为或或或．
22. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为元，日销售量为盒．
（1）当时，______；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大?最大利润是多少?
（3）小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价的范围为．”你认为小红的说法正确吗?若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
解：（1）由题意可得，，
即每天的销售量p（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式是，
当时，（），
（2）由题意可得，，
由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，
∴，即，解得．
∴当时，W取得最大值，此时，
（3）当日销售利润不低于8000元时，即，
，解得： ，
，当日销售利润不低于8000元时， ．
故小红正确，当日销售利润不低于8000元时，．
23. 如图，在中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是圆的直径，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求该抛物线函数表达式；
（2）若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在拋物线的对称轴上是否存在一点，使得与相似；若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）将，，代入得，
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线解析式为为，
∵，，∴，解得，
∴直线的解析式为，
设，
∵过点作轴的平行线交于点，
∴点F的纵坐标为，
将代入得，，
得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为8，此时；
（3）如图所示，当时，

∵，
∴抛物线对称轴为，
∵直线的解析式为，
∴将代入，
∴，∴设，∴，
∵，∴，∴，
解得，∴；
如图所示，当时，

∵，，，
∴，，
∵，∴，∴，
解得，∴，
综上所述，点的坐标为或．
25. 【特例感知】
（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．
【变式求异】
（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．

（1）证明：在正方形中，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图1，作于点N，如图所示：

∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
如图2，作于点N，

∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．