江苏省镇江市八校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷（解析版）

这是一份江苏省镇江市八校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 书架上已有四本书，小明又带来了两本不同的长篇小说和一本人物传记要放到书架上，若两本小说不能放到一起，则不同的放法有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】D
【解析】人物传记有种放法，这样五本书之间有个空，
将两本不同的长篇小说选两个空插入即可不相邻，共有种方法，
故选：D．
2. 已知，如三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数λ为（ ）
A. 0B. 9C. 5D. 3
【答案】C
【解析】因为向量，可得与不共线，
又因为向量且不能构成空间直角坐标系的一组基底，
则存在实数使得，即，解得，
所以实数的值为.故选：C.
3. 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、连花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记服用金花清感颗粒为事件A，服用连花清瘟胶囊为事件，服用清开灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件，
依题意可得，，，，，，
所以
.
故选：C
4. 在展开式中，含项的系数是（ ）
A. 120B. 56C. 84D. 35
【答案】A
【解析】因为展开式的通项为（且），
所以的展开式中，
含项的系数是
，
故选：A.
5. 一箱凤梨共有10个,其中有8个是优果，从这箱凤梨中随机抽取2个，恰有1个优果的概率为.某果园刺梨单果的质量M（单位：g）服从正态分布，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由超几何分布可得，
由正态分布可得，所以，.
故选：C.
6. 下列命题错误的是（ ）
A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B. 设，若，则
C. 线性回归直线一定经过样本点的中心
D. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且
【答案】D
【解析】对于选项A，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，
故选项A正确；
对于选项B，由，，得，
解得，
故选项B正确；
对于选项C，线性回归直线一定经过样本点的中心，故选项C正确；
对于选项D，由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，
由超几何分布的定义知服从的超几何分布，
且，故选项D错误.
故选：D.
7. 在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在二项式 展开式中，二项式系数的和为，
所以.
则即，通项公式为，
故展开式共有7项，当时，展开式为有理项，
把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，
即把其它的5个无理项先任意排，再把这两个有理项插入其中的6个空中，方法共有种,
故有理项都互不相邻的概率为,故选：A
8.在空间直角坐标系中,平面、平面、平面把空间分成了八个部分.在空间直角坐标系中,确定若干个点,点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合,这样的点共有个，从这个点中任选2个，则这2个点在同一个部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，从这个点中任选2个，共有种选法，
在坐标系同一部分的点的横坐标、纵坐标、竖坐标的正负均相同，
所以八个部分中的点的个数分别为，，，，2，2，2，1，
故所求的概率为．
故选：B.
二、多项选择题：本题共3题，每题6分，共18分，在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 展开式中最大的系数为
【答案】ABD
【解析】A.令，得，
令，得，
所以，故A正确；
B.令，则，
所以，
，
，
故B正确；
C.是系数，中的系数为，
故C错误；
D.展开式中，
得到奇数次幂的项的系数都是负数，偶数次幂的项的系数都是正数，
正数项有，
其中，,
，，
所以展开式中的最大的系数是，故D正确.
故选：ABD
10. 在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多2张，则下列结论正确的是（ ）
A. 若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况
B. 若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况
C. 若仅有两人获奖，则共有36种不同获奖情况
D. 若仅有三人获奖，则共有144种不同的获奖情况
【答案】ACD
【解析】对于A，若甲、乙、丙、丁均获奖，
则共有种不同的获奖情况，A正确．
对于B，若甲获得了一等奖和二等奖，
则其他三人有一人获得2个奖项或者有两人各获得1个奖项，
共有种不同的获奖情况，B错误．
对于C，若仅有两人获奖，
则有两人各获得2个奖项，共有种不同的获奖情况，C正确．
对于D，若仅有三人获奖，则有一人获得2个奖项，有两人各获得1个奖项，
共有种不同的获奖情况，D正确．
故选：ACD
11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
A.
B. 异面直线与所成角正弦值为
C. 点到直线的距离是
D. 为线段上的一个动点，则的最大值为3
【答案】BD
【解析】如图建立空间直角坐标系，
则，
故，，
对于A，，
A错误；
对于B，记异面直线与所成角为，则，
所以，
故B正确.
对于C，记同向的单位向量为，
则点P到直线的距离，故C错误；
对于D，设点，使，，
则，故，
则，
因，则时，即点与点重合时，取得最大值3，故D项正确；
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 随机变量X的分布列是
若，则_________．
【答案】2
【解析】由题意可知，∴，
所以．故答案为：．
13. 已知，则______.
【答案】
【解析】令，即，
因此原等式为，项为，
所以.
故答案为：
14. 三分损益法是古代中国发明制定音律时所用的生律法.三分损益包含“三分损一"“三分益一"两层含义，三分损一是指将原有长度作3等分而减去其1份，即原有长度生得长度；而三分益一则是指将原有长度作3等分而增添其1份，即原有长度生得长度，两种方法可以交替运用､连续运用，各音律就得以辗转相生，假设能发出第一个基准音的乐器的长度为243，每次损益的概率为，则经过5次三分损益得到的乐器的长度为128的概率为___________.
【答案】
【解析】设5次三分损益中有次三分损一，所以，
解得
故所求概率为.
故答案为：
15. 已知在二项式的展开式中，第项为常数项.
（1）求；
（2）求的展开式中所有奇数项的二项式系数之和；
（3）在的展开式中，求含的项.
解：（1）由题意得第项为，
则，解得
（2）所有奇数项的二项式系数之和为.
（3）由（1）知，
其中展开式的通项为（且），
则的展开式中，含的项为，
含的项为，
所以在的展开式中含的项为.
16. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点.

（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
解：（1）取中点，连接，，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有、，
故四边形是平行四边形，
故，
又平面，平面，
故平面；
（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、、，
则有、、，
设平面的法向量分别为，
则有，取，
则有，
即点到平面的距离为.
17. 学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.
（1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
（2）记参加活动女生人数为，求的分布列及期望；
（3）若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望.
解：（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件.
则，所以.
（2）依题意知服从超几何分布，且，
，
所以的分布列为：
；
（3）设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为，
则的所有可能取值为，的所有可能取值为，
，，
，，
有名女生参加活动，则男生有名参加活动.，
所以.
即两人工时之和的期望为13个工时.
18. 如图甲所示，在平面四边形中，，，，现将平面沿向上翻折，使得，为的中点，如图乙.
（1）证明：；
（2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为,求平面与平面所成角的余弦值.
解：（1）如图，
连接DM，因为，，M为AC的中点，所以，，又因为，所以，所以，，所以平面， 而平面，所以；
（2）取MC的中点为O，BC的中点为E，连接DO，OE，则，因为所以，又因为O为MC的中点，所以，
由(1)知平面，平面，所以，又,
所以平面，以O为坐标原点，OA，OE，OD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示坐标系，
由题意知，，
设平面DAB的一个法向量为，则，
令，得，
设，则，所以，所以
，化简得，解得 (舍去)，
所以点Q是DC上靠近D的三等分点，所以
设平面BQM的一个法向量为，则，令，得，
，
故平面ADB与平面BQM所成角的余弦值为.
19. 2024年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有错误选择或不选择得0分．
（1）已知某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量X．
（i）求；
（ii）求使得取最大值时的整数；
（2）若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为，求该同学在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望．
解：（1）（i）因为，所以．
（ii）因为．
依题意，即，
解得，
又为整数，所以，即时取最大值.
（2）由题知，选项不能同时选择，故该同学可以选择单选、双选和三选．
正确答案是两选项的可能情况为，
每种情况出现的概率均为．
正确答案是三选项的可能情况为，每种情况出现的概率为．
若该同学做出的决策是单选，则得分的期望如下：
（分），
（分），
若该同学做出的决策是双选，则得分的期望如下：
（分），
（分）．
若该同学做出的决策是三选，则得分的期望如下：
（分）．
经比较，该同学选择单选A或单选C的得分期望最大，最大值为分.X
-2
1
2
P
a
b
0
1
2