2025年中考数学总复习讲义（山东专用）15 第一部分 第三章 第三节 反比例函数及其应用（无答案）

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考点一 反比例函数的概念
一般的，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成________ (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，并且x为一切非零的实数，k是比例系数．
考点二 反比例函数的图象及性质
1．反比例函数的图象
反比例函数y＝kx(k为常数，k≠0)的图象是________，且关于________中心对称．
2．反比例函数的性质
考点三 反比例函数系数k的几何意义
1．意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为________，以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为________．
2．常见的面积类型
考点四 反比例函数的应用
1．与一次函数的综合
(1)确定交点坐标：方法一(仅适用于正比例函数)：已知一个交点坐标为(a，b)，则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为(－a，－b)．方法二：联立两个函数表达式，利用方程思想求解．
(2)确定函数表达式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数表达式中求解．
(3)在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项进行判断、排除．
(4)比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围．
2．反比例函数的实际应用
(1)根据题意找出自变量与因变量之间的关系．
(2)设出函数表达式．
(3)依题意求解函数表达式．
(4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题．

1．(鲁教版九上P4习题1.1T3改编)下列关系式中，是反比例函数的是( )
A．y＝2x B．y＝x2
C．y＝－13xD．y＝5x－1
2．已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象表示大致为( )
A．B．
C．D．
3．如图，已知点P为反比例函数y＝－6x图象上一点，过点P向坐标轴引垂线，垂足分别为M，N，那么四边形MONP的面积为( )
A．－6B．3
C．6D．12
命题点1 反比例函数的图象与性质
【典例1】 (2024·天津)若点Ax1，-1，Bx2，1，C(x3，5)都在反比例函数y＝5x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2
C．x3＜x2＜x1D．x2＜x1＜x3
[听课记录]


反比例函数增减性的应用
(1)若几个点在同一象限，则按反比例函数的增减性解答．
(2)若两个点不在同一象限，则k＞0时，第一象限的函数值大于第三象限的函数值，k＜0时，第二象限的函数值大于第四象限的函数值．
[对点演练]
1．(2023·泰安)一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝abx(a，b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象可能是( )
A．B．
C．D．
2．(2022·泰安)如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA＝25，tan A＝12，反比例函数y＝kx的图象经过OA的中点B，与AC交于点D．
(1)求k值；
(2)求△OBD的面积．





命题点2 反比例函数系数k的几何意义
【典例2】 (2024·江苏苏州)如图，点A为反比例函数y＝－1x(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝4x(x＞0)的图象交于点B，则AOBO的值为( )
A．12 B．14 C．33 D．13
[听课记录]



[对点演练]
1．(2024·黑龙江龙东)如图，双曲线y＝12x(x＞0)经过A，B两点，连接OA，AB，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则△AEB的面积是( )
A．4.5B．3.5
C．3D．2.5
2．[易错题]如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝8x和y＝kx的图象交于P，Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为 ________．
命题点3 反比例函数与一次函数的综合
【典例3】 (2024·泰安)直线y1＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y2＝－8x的图象相交于点A(－2，m)，B(n，－1)，与y轴交于点C．
(1)求直线y1的表达式；
(2)若y1＞y2，请直接写出满足条件的x的取值范围；
(3)过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积．
[听课记录]



[对点演练]
(2023·泰安)如图，一次函数y1＝－2x＋2的图象与反比例函数y2＝kx的图象分别交于点A、点B，与y轴、x轴分别交于点C、点D，作AE⊥y轴，垂足为点E，OE＝4．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在第二象限内，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
(3)点P在x轴负半轴上，连接PA，且PA⊥AB，求点P的坐标．






命题点4 反比例函数的实际应用
(2024·吉林)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的表达式(不要求写出自变量R的取值范围)；
(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．
[听课记录]




[对点演练]
1．[情境题](2024·山西)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s；当其载重后总质量m＝90 kg时，它的最快移动速度v＝________m/s．
2．[跨学科](人教版九下例题)小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m．
(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？
(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？








图象
所在象限
增减性
k________0
第_______象限
在每一象限内，y的值随x值的增大而________
k________0
第_______象限
在每一象限内，y的值随x值的增大而________