江苏省无锡市江南中学2024-2025学年七年级下学期 数学期中试卷（含解析）

这是一份江苏省无锡市江南中学2024-2025学年七年级下学期 数学期中试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，只需把答案直接填写在答卷上相应的位置）
1. 下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B．
【详解】解：观察图形可知图案B通过平移后可以得到．
故选：B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，掌握运算法则是解题的关键．
分别根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法，以及合并同类项法则进行判断即可．
【详解】解：A、，正确，符合题意；
B、，原写法错误，不符合题意；
C、，原写法错误，不符合题意；
D、，原写法错误，不符合题意；
故选：A．
3. 下列四对数值，哪对是二元一次方程的解（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把各个选项中的x、y的值代入原方程，看方程左右两边是否相等即可得到答案．
【详解】解：A、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，故不是二元一次方程的解，不符合题意；
B、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，故不是二元一次方程的解，不符合题意；
C、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，故不是二元一次方程的解，不符合题意；
D、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，故是二元一次方程解，符合题意；
故选：D．
4. 下列整式乘法能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键：．
根据平方差公式式子的特点：两个项，且两项的符号相反，据此逐项分析即可．
【详解】解：A、能用平方差公式计算，符合题意；
B、不能用平方差公式计算，不符合题意；
C、能用完全平方公式计算，不符合题意；
D、不能用平方差公式计算，不符合题意；
故选：A．
5. 如图，把一张长方形纸片按图中所示方式折叠，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，掌握折叠的不变性是解题的关键．
根据平行得到，再由折叠得即可求解．
【详解】解：如图：
由题意得，
∴，
由折叠得，
故选：C．
6. 如果，那么a、b、c三数的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则．
先由零指数幂和负整数指数幂，乘方的运算法则求出，再根据有理数的大小比较方法比较即可．
【详解】解：，
∴，
故选：B．
7. 某班37名学生在爱心图书捐赠活动中共捐92本书，其中男生平均每人捐3本，女生平均每人捐2本，设该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设该班男生有x人，女生有y人，根据全班一共37名学生可得方程，根据一共捐了92本书可得方程，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，，
故选：D．
8. 下列说法：①长方形的对称轴有两条；②线段、角、等边三角形都是中心对称图形；③旋转前后图形的对应线段、对应角都相等；④平移前后对应点之间的距离等于平移距离．其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，旋转，平移等知识，根据轴对称图形，中心对称图形，旋转的性质，平移的性质逐项判断即可．
【详解】解：①长方形的对称轴有两条，原说法正确；
②线段是中心对称图形，而角、等边三角形不是中心对称图形，原说法错误；
③旋转前后图形的对应线段、对应角都相等，原说法正确；
④平移前后对应点之间的距离等于平移距离，原说法正确，
故选：C．
9. 如图，有两个正方形A、B，将A、B并列放置后构造得图甲和新的正方形图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为9和12，则正方形A、B的面积之和为（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．
【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得，即，
由图乙得，则，
所以，
故选：B．
10. 如图，，点M、N分别在射线上，的面积为12，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为．当点P在直线上运动时，的面积最小值为（ ）
A. 8B. 12C. 16D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，

∵，且，
∴，
∵点关于对称的点为，点关于对称的点为，
∴，，，
∵，
∴，
∴面积为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
∴的面积的最小值为，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分；不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11. 某地区空气中的平均浓度为，数用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故答案为：．
12. 如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则该顶点平移的距离为___________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质，用该顶点平移后的刻度减去平移前的刻度即可得到答案．
【详解】解：∵把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，
∴该顶点平移的距离为，
故答案为：5．
13. 若长方形一边长为a，另一边长为，则该长方形的面积可表示为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，长方形面积等于其乘乘以其宽，据此列式求解即可．
【详解】解：∵长方形一边长a，另一边长为，
∴该长方形的面积可表示为，
故答案为：．
14. 已知（m、n是正整数），则的值为___________．
【答案】32
【解析】
分析】本题考查了同底数幂相乘，逆用同底数幂相乘法则计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：32．
15. 如图，在长方形中，，点E、F分别在上，将长方形沿折叠，使点C、D分别落在长方形外部的点处，则整个阴影部分图形的周长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，由折叠的性质可得，再由周长计算公式，以及线段的和差关系，可得阴影部分的周长，即可解题．
【详解】解：由折叠的性质可得，又，
∴阴影部分的周长
，
故答案为：．
16. 若是一个完全平方式，则常数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征确定出的值是解本题的关键．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴
∴，
故答案为：．
17. 关于x、y的方程组的解是，则方程组的解是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程组的解的定义，观察两个方程组可知把第二个方程组中的，看做一个整体，那么，的值分别为第一个方程组的解中的x，y的值，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x、y的方程组的解是，
∴方程组的解满足，
解得，
故答案为：．
18. 如图，在中，．第一步，将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕与边的交点为点D；第二步，在边上找一点E，将纸片沿折叠，点A落在处；第三步，将纸片沿折叠，点E落在处，当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为___________°．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，把握折叠的不变性是解题的关键．
分两种情况讨论，画出示意图，根据折叠的性质以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：当点在上时，
由折叠得， ，
那么此时，记与交于点G，
∴，
∵，
∴；
当点在上时，
由折叠知，
当点在上时，则，
∴，
∴，
综上：当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）；
（2）；
（3） ；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合计算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案；
（2）先计算同底数幂除法和幂的乘方，再合并同类项即可得到答案；
（3）利用完全平方公式求解即可；
（4）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，再合并同类项即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
20. 解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
（1）由代入消元法求解；
（2）由加减消元法求解．
【小问1详解】
解：
将①代入②得：，
解得：，
将代入①得：，
∴原方程组的解为：；
【小问2详解】
解：
由得，，
解得：，
将代入①得，，
解得：，
∴原方程组的解为：．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则化简，然后把a、b的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
22. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．将经过一次平移得到，点分别是A、B、C的对应点，绕点A逆时针旋转后得到，点分别是B、C的对应点．
（1）画出平移后的和旋转后的；
（2）利用格点画出线段的垂直平分线；
（3）平移过程中，线段扫过的图形面积是___________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）14
【解析】
【分析】本题考查作图−−平移变换，旋转变换，割补法求面积等知识，解题的关键是如何用相关知识在网格中找出关键的格点．
（1）根据平移和旋转的性质画图即可；
（2）根据网格的特征画图即可；
（3）根据割补法求解即可．
【小问1详解】
解：如图，和即为所求，
【小问2详解】
解：如图，即为所求作；
【小问3详解】
解：如图，四边形是线段扫过的图形，
即线段扫过的图形面积是．
23. 如图，在中，，，，将顺时针旋转一定角度后与重合，且点D恰好为的中点．
（1）旋转中心是点___________；旋转角=___________°；
（2）求出线段的长．
【答案】（1）A；130
（2）6
【解析】
【分析】本题考查了旋转的相关知识点．熟记相关结论进行几何推理是解题关键．
（1）由“顺时针旋转一定角度后与重合”可得旋转中心点，求出即可得旋转角；
（2）根据旋转的性质得出，，根据线段中点的定义求出，即可求解．
【小问1详解】
解：在中，，，
∴，
即，
∵顺时针旋转一定角度后与重合，
∴旋转中心为点A，旋转的度数为；
故答案为：A；130；
【小问2详解】
解：∵顺时针旋转一定角度后与重合，
∴，，
∵点D恰好成为的中点，
∴，
∴．
24. 杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：
请根据上述材料解决下列问题：
（1）的展开式中第三项为___________；
（2）的展开式中系数为10的项是___________；
（3）求的展开式中含项的系数．
【答案】（1）
（2）和
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是多项式的乘法运算中的某项的系数的规律探究，掌握探究的方法并总结运用规律是解本题的关键．
（1）利用题干表的系数对应写出展开式，即可求解三项；
（2）利用题干表的系数对应写出展开式，找出系数为10的项即可；
（3）先计算，，，再观察得到的前面两项，再利用前面两项的系数规律可得答案．
【小问1详解】
解：由题意得，
∴第三项为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意得，，
∴系数为10的项为和，
故答案为：和；
【小问3详解】
解：，，，…，
观察可知：展开式的前两项为，
∴当时，含项的系数为．
25. 【综合实践】根据以下素材，探索完成任务：
小江和小南在做物理实验时发现：当光发生反射时，反射光线与平面镜的夹角总是等于入射光线与平面镜的夹角．于是，他们想进一步探究转动的平面镜对光线反射的影响．如图1，点O为水平放置的平面镜上一点，将一块三角板的直角顶点摆放在O处，满足斜边，．现有一束光线经平面镜反射后沿射出，当光发生反射时，总是等于．若使光线从与重合处开始绕着点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒．
【探究1】当时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出此时入射光线和反射光线所在位置；
【探究2】当，且时，求出满足条件的t的值；
【探究3】若在光线开始转动的同时，平面镜也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当时，请直接写出和之间的数量关系．
【答案】探究1：见解析；探究2：或；探究3：当时，；当时，
【解析】
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，角平分线的尺规作图，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
探究1：作的角平分线，再作，则入射光线和反射光线即为所求
探究2：分，和，三种情况分别用含t的式子表示出的度数，再根据建立方程求解即可；
探究3：分如图3-1，3-2，3-3，3-4四种情况讨论求解即可．
【详解】解：探究1：如图所示，作的角平分线，再作，则入射光线和反射光线即为所求；
由平行线的性质可得，由题意得；
探究2：当时，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得；
当时，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得；
当时，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，或；
探究3：如图3-1所示，当射线恰好经过点B时，
由题意得，
∴，，
∴，
解得；
如图3-2所示，当时，
由题意得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴；
如图3-3所示，当射线和重合时，则，
解得；
如图3-4所示，当时，
同理可得，
∴，
∵，
∴，，
∴；
综上所述，当时，；当时，．
四、附加题
26. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为17，则小正方形的面积为（ ）

A. 5B. 7C. 9D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式与几何的应用，全等的性质，利用完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
由题意，，由面积法得到，则，由求出，即小正方形的面积．
【详解】解：如图所示，由题意，，

∵大正方形的面积为17，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴小正方形的面积为，
故选：D．
27. 数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”进行了系列探究，过程如下：
【论证】如图1，延长至点D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为．
【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点P，过点A作在射线上，且的延长线与的延长线交于点D．设，则___________（用含的代数式表示）；的度数为___________．
【拓展】如图3，在中，，，过点A作，直线与相交于A点右侧的点．绕点A以每秒的速度逆时针方向旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针方向旋转，当第一次与重合后，立刻再绕着点P以原速度逆时针方向旋转至出发位置运动全部停止．设运动时间为t秒．在旋转过程中，当t的值为多少时，与的一边垂直？请直接写出t的值．
【答案】[论证]见解析；[应用] ①；②；[拓展] 的值为或或15
【解析】
【分析】[论证]利用平行线的性质以及平角的性质即可证明；
[应用]①由角平分线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再由平行线的性质并结合三角形外角的定义及性质得出，推出，即可得解；②由平行线的性质结合角平分线的定义得出，求出即可得出答案；
[拓展]总时间（秒），再分三种情况：当第一次与重合前，时，延长交于；当第一次与重合前，时，垂足为点I，记与交于点H；当第一次与重合后，时，记垂足为，分别利用平行线的性质和三角形内角和定理建立一元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】[论证]
证明：延长至点，过点作，
∴，，
∵，
∴；
[应用]
解①如图：
∵是的角平分线，
∴，
在中，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
[拓展]
解：∵绕点以每秒速度顺时针方向旋转，当第一次与重合后，立刻再绕着点以原速度逆时针方向旋转至出发位置运动全部停止．
∴总时间（秒），
∴的运动角度为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
当第一次与重合前，时，延长交于，
由题意得，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：；
当第一次与重合前，时，垂足为点I，记与交于点H，
由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
当第一次与重合后，时，记垂足为，
此时，，
∵，
∴，
∴，
解得：
综上所述，的值为或或15．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、外角性质，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
……